一個時代的數學傳奇

【科大瞬間】特刊
《我們心中的科大》--建校60周年慶

一個時代的數學傳奇

——代數幾何的白馬王子肖剛（二）

 

湯濤，林亞南

 

(前接第一部分)肖剛於是開始學法語。李克正回憶說：“肖剛首先找了本教科書,像讀小說那樣很快讀完了。又找了本語法書,大約讀了兩三天。然後就開始背單詞,每天至少背一千個,多的時候可以背兩千個。背了三四天後說,我現在至少掌握五千個單詞了。然後就開始練聽力,白天聽錄音,夜裏兩點用自己組裝的高靈敏度收音機收聽法國電台的廣播。就這樣學了兩個星期,我問他聽法國電台能聽懂多少,他說大約百分之七十吧。天哪,我學了這麽久的英語也沒能聽懂百分之七十。”

良師益友

肖剛在科大的一年多有兩位關鍵人物。一位是恩師曾肯成，另一位就是知音李克正。

作者寫此文時正在呼和浩特參加嚴加安院士主辦的一個會議。參會者有 1978 年參加全國第一屆研究生考試、比肖剛晚半年成為曾肯成研究生的李尚誌教授。多年後李尚誌擔任中科大數學係主任，後來任北京航天航空大學數學院院長。李尚誌教授也是第一屆全國教學名師。他才思敏捷、口若懸河，是典型的未見其人、先聞其聲的爽快人。

李尚誌教授告訴筆者他是 1965 年進科大的，應該是文革前最後一屆通過高考入學的大學生。他說曾肯成當時在學校就很有名，大家都議論他的腦子簡直不是人腦子，太聰明了。這一點從北大老校長丁石孫《哭曾肯成》一文可以看出一些：

二〇〇四年五月的一天，我突然接到朋友的電話，告訴我曾肯成已去世。我和曾肯成在清華是同班同學，一直保持著較好的關係……同學幾年我感覺到他的智力超群。他不但有很
快的理解能力，而且有很強的記憶力，我認為這兩者同時都強的人並不太多。在同學期間，曾肯成並不是非常用功，他看了許多閑書，花在數學上的時間並不是太多，但在全班
同學當中是學得最好的……1956 年他被派到莫斯科大學留學，1957 年反右派開始，曾肯成就被打成右派遣送回國，罪名之一是他經常和蘇聯的學生在一起辯論，批評蘇聯的政製度……後來有其他留蘇的同學告訴我，曾肯成俄文學得太好了，因為一般的留學生俄文還沒有達到與蘇聯學生來辯論政治問題的水平。就在這種罪名下，他就中斷了學習，回到國內，戴上了右派帽子。

李尚誌在中科大讀本科時，就知道有個叫曾肯成的怪才，是個老“右派”，但從來沒有聽過他講課。“文革”時，師生倆竟被安排在同一個寢室，睡上下鋪。曾肯成是被批判的
階級敵人，李尚誌是革命學生，要批判他。有一次曾肯成悄悄出了３道數學題讓他教過的學生做，李尚誌也跟著做。趁沒人時，他向曾肯成請教是否全做對了，曾肯成淡淡地說：
“你全做對了。”李尚誌分明從他眼中看到了閃爍的喜悅——作為一名教師特有的喜悅。就是這件事，使得李尚誌考研時，毫不猶豫地選擇曾肯成做導師。他也是曾肯成名下的
第一位博士。

百度百科介紹說：“曾肯成教授是我國代數學和密碼學領域的著名專家，我國首批博士生導師，是我國代數密碼學的創始人之一。”曾肯成最輝煌的貢獻是建立密碼，造密碼機。

這也是搞代數、搞數論的高手們最感興趣的活之一。麥加的《暗算》寫的就是這類事情，它的劇本是國內同類題材中最成功的。加上王寶強出色的傻乎乎的表演，頗有看頭。麥加
是和破譯相關的軍事學校的畢業生，而曾肯成的研究是同一軍事部門最感興趣的。上個世紀八十年代，國家有關部門為他成立了信息安全國家重點實驗室。要知道，國字頭的重點
實驗室上個世紀八十年代寥寥可數，隻有超級學霸才有可能申請成功。三十年後的今天，申請成功一個這樣的實驗室也是非常困難的。曾肯成去世後中國科大的訃告上寫道：“他
創辦的DCS 中心和信息安全國家重點實驗室，取得了許多優異的學術成就,為我國的密碼理論研究與信息安全事業做出了傑出的貢獻。曾肯成教授作為第一貢獻者，先後獲得國家
科技進步一等獎一項、二等獎一項、中國科學院科技進步一等獎兩項。”

