信號與編碼原理（1）

信號是信息的物理載體。在形式上，有光信號、聲信號、電信號；按時間特性區分，有確定信號、隨機信號；在處理上，有連續（模擬）信號、離散（數字）信號。連續信號可以通過采樣化為離散信號；如果把模擬信號經過抽樣、量化、編碼後變換成數字信號後再進行傳送，那麽這種通信方式就是數字通信。離散信號可以通過移相（Phase shift）、樣條函數、統計回歸等方法化為連續信號。

在物理上，為了表示一個物體的中心位移、形體變化（表麵張力）、內能的變化（功率）等信息，我們需要設置多個（至少7個）維度的時刻函數。這就是說，向量、矩陣都不足以描述物體的全部狀態，我們需要張量。在每個維度上的時刻函數都是連續的，但是人類的探測隻能取得樣本的離散信號，需要加以某種連續化的模擬，才能還原信息（生成圖像，以便人類理解）。

在單個維度上的時刻函數x(t)，代表某種能量隨時刻的周期性波動，可以通過頻率、振幅、位相的變化來表示。頻率就是單位時間（每秒）內，在一個周期內，完成的全振動的次數；振幅是最大值與最小值的差的一半；位相與能量的時間積分有關。在數學上，為了表示簡單，往往設基本脈衝波形同為i(t)，它的持續時間為T；一個信號就可以表示為可數個項 x(n) i(t – nT) (n從負無窮到正無窮)之和。係數列{x（n）} 與振幅成比例；如果x(t)是周期函數，它的周期p必定為T的整數倍，而且x(n)也是周期數列，其周期q是p/T的一個因數。有限數列{x(0), x(1), …, x(q-1)}就代表了此信號，可以稱為信號向量或碼字。

對於基本脈衝波形，物理上一般用正弦和餘弦函數的疊加來表示（Fourier級數）。我們有著名的采樣定理：當頻率不超過F時，由正、餘弦函數疊加所組成的信號（Fourier係數），可以由采樣率高於每秒1/F次而唯一確定。正、餘弦函數，形成了L2【0，2pi】空間上的一個完備正交係；其取值範圍在-1到+1之間，便於積分計算，卻不利於采樣。在通信上，多用Walsh函數。1923年，美國數學家Joseph L. Walsh構造了一類取值為±1、在空間L【0， 1】上的完備正交係。對於周期為1的函數，都可以展開為Walsh級數。如果把一個函數在單位時間內，在單位區間【0， 1】上的變號次數的一半，叫作Sequence Rate的話，那麽，當這個列率不超過R時，由Walsh函數疊加所組成的信號，可以由采樣率高於每秒1/R次而唯一確定。

對Walsh函數取樣，人們構造了Walsh矩陣：每個位元取值±1、可逆。其構造方法多樣而且高效。在Hadamard順序下，還構造出了正交矩陣；進而推廣到高維的Hadamard矩陣。對於高維矩陣，正交性是由異相自相關函數（一種卷積）為零來刻劃的。任何具有此性質的高階張量被稱為最佳二進陣列，其相關函數近似於一個脈衝函數。

數字信號編碼的目的就是，在數字化表示中，信號集裏的每個信號與它自身的時延信號、每兩個不同信號及其時延信號就很容易區分開來。區分信號的度量標準就是函數空間L2裏由範數導出的距離：這個距離越大，就越容易區分兩個信號及其時延。要使兩個時刻函數x(t)和y(t)之差的平方的積分變大，它們的乘積的積分的絕對值就要盡可能地小，因為其平方的積分代表能量，其值是固定的。反映到碼字{x(n)} 及 {y(n)} 上，就要求和式x(n)x(n + l) 以及 x(n)y(n + l)對所有l的絕對值盡可能小。人們為此設計了各種各樣的數列，較為常用的是各類三角函數所得的數列。

相關函數還可以用下標的並元和來定義，即下標的二進製表式中按位模2相加：給定一個長度為2^n的信號序列{x(k): k = 0, 1, …, 2^n – 1}，其並元相關函數定義為，對x(k) x(k  l) 中的k從0到2^n – 1 相加。如果當l 非零時和式總是零，此數列就稱為一個並元碼。由一個數列生成的並元矩陣，第i行第j列的位元為x(i  j)。由並元碼生成的並元距陣可逆，而且逆距陣等於原矩陣的一個常數倍。當各項x(k)取值為±1時，所得到的就是二進製並元碼。此時，x(k)可以表示為(-1)^f(x1, x2, …, xn)的形式，x1, x2, …, xn為k的二進製係數，f為某個布爾函數。1976年，Rothaus提出了一類特殊的布爾函數-Bent函數；據此構造出了相關性能良號的離散信號—Bent序列。

為了壓縮信息數據，離散的信源函數f(t)在傳輸之前，還可以預加濾波處理。把f(t)分拆為g(t) + h(t)，g(t)為擬保留信號的時域表示（保留列率），h(t)為擬濾掉信號的時域表示。按照Wiener濾波的數學模型，隻要在濾波方陣的主對角線上，把擬保留的列率位置放 “1”；把擬濾掉的列率位置放“0”即可。

信號數字化處理的目的是，通過對信號的分析、修改、合成，以改善傳輸，存儲效率，信號質量等，還便於提取感興趣的信息。