微分幾何綱要

很多IB學生在寫論文（IB essay）時，都對短程線（測地線）和最小曲麵感興趣。在一個曲麵上，給定兩個點，要找曲麵上的一條連接曲線，其長度要最短。在平麵上，這是直線；在球麵上，那是大圓弧（圓心在球心）。在一般的曲麵上，需要寫出曲線的方程，運用弧長的積分表達式，再加上變分法，就可以找出短程線。短程線是最接近“直線”的曲線；而極小曲麵則是最接近“平麵”的曲麵，也就是“平均曲率”為零的曲麵。

微分幾何是用微分的方法研究曲線和曲麵在點上的局部性質。微分又稱微元，是某個幾何量的“無窮小”逼近；這個“無窮小”，純屬人類的想象，因為現實中的物件都是有限的。為什麽要切分成無窮小的部分呢？這是（直）線性逼近的關鍵。這就要求位置函數（點的量化表示）有足夠高次的導數（至少三次以上），以便在其Taylor展開式中，可以表出物體的“加速度”，通過牛頓第二定律，與外力聯係起來。奇葩的是，在全加拿大的所有大學裏，沒有一門課、一個教授教學生“微元”的概念，更沒有“變分”！

曲線論

平麵和空間曲線都是一維的，其方程（曲線上點的坐標）可以用一個參數給出。與平麵曲線有關的是三個基本概念：長度、切線、曲率。空間曲線則還有密接平麵和撓率。曲線的長度定義為頂點在曲線上的折線總長，當頂點無限密集時的極限。如果極限不存在，就稱為不可求長的。

曲線上某點P處的切線定義為附近的割線PQ當Q沿著曲線去接近P時的極限位置。在接近切點處，曲線與切線的差異小於與任何其它直線的差異；因而，在曲線的一小段上，可以用切線來代替它。

曲線在一小段上的平均曲率是它兩端的切線所轉過的角度除以曲線段的長度；在一個點的曲率定義為它附近小段的平均曲率當曲線長度趨向於0時的極限。平麵曲線的曲率公式可以由一階和二階導數給出。曲率刻劃了曲線離開切線的速度，也能表示物體沿曲線運動時的加速度。

曲線上每一點P都有一個法平麵：它以切線方向為法線向量。但在給定點處，包含切線的平麵有無數個；這些平麵中，與曲線差異最小的，就叫曲線在該點的密接平麵。為了求出此平麵，可以把曲線投影到法平麵上；如果此投影曲線在P處有切線，那麽，這個切線方向就是密接平麵的法線方向，也稱為曲線的主法線方向。

密接平麵的旋轉速度就是曲線的撓率：它是曲線與密接平麵之間的夾角的改變量與曲線長度之比。曲線的曲率和撓率完全確定了曲線本身。

曲麵論

為了研究曲麵的性質，解析工具是必不可少的。有時，直角坐標會不方便，因為它們在彎曲變形下是要改變的。因此，就引進了曲紋坐標的概念；如球麵上的經度和緯度。這樣，曲麵上的點的位置，就可以用一個關於曲紋坐標的向量來表出。

曲麵的點上性質有切平麵、主曲率、測地線。曲麵在一點P處的切平麵是最接近它的平麵； 嚴格定義是對附近的點Q，當Q沿曲麵趨向P時，射線PQ與平麵的夾角趨向於零。切平麵的法向量可以用曲麵方程的偏導數表出。有了切平麵，就可以求曲麵的麵積了：把曲麵分成許多小塊，每一小塊投影到小塊上某點的切平麵上，以投影平麵區域的麵積來作為此小塊曲麵的麵積近似值，再相加，取極限即可。

如何來刻劃曲麵的彎曲程度呢？可以考慮曲麵離開切平麵的速度；但是，在不同的方向，曲麵離開切平麵的速度是不相同的，我們就得考慮所有曲線的平均曲率及主曲率等。在所有經過給定點P及其曲麵在該點法線的所有平麵中，每一個都與曲麵有一條相交曲線（稱為曲麵在該點的法截線）；這些曲線的彎曲方向可能是不相同的，我們就給它們的曲率指定了正、負：當曲線的凹向與指定的法線方向一致時，曲率為正，否則為負（這種曲麵稱為有向曲麵）。這些曲率之間是有關係的，可以證明，存在兩個互相垂直的方向，曲麵向著這兩個方向的法截線的曲率分別是所有曲率中的最大直K₁和最小值K₂，那麽其他法截線的曲率K可以表示為 K₁(sina)^2 + K₂(cosa)^2，其中a是法截線與曲率為K₁的法截線之間的夾角。這是歐拉發現的公式。K₁和K₂稱為曲麵在給定點處的主曲率。

當一個平麵不經過法線時，它與曲麵交線的曲率可以用梅涅公式給出：法截線曲率的絕對值除以兩個平麵夾角的餘弦。兩個主曲率的乘積稱為高斯曲率。它的符號決定了曲麵的形狀：為正時，是碗的形狀；為負時，是馬鞍的形狀，為零時，其充分小的片段可以展開到平麵上。而且，高斯曲率在彎曲變形下是不變的。

