風吹楓葉黃
憧憬退休的生活，聞吻夕陽的色彩
素數隨想
（一）隨想的前奏
作為一個數學係學生，我應該算是一個曾經比較熱血的，一直喜歡那些關於數論、平麵幾何等各種與自然界相關聯的東西，直到畢業轉行了還是如此。
我的中學時代受宣傳陳景潤的影響，當然也是本色亦然，對數學可以說是熱愛，結果就在上大學時選擇了這個專業 – 我是被第一誌願錄取到數學係的。那時的人們還都比較理想化，就算是有務實的想法，也相信“學好數理化，走遍天下都不怕”那套說教。
上了大學後慢慢發現高級純理論的數學和自己的想象不太一樣，有點脫離自然世界，越來越抽象晦澀。但我比較懶，也比較皮實抗壓，挺了過來，懶得去轉換專業。
我的本科畢業論文搞得是調和分析（Harmonic Analysis）。那時因為家父病危，需要回家照顧，連這個論文也完全是好友幫忙的結果，很慚愧 – 這位好友現在美國大學做計算機教授，在此再次感謝 – 那可是真哥們兒：我離校回家一個多月，隻是臨走前告訴他有事就幫我應付一下，因為我不知道要回去多長時間，結果我在論文答辯前兩天才回來，此時他在我不知情的情況下已經幫我寫好了論文，連標題都是他命的名 – 關於調和函數性質的幾點注記。
然後，畢業答辯時有一個精彩的橋段：
在我“複習”了一下那篇畢業論文後，就是看懂那些公式推導，就做了答辯。當我介紹了這種調和函數產生的幾個“美麗”的屬性之後，一個我不認識的評審老師提問，你能不能舉一個具體的調和函數的例子來說明？應該說，這個問題是最基本的了，沒有任何刁難之意。不幸的是，我還真的找不出這樣一個例子。於是，我紅著臉轉向我的導師，尋求幫助。
在前排坐著的我的導師也是麵露尷尬，轉過頭去解釋說：我們搞理論數學研究的，主要注重形式邏輯推導和公式的美感，希望能夠得到像愛因斯坦的質能方程、麥克斯韋電磁方程、歐拉公式等那樣漂亮的公式。至於在現實中如何應用，不是我們關注的重點。說實話，這個例子我現在也舉不出來。
這時我已經考了他的研究生並被錄取了。我開始逐漸體會到，數學不屬於真正的自然科學！數學隻是純理抽象，是一種邏輯工具。喜歡聯係實際，對純抽象有點臉盲的我，此時對於純理數學的熱情到此也消磨一空，後來雖然讀了數學研究生，但還是又轉成工科，離開了純理抽象的數學天地。但巧合的是，畢業後我還真的做了多年的調和分析的應用，比如傅裏葉譜分析、核磁共振信號處理等工作，雖然與理論數學上的調和分析不搭嘎。
這裏插一句 – 人生就是這麽狗血：在《童年的記憶》裏我曾提及，我的小學第一堂課是以無知、無感的被動“作弊”開始的，我沒有動一下筆就得到了入學考試的 100 分；而大學畢業又複製了小學入學的魔幻，沒有動一下筆，畢業論文就得了 A – 當時考上研究生的同學好像都拿了 A。
我對數學中那些和自然世界貼近的部分還是情有獨鍾，在畢業工作後有時還會去琢磨一下。其中一大興趣就是關於素數，也稱為質數， prime number。它們像生長於自然數間的雜草，看上去隨機分布，但又表現出驚人的規律性，並有規範其行為之法則，且以可證明的精準度遵守著這些法則。
為紀念創刊 125 周年，Science 雜誌於 2005 年 7 月提出了 125 個重要的科學問題，其中包含 25 個最突出的重點問題以及其他 100 個生命科學、物理學、數學等領域的難題。
2021年，上海交大協同 Science 在全世界範圍內再次征集並發布了新的 125 個問題。其中三個數學問題被列在首位，而第一個問題就是 “是什麽讓素數如此特別？”。