2013 年，斯諾登的出現把美國國家安全局包括“棱鏡”項目在內的多個秘密情報監視項目曝光。而中國早在1980 年代就開始研究的信息安全就是針對這類竊聽的；中國這一研究的開拓人就是代數專家、肖剛的導師曾肯成。

中國首批博士（最後一排）和他們的導師（倒數第二排）；
倒數第二排左7 是曾肯成教授

肖剛在中科大的同學知音是李克正。李克正比肖剛晚一個月到科大，當時他們是中國科大最早、也可能是全國最早的研究生。當時科大在合肥的辦學條件遠比現在艱苦，數學係
設在原合肥銀行幹部學校，房子相當緊張。校方好不容易在辦公樓一層第一間辦公室裏放上幾個床鋪安排特招的研究生，肖剛和李克正同宿舍。人們常看到肖、李二位經常外出散步，總是李克正走在前麵，滔滔不絕地說話，而肖剛一聲不響跟在後麵。

英語是李克正的軟肋，他插隊後幾乎10 年沒接觸英語,考研究生時也沒考英語，否則他恐怕進不了科大讀研。入學後上的英語課很枯燥,肖剛覺得這樣的英語課對李克正不合
適,因為他需要在短時間內達到英語的基本技能，即閱讀專業文獻和簡單日常會話等。於是肖剛說還是我來教你吧,並開始嚴肅地教起來。比如要李克正每天背單詞,說一天背不
了一千個,背五百個總可以吧？把一天一百個也背不了的李克正折磨得要命。肖剛還用錄音機從電台裏錄了一些故事,如《湯姆索亞曆險記》、《奧亨利短篇小說選》等,讓李克正聽寫,要寫到一個詞都不錯才行。嚴師出高徒，兩個月後學生已經可以和老師一起翻譯一本書了。一年後,學校選派他倆出國留學，他們打定主意非代數幾何不學。去哪個國家呢?美國、蘇聯、法國都是代數幾何強國, 但當時和蘇聯的關係還不大適合派留學生。曾肯成說,
你們兩人不要去同一個國家,一個去美國、一個去法國。肖剛想了想對李克正說, 看來隻能你去美國我去法國了。是的,李克正那時英語都還不行, 再學一門法語非要把他逼瘋了。
肖剛於是開始學法語。李克正回憶說：“肖剛首先找了本教科書, 像讀小說那樣很快地讀了, 又找了本語法書, 大約讀了兩三天, 然後就開始背單詞, 每天至少背一千個,多的時候可以背兩千個。背了三四天後說, 我現在至少掌握了五千個單詞了。這時就開始練聽力, 白天聽錄音, 夜裏兩點用自己組裝的高靈敏度收音機收聽法國電台的廣播。就這樣學了兩個星期, 我問他聽法國電台能聽懂多少, 他說大約百分之七十吧。天哪, 我學了這麽久的英語也沒能聽懂百分之七十。”

除了語言，在曾肯成的指導下，他們的數學水平也迅速提高。曾肯成讓肖剛和李克正自學李群、李代數、並在討論班上報告。文革前大學生查建國1977 年按照正常考試進入曾肯成的門下，曾肯成叮囑他學李代數不懂就去問肖剛、李克正，可見曾對這兩個弟子的器重。文革後科大首屆數學本科生裏的尖子常常往肖剛和李克正的寢室跑，主要是問一些課
外的數學難題。