短程線

曲麵上的兩點之間有最短線，例如，球麵上兩點之間的最短線是經過這兩點的大圓上的劣弧。在曲麵上的三點，由最短線組成了一個曲邊三角形。如果定義兩條曲線間的夾角為它們在切平麵上的投影之間的夾角，那麽，曲邊三角形的三個角之和（不總是180度）可以用Pi加上高斯曲率關於三角形麵積的積分來表出。

在曲麵上，起著直線作用的是測地線：它的每一個充分小的弧段都是最短線。可以證明，它在每一個點的主法線都與曲麵的法線同方向。通俗地說，測地線就是當曲麵在一個平麵上沿一條直線滾動時，直線在曲麵上的痕跡；因此，也可以說是測地曲率為零的曲線。

在給定弧長求最大麵積，或是求最短線時，都離不開變分法。變分法開始發展的第一個問題是最速下降線問題：經過一個垂直平麵內的任意兩點，求一條曲線，使得質點僅在重力作用下（沒有初速度），沿此曲線走過時，所需時間最短。在利用勢能算出質點在每點的速度後，用弧長元素除以速度即得時間微元；積分後，可得總時間。

另一個問題是在平麵上經過兩個給定點的所有曲線中，當它們繞X軸旋轉時，找出具有最小曲麵麵積的那條光滑曲線（具有連續的導函數）。把曲麵麵積用定積分表示後，我們又得到了一個要求積分最小值的函數。

這就是變分法的基本問題：求一個函數（一元或多元），使得一個積分（單積分或重積分）具有最小值。求解的思想很簡單：由原來的函數加上一個數字參數乘以另一個任意函數，代如積分中，就的到了含有此數字參數的一個積分。如果原來函數使得積分具有最小值，那麽，關於數字參數的積分就在零處達到最小值。根據一元函數的極值原理，此積分對數字參數的導數應當為零。再有含有任意函數的積分為零，導出被積函數必為零（要求被積函數連續），即可得出一個（偏）微分方程（稱之為歐拉方程）。

歐拉方程是所求曲線（曲麵）所滿足的必要條件。在解出微分方程後，還要驗證其充分性。但是，由於具有初值條件的微分方程的解通常都是唯一存在的，如果假設給出積分最小值的函數存在，那就可以肯定，歐拉方程的解就是所要求的函數。

當微分方程解不出時，我們可尋求變分問題的近似解。把給定區間（等）分成許多小區間，每個小區間的端點設一個待定的縱坐標，用直線或曲線段把它們連接起來；將此函數代入積分中，就得到了關於待定縱坐標的函數；對這些縱坐標求偏導，讓它們等於零，解出縱坐標。這樣就可以得到近似到任何程度的折線。另一個近似方法是用一列滿足完備性的函數列的線性組合去逼進：讓關於係數的偏導數全為零，以確定係數。

高維空間裏的推廣

在n維空間V如Rⁿ中，一個k維流形（manifold）指的是從R^k的某個區域U到Rⁿ的一個連續（可微）的映射：f: (x1, …, xk) → (y1, …, yn)。如果V還有線性結構，則它的極大線性子空間的平移，就叫做“超平麵”（hyperplane）；引進距離的概念後，可以定義有限部分的麵積。那什麽是曲麵呢？就是Rn中的一個n- 1 維流形。K維微分流形是由Rk中的一些小塊區域（流形）一片片、連續光滑（有各階連續導數）地拚接起來得到的區域。每塊區域D可以表示為，從Rk的一個（矩形）區域U到D的一個一對一的映射：yj = fj(x1, …, xk), j = 1, …, k。”一對一“的條件，可以用Jacobi行列式不為零來刻劃。（x1, …, xk）就是區域D的”曲紋坐標“。

K維矩形區域【a1, b1】×… ×[ak, bk] 的“體積“定義為（b1 – a1）×… ×(bk – ak)。為了表示高維曲麵的有向麵積，大幾何學家 Élie Joseph Cartan 引進了”外微分“的概念。m次外微分式，就是m個微元的外積的線性組合，係數關於下標是反對稱的。所謂兩個”外形式“的”外積“，就是兩個具有反對稱性的多重線性函數的張量積。這些概念太繞口了，其實都不過是一些行列式而已，反對稱性就是行列式定義中的變號係數；如果用變換的矩陣來表示的話，一切都一目了然（還大幾何學家呢！）

有了m次外微分式g, 可以定以它的m + 1次外微分式dg：它是連續可微函數的微分概念的推廣。在不同的曲紋坐標下，dg具有形式不變性。引進積分概念後，dg在區域D上的積分，就等於g在D的邊界曲麵上的積分。這稱為Stokes公式；它把三維空間裏的Stokes公式、Gauss公式、Green公式，都統一起來了，漂亮吧！