【翻譯】有無限多個素數，就是那些隻能被 1 和該數字本身整除的數。對於數學家、計算機科學家和其他專家來說，其存在性和屬性非常有趣。雖然所有的自然數都可以表示為素數的乘積，但將大數分解為素數的積卻存在很大困難。 由於素數具有與分解相關的獨特屬性，因此它們在密碼學領域非常有用。想象一下，計算機加密依賴於一個非常大的數字，例如具有數十甚至數百位數字的多個因數的數字； 即使是超級計算機在識別其素因數方麵也會麵臨巨大的挑戰，這使得素數在信息加密領域極有潛力。
雖然數學在嚴格意義上不屬於自然科學（沒有證偽性），而是以形式邏輯為核心的符號語言，但在各種科學問題上數學工具是不可或缺的，而且極為重要。不信，你看看下麵的公式，如果出現在某篇文章中，是不是就有讓人肅然起敬的高大上的感覺？
– 熟識這個公式的人一定是物理學界的好學生。
聲明一下：其實概率統計是可以驗證的。所以我個人認為概率統計學屬於自然科學範疇。但概率統計是否該歸類為純理數學，就是另一個問題了。
在八十年代，計算機性能還不像現在的水平，對複雜計算的能力有限。當時我接觸到偽隨機序列生成，就是用一個種子不斷乘積後用大素數求模產生的序列。現在還記得一個經典的數對：種子是16807，大素數是2147483647 – 這是一個梅森素數，231-1，第31個梅森數。這對數產生的偽隨機序列的“隨機性”很好，序列長度為10位數。但理想的隨機序列式白噪聲，還是達不到的。
素數對應的是合數，也就是說，不是素數的自然數就是合數。對於剛剛接觸到初等數學的人來說，素數與合數的關係和奇數與偶數的關係有點類似。但其本質卻是有巨大的差異。和多年來的社會閱曆融合在一起，我感受到素數及其屬性可以映射到人類社會中。
現在我試一試用“關於素數的一點注記”的方式來補上我那“作弊”的大學畢業論文，也以此紀念我那數學係為我辯護的導師 – 他在我畢業後沒幾年就故去了，還不到50歲，英年早逝，也是癌症。可惜我連一張他的照片都沒有，不過他長得很像陳教授：
下麵就是我的素數隨想。在開始之前，請有興趣的讀者做一個小練習，試證明：在n2和(n+1)2之間，至少有一個素數 – 答案在文後找，不過最好自己先嚐試一下。
（二）隨想
【素數性質 – 1】素數是自然數中的中堅。如果把自然數看成一個空間，那麽素數就是這個空間的支撐框架。任何一個大於1的合數都可以用素數的積來表示。比如，2023 = 7 x 17 x 17。這樣，素數就可以用來構成這個自然數世界。這就是我們小學學習的因式分解。
隨想 – 這個社會上有一些素數人，就像砼（tóng，混凝土，我從土木係同學那裏學習來的字）裏的鋼筋，支撐起了這個社會大廈。這些人有獨立的人格，有自由的思想，不會人雲亦雲、隨波逐流。這個人類社會靠的不是那些唯唯諾諾、見風使舵的人。當社會風起雲湧之時，牆頭草們都隨風而去，隻有他們堅韌不折，撐起這片天，是社會的中流砥柱；當社會政通人和，國泰民安之時，他們又是走在時代前列的先行者，引領著時代的潮流。人類社會上的最小思維單位就是那些素數人。
【素數性質 – 2】素數在自然數中的完備的。哥德巴赫猜想（向陳景潤致敬）：任何一個大偶數都可以用兩個素數的和來表示。雖然這個猜想沒有被完全證明，但現在數學界沒有人懷疑其正確性。比如，20 = 3 + 17。當然，奇數加 3 就是偶數，所以奇數可以最多用三個素數的和來表示。這樣，不超過 3 個素數相加就可以得到所有的自然數。
隨想 – 僅靠素數人就可以完成這個世界上的任何人間奇跡，素數人也可以把思想活動伸延到社會各個領域、各個角落，沒有死角。如果有什麽自然界的難題產生，隻要有足夠的時間，素數人就可以找出解決問題的方法，不管是小行星要撞地球，還是超級細菌未知病毒侵蝕人類健康。