留學巴黎

巴黎是一個古老而又文雅的城市，其與數學的淵源之深足以令世界上任何城市羨慕和嫉妒。有人說，如果你喜歡數學，請到巴黎來，因為巴黎是數學的天堂；如果你討厭數學，請到巴黎來，因為巴黎將令你忘掉數學。
法國也幫助中國孕育了眾多的數學家。老一輩數學家陳省身、吳文俊、關肇直，中科院院士李大潛、彭實戈、嚴加安、張偉平等都在法國得到了數學的熏陶。

法國與數學

1889 年的法國世博會上，埃菲爾鐵塔應時而生，這一傑作還和72 名法國科學家聯係在一起。雕刻在塔樓一層四周的72 位科學家、工程師中，有五分之一是數學家，包括大學教科書上名字前冠了一堆定理的拉普拉斯、傅裏葉、柯西、拉格朗日、勒讓德、泊鬆，以及流體力學最重要的方程Navier-Stokes 方程的創始人納維，創立了畫法幾何的蒙日，創建了射影幾何的彭斯列。

法國數學的強盛和拿破侖不無關係。拿破侖早在少年時代就迷上了數學，1784 年著名數學家拉普拉斯發現了拿破侖的數學才能，作為考官促成了拿破侖被巴黎軍校錄取。在軍校
期間，拿破侖掌握了一定的數學知識，並和被譽為法國“牛頓”的拉普拉斯、被稱為幾何學之父的蒙日等數學家建立了密切的關係。1785 年，16 歲的拿破侖完成學業提前畢業，
在服役期間寫過篇《論炮彈的投擲》的文章，內含數學推導和計算。平麵幾何裏麵有個拿破侖定理：“以三角形各邊為邊分別向外側作等邊三角形，則他們的中心構成一個等邊三
角形。”不知這是拿破侖大帝的研究成果，還是他眾多數學朋友的贈品。

拿破侖對數學界的朋友很真心，有時候貴族聚餐時，他會請口才一流的傅裏葉講數學科普。他掌權的時代，蒙日做過海軍部長，拉普拉斯做過內務部長、被封侯爵，拉格朗日被
授予帝國大十字勳章，拿破侖對他的評價是:“拉格朗日是數學世界高聳的金字塔”。

 

代數幾何

文革十年後，中國的數學和西方距離拉大；很多有識之士提出兩條腿走路：一麵自己培養高手，一麵把優秀的學生送出去。肖剛、李克正等就是被送出的一批；李尚誌、單樽等就是被留下自己培養的。多年後的事實證明，這兩路兵馬最後都為中國的數學發展做出了重要貢獻。

肖剛在中國的師傅曾肯成做代數、密碼，他去法國立誌學習代數幾何，這門學科當時在中國幾乎是空白。

代數幾何是數學的一個分支。大致說來，它是研究n 維仿射空間或n 維射影空間中多項式方程組的零點集，稱為代數簇。雖然說代數幾何的曆史可以追溯到古希臘時期的圓錐曲
線研究，也可以認為笛卡爾的解析幾何是代數幾何的先聲，還可以說射影幾何是代數幾何發展的前奏。

還可以說射影幾何是代數幾何發展的前奏。但代數幾何真正形成和發展還是從黎曼開始。19 世紀中期黎曼提出了黎曼曲麵（Riemann surface 一維複流形或複代數曲線）的念，用黎曼曲麵上函數論的觀點來研究代數曲線。他和他的學生洛赫（Roch）得到了Riemann-Roch 定理，這是代數幾何學中的一條中心定理，它建立了函數論和第一個雙有理（Birational）不變量——虧格（Genus 洞的個數）的聯係，代數曲線可以按照它的虧格分類。19 世紀後期，意大利代數幾何學派進行代數曲麵（二維代數簇）的雙有理等價分類。同時，在代數幾何的代數化方麵，希爾伯特利用基定理和零點定理建立了代數幾何和交換代數之間的聯係。

