漏洞百出的歸納法

從一般定理推出特殊結論叫 “演繹”, 而從一些特例找出一般規律就叫 “歸納”. 歸納得出的結論並不總是正確的. 比如一則關於物理學家的笑話: 一位物理學家斷言60能夠被所有小於它的數除盡, 他說: 60能被1, 2, 3, 4除盡; 再試試5和6, 也行; 看看7, 不行! 不過這可能隻是個實驗錯誤而已. 再看看10, 12, 15, 20, 30, … 都能除得盡60. 所以說, 60能夠被所有小於它的數除盡.

要證明歸納得出的結論之正確性, 可以使用 “數學歸納法”. 它分兩步進行:

第一, 證明結論對於起始值成立(通常是從1開始);

第二, 假定結論對於n = k成立, 推出n = k + 1也成立.

那麽, 結論對於所有正整數都成立.

看看下麵幾個證明到底哪裏出了問題, 以至於推出了謬論.

例1..

證: 假定命題 “n = n  + 1” 對於n = k成立, 即有k = k + 1. 當n = k + 1時, 在上式兩邊同時加1 可得: k + 1 = k + 2. 故結論對n = k + 1也成立. 所以, 結論對於所有正整數都成立.

例2..

證: 當n = 1, 命題成立, 因為一個人跟他/她自己顯然同名.

假定結論對於n = k成立, 即: 任何k個人都同名. 當n = k + 1時, 我們可以把這k + 1個人排成一行. 由歸納假設, 前k個人同名, 後k個人也同名, 所以他們都跟中間的人同名.

例3..

證: 用n表示人的頭發數. 當n = 1時, 命題成立,因為隻有一根頭發的人肯定是禿子.

假定結論對於n = k成立, 即: 任何有k根頭發的人都是禿子. 那麽, 對一個僅有k + 1根頭發的人也隻能算是禿子. 故, 所有人都是禿子.

下麵還有幾個命題, 試試看你能不能構造出一個謬誤的證明.

1. 假設平行線相交於無窮遠處. 證明, 平麵上任何n條直線都有一個公共點.
2. 證明n×n – 79n + 1601 對所有正整數n都是質數.
3. 證明2 + 2^2 + … + 2^n = 2^(n + 1). 2^n 表示2的n次冪.