【素數性質 – 3】素數在自然數中是稀疏的，而且值越大越稀疏。雖然在數值較小時，有不少靠近的素數，但隨著數值的增大，素數在自然數中的分布就越來越稀少。比如以100為區間，100以下的素數有2、3、5、7…97等共25個，但1000~1100中就隻有16個素數，10000~10100中就隻有11個，100000~100100中就隻有6個。如果上麵的100區間改為1000區間，則上述的類似位置上素數的個數就變成了168、112、87、65、53。這個素數分布原理叫素數定理，用 π(x) 來代表小於x的素數的個數，其初等表達式： π(x) ≈ x / ln(x)，ln是自然對數。比如 π(100) = 22， π(1000) = 145， π(10000) = 1086， π(100000) = 8686，...；而實際上的素數個數對應為 25，168，1229，9592，...。其高級表達式更準確：π(x) = ∫1/ln(t)dt。當年高斯和勒讓德都在18世紀末提出了類似的理論，但無法證明。這個問題的證明成為當時數學界的頂尖難題，當時有傳言，誰證明了這個問題，就會得到永生。100年後，法國數學家雅克·阿達馬和比利時數學家德·拉·瓦萊布桑先後獨立給出證明！他們倆果然高壽，分別活到了98歲和96歲。相關聯的素數定理推論：對每個正整數 n，從 (n+1)! + 2 至 (n+1)! + n + 1 的 n個連續正整數都是合數(非素數)。
隨想 – 我也想長壽，可惜沒有這份天賦去證明這個素數定理。社會中素數人不是均勻分布的，而是距你越遠的地方素數人越稀少。這就好像是廣義相對論中質量（引力）對時空的密度壓變，讓觀察者看到平麵的扭曲。素數數量本身就大大少於非素數，那麽在你不熟悉的環境下，素數人更是顯得少。在這個世界裏，庸庸碌碌的人永遠是大多數。
【素數性質 – 4】不僅素數是可以無限大的（歐幾裏得定理），而且孿生素數也是可以無窮大的 – 這就是希爾伯特在1900年提出的孿生素數猜想。孿生素數就是 N 和 N+2 都是素數的情況，比如17和19。雖然素數在自然數中是稀疏的，但不管如何設限，總有更大的孿生素數。北大學子張益唐對此頗有研究，目前他的結果在這個問題的研究上也是最先進的，不過和哥德巴赫猜想一樣，也沒有完全證明，不過大家都相信證明隻是時間問題。
隨想 – 道不孤行，不管素數人是如何的少，總會有結伴的素數人，在某個地方、某個領域，做出傑出的貢獻。比如楊振寧與李政道，雖然前者在非學術領域讓人有些微詞。
【素數性質 – 5】素數理論是RSA加密算法的基石。因為對大數做因式分解的算法複雜度與大數相乘或求模的不對稱性，兩個大素數可以用來產生RSA算法。這樣的兩個素數的積也被稱為半素數，RSA數是一些大的半素數的集合。這種加密算法是MIT的三位大咖在1977年提出的，隨用他們三人姓名的首字母命名。這是一種公開密鑰算法，在電子商務中被廣泛應用。
隨想 – 這就是 2021 版 Science 的 125 重要問題 No 1 的描述。到目前為止，分解素數還是沒有什麽太好辦法，除了 brutal force，一些算法可以加速，但還是很慢。這就像在茫茫人海中尋找那個對的你，或是在複雜工程中尋找合適的能工巧匠。素數不像毛遂，無法自薦，薦了也不一定有用。素數人也是如此，能識別素數人的才是高才伯樂。
【素數性質 – 6】素數本身是有優美的內在規律的。對整數a，如果p是素數，則 ap-a 是p倍數 – 這就是費爾馬小定理，比如 a = 2，p = 31，則 2 的 31 次方減 2 就是 2147483646，是 31 的倍數。
