泛函分析簡介（1）

泛函分析研究各種空間的結構、兩個空間之間的變換（算子），尤其是函數空間上的泛函，也就是以函數為自變量、映射到某個數域中的線性算子。它不僅賦予空間各種幾何結構，如距離、角度、維數，還融入了代數結構，如加法、數乘、極限；可以定義收斂性、微分、積分，從而高度概括了線性代數、數學分析、實分析、複分析、微分方程、微分幾何、部分拓撲學中的主要理論。在拓撲學中，收斂性的概念更為一般化；有的拓撲空間中甚至都不能引入距離的概念。

最一般的拓撲空間，就是把一個非空集合的一些子集歸集在一起，隻要滿足三條開集公理。如此簡單的結構，卻生長出了令人驚奇的豐富結果：鄰域給出了最一般的極限與連續性概念；空間的分離性、各種緊性、連通性，可以刻畫得淋漓盡致。網收斂的概念，把點極限（序列極限）、體極限（度量積分的極限）一網打盡。一個拓撲空間，還可以對應到一個代數係統（比如群）；兩個拓撲空間之間的同倫關係，可以表示為兩個代數係統係統之間的同構關係。這就有了代數拓撲學，其基本對象是基本群與同調群。

再往上，空間的結構還有四個層次：度量（距離）空間、線性空間、賦範空間、內積空間。任何滿足正定性、對稱性、三角形不等式的二元函數都可以叫做距離。拓撲學裏去掉正定性、換成可分離性，就得到了偽距離族；由此可以描繪一致空間。在愛因斯坦的相對時空裏，除對稱性外，其它兩條距離公理都不滿足，隻是兩個四元數的之差的模。有了距離的概念，就可以方便地定義收斂性。盡管距離的概念，可以隨意定義，在有限維空間裏，按照收斂性的意義，它們其實都是等價的。

為了把距離的概念引伸到向量長度的概念，自然的想法是把向量的長度定義為它到零向量的距離。在線性空間中，向量之間有代數結構：兩種線性運算，加法及數乘。兩個向量之和的長度不超過各個向量的長度之和，正是三角形不等式的體現。向量加法實際上一個向量的平移，按照常理，平移之後的長度應當不變；這就得要求距離函數具有平移不變性：d(x + y, x + z) = d(y, z)，這也相當於距離函數對加法運算是連續的。對於數乘運算的伸張性，可以要求距離函數具有正齊次性：d(kx, ky) = |k|d(x, y). 這就相當於引進了“範數”的概念。完備的賦範空間就叫作Banach空間；至於準範數，至是把齊次性改為正、負向量範數相等，以及範數關於數乘的連續性，這便有了Frechet空間。

還缺一個方向的概念。在數學中，一般是用“角度”來表示方向。在歐幾裏德空間中，兩個向量之間的夾角是通過點積（標量積）、加上Cauchy不等來定義的；在一般的線性空間中，也可以如法炮製出“內積”：一個二元函數f(x, y)，滿足正定性、對第一個變量x為線性、對第二個變量y為共軛線性，再加上共軛對稱性。共軛的要求是為了保證複空間上的Cauchy-Schwarz不等式成立；盡管依然得不出“複角度”的概念，但對於誘導出範數、滿足三角形不等式，已經足夠了。有了正交的概念，最佳逼近的問題迎刃而解；有了正交規範基，任何向量都有了Fourier展開式。Hilbert空間也就算是完善了。

如果一個範數滿足平行四邊形恒等式，也可以誘導出一個內積。在一個向量空間裏，從內積定義距離，是很自然的事情：d(x, y) = ||x – y||。上述四類空間，以內積要求最高。我們還缺個矢量積！在三維空間裏有，高維空間就沒有了。也許有了張量積，叉積就不需要了；正如有了向量，四元數就被拋棄了。

泛函分析主要研究函數空間。函數是從一個非空集（上述五類空間）到複數集的一個映射；全體函數的集合的基數為2^c, 這裏的c是連續基數，人類能夠構造的最大基數了！把一些函數歸結起來，在其中定義一個距離、一種範數、或是一種內積，研究其完備性、列緊性、緊致性、可分性等等，隻是一個開篇；接下來，還得討論各個空間之間的關係，用算子。