在 20 世紀數學史上，代數幾何學（Algebraic Geometry）始終處於一個核心的地位，這從數學界的主要大獎菲爾茲獎的獲得者情況即可看出。菲爾茲獎隻頒發給40 歲以下的青
年數學家，從1936 年頒發首屆獎算起，到2014 年在首爾舉行的國際數學家大會上頒發的第27 屆獎為止，總共有57 位青年數學家獲獎，其中大約有三分之一的人獲獎的工作或多
或少與代數幾何有一定的聯係。

現代代數幾何的興旺和發展和多位法國人有聯係，特別是上個世紀三十年代後。在這裏提兩個相關的傳奇故事。20 世紀30 年代後期，法國數學期刊上發表了若幹高水平的數學論文，署名為尼古拉•布爾巴基。1939 年出版的一本《數學原理》是一套關於現代數學綜合性叢書的首卷，作者也是尼古拉•布爾巴基。這逐漸引起人們的重視，到底誰是布爾
巴基？

布爾巴基實際上是一批年輕的法國數學家，是一個對現代數學有著極大影響的數學家團體,後人稱之為布爾巴基學派。學派中大部分是法國數學家，主要的代表人物是韋伊（Weil）、迪多涅（Dieudonne）、嘉當（Cartan）等人，其中嘉當是陳省身的博士後導師。布爾巴基學派在代數幾何學發展的光輝歲月裏扮演了一個主要角色。學派的主要代表人物之一安德烈•韋伊（André Weil）試圖用代數幾何學來解決代數數論的問題，在其代表作《代數幾何基礎》一書中，充分使用了交換代數的理論和語言，提出了代數幾何裏些重要概念，是代數幾何學發展中的一個裏程碑。對有限域上的代數簇，韋伊在 1949 年提出了一個猜想，其中最深刻的一部分可以看做黎曼猜想在有限域上的類似，對以後代數幾何的發展影響巨大。安德烈•韋伊的妹妹西蒙娜•韋伊是宗教思想家和社會活動家，她深刻地影響了戰後的歐洲思潮。年僅34歲的她，留下了約二十卷的著作。兄妹倆都是反法西斯的堅強戰士。

15 年後，韋伊的書又被布爾巴基學派的另一位重要成員亞曆山大•格羅騰迪克(Grothendieck）的更加深奧的《代數幾何原理》（簡稱EGA）所代替。格羅騰迪克和法數學家讓-皮埃爾•塞爾（Serre）合作，用概型的語言改寫了代數幾何。概型把代數幾何和代數數域的算術統一到一個共同的語言之下，使得在代數數論的研究中可以應用代數幾中的大量概念和思想以及技巧。格羅騰迪克在此基礎上極大地發展了代數幾何，包括為證明韋伊猜想而建立的l 進製上同調理論。他的思想和工作對代數幾何與數學的發展產生了深遠的影響，同時在同調代數領域也有建樹。他主寫的多部巨著共達1 萬頁以上，成為代數幾何學的聖經。迄今為止，格羅騰迪克的著述中還有很多思想未被完全了解，但已經產生許多重要結果，如K 理論的誕生。

偉大的數學家格羅騰迪克（1928-2014）

格羅騰迪克於1966 年榮獲菲爾茲獎。一九七四年格羅騰迪克的學生德林（Deligne）用l 進製上同調證明了韋伊猜想中的黎曼假設部分並主要因此於一九七八年獲菲爾茲獎。盡管代數幾何研究王者輩出，但是大家心目中的教皇隻有一個，那就是格羅騰迪克。