隨想 – 發現素數人特征是很 tricky 的。作為律師，費爾馬四百年前就發現了這麽複雜的素數內在屬性，厲害。歐拉和萊布尼茲都在費爾馬發現約100 年後給出了證明。我也曾碰巧對此感興趣 – 那還是在我知道有這個費爾馬小定理之前，我也發現了類似的規律，但是是其逆命題，即如果 ap-a 是 p 倍數，則 p 是素數。我當時高興得想發表論文，可遺憾的是這個發現是錯的，而且我不是第一個犯錯的人。中國數學前輩李善蘭 （1810年—1882年）就曾發現過，並被稱為中國猜想：當 a = 2，n = 341 時，中國猜想不成立，因為 341 = 11 x 31。關於這個中國猜想，還有許多神奇的故事，甚至被神話到春秋時代，李約瑟在《中國科學技術史》中也有提及。
素數還有許多性質，在此就不拓展了，大家可以自行腦補：
- 素數和而不同...
- 素數可助韓信點兵...
- 素數除了 2 都是奇數...
- 素數是有棱有角的石頭…
- 素數是個性十足的的另類…
- 素數是不隨波逐流的非主流…
- 素數是有自我意識的萬物代表…
（三）隨想的伸延
從其名字上就可以感受到其特性：素數、質數，翻譯得真好，反映了其性質，類似幾何上的奇點。英文更是有味道，prime，來自拉丁語primus，就是第一位的，初始的。由此派生的名詞：
Prime minister – 總理
Prime time – 黃金時間
Primer – 底漆
歐幾裏得（公元前 325 ~ 公元前 265）是偉大的古希臘數學家，在思想巨匠亞裏斯多德離世前三年出生，和超長待機的秦昭襄王（秦始皇的曾祖父）是同時期的人。就在東方世界上演連橫合縱、爾虞我詐之際，他貢獻了三維空間的公理化體係結構，故我們現在最基本的三維幾何空間被稱為歐幾裏得空間。那時古希臘的哲學、科學、方法論是如此輝煌，看歐幾裏得的關於 “素數是無窮的” 證明就可見一斑。因為是歐幾裏得給出了第一個證明，故也稱為歐幾裏得定理（後來歐拉在18世紀也給出過解析的證明，並且推論出素數的出現密度高於自然數的平方數）：
【證明】如果素數是有限的， S{P1,P2,P3…Pn} 是由所有素數所組成的有限集合，令 N = 1 + （P1…Pn）， （P1…Pn）為所有 S 中所有素數的積。如同其他自然數一樣，N大於所有素數，必可被至少一個素數整除。但任何可整除 N 的素數都不可能是有限集合 S 內的元素（素數），因為後者除 N 都會餘 1。所以，N可被其他不屬於 S 的素數所整除。這與前麵 S 的定義是矛盾的，所以 S 不是有限的。
前麵的練習題“在n2和(n+1)2之間，至少有一個素數”的答案：不好意思，開了一個天大的玩笑 – 這是著名的勒讓德猜想，由德國人 Edmund Georg Hermann Landau 在1912年提出，已經有一百多年了，至今無人征服，既無法證明也無法證偽。
我在上高中時曾經也有過類似的笑話。1978年，“科學的春天”剛剛開始，我靠數理競賽上了我們那裏唯一的重點高中。當時分班是按成績排名，我們年級 7 個理科班，完全按入學考試成績分，把我們競賽的前 20 名加上升高中考試的前 30 名拚成一班。可想而知，同學們都是來自各個中學的尖子，牛氣得不要不要的，感覺自己離陳景潤華羅庚不遠了。
高中開學的第一天，報到後也沒有什麽事，我們這些靠競賽上去的因為不久前在地區禮堂裏頒獎時見過，彼此認識，就嗨了起來：有一位猥瑣的高手出了一道題，讓這些不知深淺的同學證明：X3 + Y3 = Z3 沒有非零整數解。一幫“驕子”們瞬間都靜了下來，憋著勁要當第一個證明人。嘿嘿，結果可想而知......
