操作問題

這類問題充分體現了步驟的重要性. 解答方法包括試錯法, 遞推法, 倒推法. 在IMO的問題中,還需要構造法, 賦值法等.

以下是幾道相關問題, 都有一定難度. 有興趣者不妨一試.

1. 一台裝置有A, B, C, D 4個按鈕: 按A, 會把輸入的數加5; 按B, 會把輸入的數除2; 按C, 會把輸入的數減4; 按D, 會把輸入的數乘3.

(1)9, A, B, C, D, ?

(2)A, B, C, D100, ?

(3)7, 7, ?

2. 在一個玩具上有100個站著的洋娃娃和兩個按鈕: 如果按下紅色按鈕, 一個娃娃會坐下; 如果按下綠色按鈕, 立著的娃娃數目會加倍. 現在有兩個站著的洋娃娃, 請指出操作步驟, 使得恰好有27個娃娃站起來.

3. 給定兩個數A和B, 可按規則C = AB + A + B擴充一個新數; 再從A, B, C三個數中任取兩個, 按上述規則再擴充一個新數, …. . 每擴充一個新數稱為次操作. 現在,從1和4出發, (a) 經過三次操作能得到的最大數是幾? (b) 能否通過上述操作得到1999? 為什麽?

4.財黑板上寫有97個分數: 48/K, K = 1, 2, 3, …, 97. 每次選出兩個數 A 和B, 將其拆去, 換成2AB – A – B + 1. 這樣操作96步後, 還剩下一個數. 這個最後剩下的數是什麽?

5. 在黑板上寫上三個正整數, 然後將其中一個擦去, 換上比其他兩數之和小1的數. 如果將這個過程重複若幹次之後得到(17,1999, 2015), 請問, 最初的三個數可以是(2, 2, 2)嗎? 可以是(3, 3, 3)嗎? 若不是,請說明理由; 若是, 請指出具體過程.