泛函分析簡介（2）

算子的概念起源於運算。比如，求導運算可以稱之為微分算子（在微分方程中），積分變換也可以叫作積分算子。在線性代數中，兩個有限維空間之間存在著線性變換，一個空間自身的線性變換也被叫做線性算子。在任何兩個空間之間或者從一個空間到它自身，兩個對象（向量、子集、函數等等）之間，總可以建立某種對應關係；這種關係可以被稱為映射、變換、或者函數。實際上，任何幾何圖形（或稱流形），都可以表示為某種對應或變換。在泛函分析中，泛函（functional）就是把某個空間裏的元素對應到實數或者複數。如果一種對應關係還保持某種性質（如線性運算、長度、角度、開集等）不變，那就被稱為一個同態；如果它還存在逆變換，那就是一個同構了。

線性算子是定義在線性（向量）空間上的；它保持線性運算。在賦範空間中，有了距離，可以定義算子的連續性；兩個Banach空間之間的所有連續線性算子，還可以定義算子範數，形成一個Banach空間。在Hilbert空間中（完備的內積空間），有了內積，可以定義在子空間上的正交投影；這是一個範數為1的線性算子。在Hilbert空間裏，線性泛函隻有與某個特定向量的內積（Fisher Riesz定理）。

有四條基本定理，被稱為泛函分析的四大支柱，揭示了Banach空間上的線性算子（泛函）的基本性質。第一條是開映像定理，一個連續的線性算子，把開集映射為開集，當且僅當它是滿射。其證明基於Baire的綱集定理：任何完備的度量空間都是第二綱集，即不能表示為可數個疏集的並集。第二是閉圖像定理，一個線性算子是閉的（保持點列收斂性），當且僅當它是連續的。第三是一致有界原理，又稱Banach-Steinhaus定理，如果一簇算子在空間中的每一點的範數有上界（依映像空間裏的範數），那麽，整簇算子依算子範數也有上界。把它用到Hilbert空間裏，可以得到Lax-Milgram定理，即共軛雙線性函數的表示及線性算子的估計。

第四條是Hahn-Banach定理，它允許子空間上的有界線性泛函延拓到整個空間上，並且表明，在賦範空間中，存在足夠多的連續線性泛函；它們形成了兩個共軛空間，具有一些十分有趣的性質；還可以定義共軛算子以及弱收斂性。Hahn-Banach定理，在幾何上則表現為凸集的分離定理：點與凸集、凸集與凸集之間都可以用一個超平麵分離。由此，凸集上的凸規劃問題，便得到圓滿解決，這就是Kuhn-Tucker的定理。

線性算子的譜理論來自於線性代數中矩陣特征值的推廣。在遞推數列、微分和積分方程中，也有特征值的概念，用於給出基本解。在量子力學中，能量算子的特征值，對應著該係統束縛態下的能級；而光譜隻是某個算子的特征的分布。另一方麵，通過特征值或者更一般的譜係的分布，我們可以了解算子本身的結構，進而推知空間本身的結構。

量子力學的基本方程是Schrodinger 方程，其中涉及一個特殊的Hamilton能量算子，作用在波函數上（它的模的平方等於概率密度）。方程本身是Schrodinger根據能量守恒推出來的，但也可以用概率論的基本公理（歸一性、可數並、過程獨立性）推導出來。為了找出方程的部分解，可以用分離變量的方法，卻沒有任意函數給出全部解。在泛函分析中，定義全體波函數集上的一個變換，從初始時刻的波函數到任意時刻的波函數；所有這些變換形成一個單參數的酉群。按照Stone定理，可以推知Hamilton能量算子是一個自伴算子，並且還能給出解的表示。

在Feynman積分中，他把所有概率幅度按照所有連接起始狀態（0，x0）與任一狀態（t, x）的連續路徑相加，以得到Schrodinger的解。在每一條路徑上，概率幅度與位相成正比，而比例係數與路徑無關。這種連續加法當然是沒有任何收斂性的，隻能用多邊形路徑去逼近。通過調整路徑比例係數，應用概率幅度的疊加原理，便可推出一個類似黎曼積分的表達式，它滿足Schrodinger的方程。