1993 年 6 月，英國人 Andrew John Wiles 發表了他的證明，“解決”了費爾馬大定理（也稱費爾馬最後定理），也就是這個題目的一般形式：“Xn + Yn = Zn 當 n 大於 2 時沒有非零整數解”。
Andrew 的證明在數學界極為轟動，這可是公認的三百五十百年來最難啃的骨頭。 他獨自一人花了 7 年的時間，悄悄地啃了下來，並為此發明了許多新概念和方法。可是，可但是，但可是，他複雜的證明在當時無法馬上驗證，而幾個月後在同行評審中發現了邏輯錯誤，有致命傷。雖然他發明的數學工具還是有巨大的價值，但此證明還是無法成立 – 數學就是這樣黑白分明的邏輯關係。
攜 170 的智商，Andrew 再度投入到證明中，和他的學生 Richard Taylor 一起，經過不到一年的奮戰，居然再次完整地證明費爾馬大定理，並在 1995 年《數學年刊》發表，這是經過同行評審、邏輯驗證了的 – 真是神人啊，最終的證明和附帶的討論長達 130 頁紙。他後來也因此獲得了一係列的數學大獎，包括有數學界諾貝爾之稱的菲爾茲獎 – 不過是特別獎，因為他已經超齡了（菲爾茲獎上限是 40 歲）。這個證明被譽為 “20 世紀最輝煌的數學成就”。
法國大律師費爾馬搞數學是純業餘愛好。當年他在書的旁空處寫下此式，並標注：“我確信我發現一種美妙的證法，可惜這裏的空白處太小，寫不下（Hanc marginis exiguitas non caperet）”，喜歡惡作劇的費爾馬害得數學界努力了幾百年也不見效，不知道那個“美妙的證法”是什麽。這句話也成為了他的名言。
費爾馬不願意發表他的成果，所以好東西都在手稿裏麵。他在閱讀數學書籍的過程中，習慣地把隨想的一些思路寫在旁邊空白的地方。他還對證明思路諱莫如深，往往隻會寫出推導得到的定理，而不會保留證明過程。有趣的是，他還在手稿中非常理直氣壯地給出理由，為什麽沒有給出證明過程：比如 “我可以證明這個結論，但現在我必須去喂貓了” 或者是 “我可以證明這一點，但我要去洗頭了”。這種惡趣味讓幾百年以來的數學家對他又愛又恨。
費爾馬去世後，其子出版了一本書，裏麵囊括了他老爹在頁邊空白處所做的所有筆記。因為都沒有證明隻有結果，所以留下了一個個極為誘人的挑戰，無數數學家隻能前赴後繼去求證費馬潦草筆記的正確性。這些東西在被後人證明之前，隻能稱為猜想，雖然被費爾馬稱為定理。
別總瞧不起民科，費爾馬就是民科鼻祖。當年在中關村的人常能看到科學院數學所和北大來打擂台的民科，其中就有“證明了”費爾馬大定理的，他們多被 “讀過什麽專業書？” 給打發回去了，不知道有沒有誤人子弟的。
費爾馬這樣的大咖，自然不會對素數熟視無睹。他對素數的貢獻：
- 費爾馬小定理：a^p-a ≡ 0 (mod p)，其中p是一個素數，a是正整數
- 素數可分為 4n+1 和 4n+3 兩種形式
- 形如 4n+1 的素數能夠、而且隻能夠以一種方式表為兩個平方數之和
- 沒有一個形如 4n+3 的素數可以表示為兩個平方數之和
- 形如 4n+1 的素數能夠且隻能夠作為一個直角邊為整數的直角三角形的斜邊；4n+1 的平方是且隻能是兩個這種直角三角形的斜邊；類似地，4n+1 的 m 次方是且隻能是 m 個這種直角三角形的斜邊
- 形如 4n+1 的素數與它的平方都隻能以一種方式表達為兩個平方數之和；它的3次和4次方都隻能以兩種表達為兩個平方數之和；5次和6次方都隻能以3種方式表達為兩個平方數之和，以此類推，直至無窮
歐拉給費爾馬擦屁股：
- 1770年，證明了費爾馬大定理當 n = 3 時成立，也就是我上高中碰到的第一個惡作劇。其實歐拉做了兩種不同的證明，詳情見這裏。而且其中一個有問題，雖然看上去很手段巧妙 – 天才如歐拉也會犯錯誤。如果感興趣關於歐拉的錯誤，可以看這裏。
- 費爾馬說他發現形如 Fn = 2^(2^n)+1 的數全是素數，比如 n 為 0~4 時，對應的值是3，5，17，257，65537都是素數。歐拉發現 n=5時，4294967297 = 641x6700417 卻是個合數，而後麵的直到 n < 1495 時都是合數。
不知道這費爾馬的腦子是怎麽長的，業餘愛好吊打專業大咖。另一個類似的情況是孟德爾，作為神職人員窺視上帝造物的秘密，把豌豆玩個爆，發現了遺傳規律，不知道是否符合教規。達爾文也是差不多，學習醫學、神學，最後反叛了教會，用《物種起源》闡明了生物進化原理。
現在還有許多素數相關的猜想沒有解決，其中最著名的就是黎曼猜想，其描述比較複雜，是猜想中的皇冠，有興趣的可以看這裏。黎曼猜想與素數定理密切相關，不過，作為數學係的學生，我聽到黎曼頭就有點大。
還有許多關於素數的猜想，有興趣的可以去研究，比如：
- 斐波那契素數是無限的
- 梅森素數是無限的
- 費爾馬素數是有限的
回到我的高中課堂上。這個題目雖然通式證明非常困難，但當 n 為 3 的時候，並不是通式級別的超級難題，雖然對我們這些自以為是的小白們還是無法觸及的。
下麵給出歐拉在1770 年時候的證明，他使用了無窮遞降法（proof by infinite descent）。術語：coprime – 互素；gcd – 最大公約數（greatest common divisor） 。
慎入！Theorem: Euler's Proof for FLT （Fermat's Last Theorem）: n = 3
x3 + y3 = z3 has integer solutions -> xyz = 0
(1) Let's assume that we have solutions x,y,z to the above equation.
(2) We can assume that x,y,z are coprime. [See here for the proof].
(3) First, we observe that there must exist p,q such that (see here for proof):
(a) gcd(p,q) = 1
(b) p,q have opposite parities (one is odd; one is even)
(c) p,q are positive
(d) 2p*(p2 + 3q2) is a cube
(4) Second, we know that gcd(2p, p2+3q2) is either 1 or 3. (see here for proof).
(5) If gcd(2p, p2+3q2) = 1, then there must be a smaller solution to FLT n=3. (see here for proof).
(6) Likewise, if gcd(2p, p2+3q2) = 3, then there must be a smaller solution to FLT n=3. (see here for proof).
(7) But then there is necessarily a smaller solution and we could use the same argument on this smaller solution to show the existence of an even smaller solution. We have thus shown a condition of infinite descent.
能看明白這個解題思路的，可以去練國際數學奧林匹克了。
我們那時還是一幫生瓜蛋子，哪裏有這個本事？記得我用了一個不容易看出錯誤的簡單方法給出了證明，高興了兩分鍾，一片歡呼，但很快就被人看出了破綻，原來是個假把式。那個時候競賽級別的難題很少見，後來出題人說這是費爾馬大定理的特殊形式，我們馬上就都打蔫了。
十幾年後，留美時的一位同學，說到他剛剛上北大時，班上同學都是各地的尖子，不服不忿的，老師就用一道初等數學的平麵幾何題來震懾大家，說讓你們看看什麽是難題：
用圓規和直尺在三條平行線上畫出一個等邊三角形，使得三角形的三個頂點分別落在三條平行線上。
這道題很有趣，你來試試？
（四）隨想中的生物
在北美有一種蟬，叫周期蟬，其生命周期是 13 年或 17 年，相應被稱為 13 年蟬或 17 年蟬。幼蟲孵化後即鑽入地下，一生絕大多數時間在地下度過，靠吸食樹根的汁液生存。它們在地下生活 13 年或 17 年後，同種蟬的幼蟲同時破土而出，在 4~6 周內羽化、交配、產卵、死亡，而卵孵化後進入下一個生命周期。因此某一年份在美國東部一些地方每過 13 或 17 年就會突然出現大量的蟬，成為一種奇景。
為什麽會有這個 13 年 或 17 年的奇怪周期？對了，就是素數長周期。
在這樣長的素數周期年裏，一般不會連續碰到天敵和自然災害也與這個周期同步，從而避免被滅族。不同的周期蟬種群出地的年份不同，使這個大家族的基因繼承就更安全了。
大自然真的很神奇。
關於“全球變暖”理論，我的理解是：首先確認是否變暖，比如可以通過觀察地球表麵不同位置的溫度，進行各點上的“時間積分”和整個球麵上的插補估算，來確認地球表麵的平均溫度是否逐年升高。當然這個觀察方法不很準確，但趨勢不會有大錯。也可以引入評估南極/北極冰川消融量和消融速度以及海水溫度采樣做為估算的參數。如果經過一些年的數據積累，可以擬合出這些年的地球表麵溫度變化曲線，從而進一步確認是否在“全球變暖”。當然，這也可能是短期的、暫時的（以百年為考察單位的地球時間長河中），但我們可以根據這個觀察曲線做近期證明或證偽。所以我認為這是一個科學問題。當然靠簡單地感覺某個地方天氣變熱是不夠的，但如果有長期觀察數據，也可以得出局部結論：某地氣候在變暖/變冷（均值變化），或者差動變大/變小（標準方差變化）。
至於目前流行的環保理論，比如二氧化碳排放導致溫室效應等，也是同樣，理論上可以用觀察來證明或證偽，是一個科學問題。遺憾的是這個理論太難以驗證，因為參與的不可控的變量太多，而沒有一套可信的方法來證明或證偽，結果現在就在實踐上成為一種宗教式的信仰，並且被某些政治團體因某些其他目的而推動，脫離了科學問題。我想這與我們這裏討論的關於科學的定義這種哲學觀點沒有什麽聯係。
在各種科學觀察中，用數學作為工具是假定了這種邏輯推理的正確性，對觀察的結果做邏輯解釋。比如上麵提到的擬合氣溫的曲線，大概需要數學建模，用最小二乘法進行曲線擬合，甚至建立ARMA模型引入回歸/自回歸等反饋模型等。這些活動的核心還是科學觀察，用以證偽的基本材料還是對自然世界的觀察結果。
我想用“可證偽”來區分是否是（自然）科學的燒腦之處在於：理論上是否具有可通過觀察來證偽，和在實踐中是否能夠真正做到這種證偽之間的區別。人類的實踐能力是很有限的，可以說實踐中我們不能證偽的東西遠多於可以證偽的東西，但這不是區別一個問題是否是科學問題的關鍵。一個問題隻要在理論上具有可證偽性，就是科學問題，包括廣義相對論、量子糾纏、甚至黑洞、暗物質等那些我們知之甚少，又缺乏觀察手段的問題。
用你對數學的反例不算可證偽性的邏輯， 所有科學都不可證偽。 所有硬科學都靠數學，任何證偽都“基於當前數學公理化體係結構之內的邏輯規則來進行”。
我對於這個問題的淺顯理解：數學公理化體係結構是開放的，而且有許多公理是不證的，但一致性必須保證。如果發現不一致的數學理論，則必須限定其定義域，否則數學大廈就會傾倒。這大概也是引入群環域的不同級別的集合空間來考慮理論使用範圍的原因吧？完備性隻能存在於某類集合空間中。
數學世界的公理化體係必須是自洽的、嚴密的，不允許謬誤和近似的存在。一旦發現有謬誤，一定是，也必須是某個邏輯過程有誤，或者原始的公理有誤。如果是後者，則建立在那個謬誤公理之上的所有理論都成為待驗，多半都是謬誤。
就拿我前麵舉例的黎曼ζ函數來說，對於所有正整數的和，那種直觀看上去不合理的（-1/12）結果隻要賦予其合適的定義域【Re(s) > 1】，就變得有意義了，也與先前的公理化體係相溶，並可應用於複分析、量子力學和弦理論中。
不好意思，不知所雲。
請教一個問題。
哥德爾定理對數學體係意味著什麽？如果完備性、一致性和有效公理化的存在性不能同時具有，那麽一致性和有效公理化的係統是半開半閉的，即從一致的公理集合出發，會發生不可預料的、不存在於原來係統的東西。這個東西何以發生？
如果完備和有效公理化存在，那麽意味著一致性不能保證，也就是說這樣將得到一個自我矛盾的體係。這又如何發生？這是不是意味著，所有公理體係隻是個近視或者謬誤。
我的理解是證偽性必須由根據觀察的實驗來體現。拿你舉出的哥德巴赫猜想的例子來說，找出反例的否定方法也是基於當前數學公理化體係結構之內的邏輯規則來進行的，不能算是觀察實驗。我也舉一個極端的例子：所有正整數之和被歐拉發現等於（-1/12），這與我們的常見的數學情況並不相符。但後來黎曼給予了解析證明，並限製了其成立的空間，也就是黎曼ζ函數。這個結果甚至有物理意義。
隻是我的個人理解，可以商榷。
數學命題不能用實驗證明， 但可以用實驗證偽。 比如哥德巴赫猜想， 如果找到一個偶數不能寫成兩個素數之和， 就證偽了。 如果通過兩個點畫出兩條不同的直線，則兩點決定直線的公理就被證偽。
數學符合科學的可證偽性， 但不是狹義的科學，因為不符合科學關於實驗的部分。
根據wikipedia的定義：可證偽性（英語：falsifiability）又稱可反駁性[1]（refutability）、可反證性、可否證性、可檢驗性[2]（testability），在科學和科學哲學中用來表示由經驗得來的表述所具有的一種屬性，並使用嚴格的否證法（相對於實證法）來判別一個理論是否科學，即“這些結論必須容許邏輯上的反例的存在”。
作為可反證性對比的則包括形式上的或數學的表述，如恒真式或同義反複（由於定義的原因它們總是真的），數學公理和定理——這些表述不容許邏輯上反例的存在。
可證偽性是科學哲學家卡爾·波普爾在他1934年的著作科學發現的邏輯中引入的科學理論和假設的評估標準。他提出它作為解決歸納和劃界問題的基石。如果一個理論或假設可以被現有技術的實證檢驗在邏輯上抵觸，那麽它就是可證偽的（或可反駁的）。可證偽性的目的，甚至是一個邏輯標準，是使理論具有預測性和可測試性，從而在實踐中有用。
可以看出，可證偽性不能用於數學，根本原因是數學是formal system 形式係統，和經驗科學是兩回事。其實也就是說「數學不是（經驗）科學」。自然不在可證偽性的討論範圍內了。數學是一種概念演算技術，一種形式係統。“數學不是科學”是一種哲學觀點，並不是貶低數學。
素數難以達到。合數有加、乘、乘方組合的捷徑可達。素數的奇特在本身當然有，但頗在於得到的方法——捷徑。
好文章，深入淺出，引人入勝，除了作者的獨立思考，還有不少逸聞趣事穿插其中，讓人忍俊不禁。
謝謝科普。