為世人所稱奇的還有格羅騰迪克的離經叛道，雖然貴為20 世紀最偉大的數學家之一，但他基本上屬於另類，與學術界距離很遠。他沒有受過正規教育，也沒有按部就
班地在學術階梯上晉升。1966 年為抗議蘇聯政府他拒絕去莫斯科舉辦的國際數學家大會接受菲爾茲獎；1967 年飛赴戰火紛飛的越南考察並在森林裏為當地學者講授範
疇論；1970 年的國際數學家大會上,蘇聯盲人數學家在大會報告中談及導彈追蹤飛機問題，格羅滕迪克憤然登台奪下話筒,抗議他將數學和軍事相聯係；同年他與工作單位
法國高等科學研究所（IHES）決裂，因為不滿IHES 從法國軍事機構獲取了小額資助；1988 年瑞典科學院授予他六年一度的克拉福德獎，他拒絕了獎章和25 萬美元獎金，
除了拒絕領取，他還寫信痛斥學術界腐敗。1990 年 7 月，格羅騰迪克這位20 世紀代數幾何學的“上帝”消失在法國與西班牙交界的比利牛斯山中，成了沒有國籍的隱居者。本文即將完成時，我們看到了這樣的消息：“據法新社消息，20 世紀最偉大的數學家之一亞曆山大·格羅滕迪克（Alexandre Grothendieck）於11 月 13 日逝世，享年86 歲”。

步入代數幾何

肖剛於1980 年 1 月到巴黎第11 大學在雷諾（Michel Raynaud）教授指導下攻讀博士學位。雷諾教授和他的夫人米謝勒·雷諾（Michèle Raynaud）同是格羅滕迪克的學生。

1936 年出生的雷諾教授1967 年開始就在巴黎第11 大學工作，專門研究代數幾何。由於他解決了兩個著名猜想獲得了1987年法國科學院的安培獎和1995 年的美國數學學會的柯爾獎。柯爾獎分別有數論獎（1931 年開始）和代數獎（1928 年開始），獲獎者基本上是這兩個領域做出最大貢獻的學者。每個領域五年授獎一次，2014 年華人數學家張益唐獲得了數論柯爾獎。

肖剛的博士導師雷諾（Michel Raynaud）

肖剛在法國攻讀博士學位期間主要從事帶有虧格(genus)2 的纖維化的代數曲麵的分類研究。纖維化是代數幾何的研究對象中最常見的一類幾何結構。為了研究代數幾何，
我們經常考慮兩個代數簇X,B 之間的滿態射f:X→B，這裏B的維數嚴格小於X 的維數。設q∈B 是任何一點，我們稱q在f 下的原像F_q 為的態射f 纖維，由定義可見，任何兩條
纖維都不相交；X 上任何一點都落在唯一的一條纖維裏。站在B 上，也可將X 看成長滿了纖維的森林。在實際研究中，我們往往可將一般的纖維化約化成很好的情形比如說纖維
是連通的，纖維的維數都等於X 的維數減去B 的維數等等。當X 是緊複代數曲麵（2 為緊複流形），B 是緊複代數曲線（1 為緊複流形）時，一般的纖維是實維數為2（=2（2-1））
的流形，即黎曼麵，這些黎曼麵具有相同的虧格（洞的個數）。20 世紀60 年代菲爾茲獎獲得者小平邦彥（Kodaira）完美的分類了虧格1 的纖維化，並以此為基本工具完成了緊複曲麵Enriques–Kodaira 分類，但這個分類對於一類所謂的一般性曲麵所知甚少，肖剛研究的虧格二的纖維化正是為了理解一般性曲麵。

眾所周知，代數幾何入門很難，讀兩三年還看不懂論文都是正常的。但是肖剛來到巴黎後，一年以後就開始發表論文。他在日本數學家崛川（Horikawa）的工作基礎上,對虧格二的纖維化作了係統的研究，獲得了一係列分類結果，特別是證明了關於這種纖維化的一個重要猜想以及對不規則的虧格二纖維化進行了完整的分類。

肖剛的導師、著名代數幾何學家雷諾稱讚他是“虧格2的世界專家”。導師是決定學生命運的最重要人物；所以肖剛到法國兩年後就拿到博士學位，之後隻用了兩年拿到國家博士學位。注意到當時法國的規定，必須要博士畢業以後四年才能申請國家博士學位，也就是現在的HDR 學位。所以肖剛的書念得順風順水。

順便說句題外話，肖剛的博士論文答辯,委員會在決議中加了一句錦上添花的話: 肖剛的法語是無可挑剔的。除了很快念完書，拿到學位，肖剛把自己博士論文的精華寫成書，在著名的施普林格出版社的數學黃皮書係列中占了一席地位，書名叫《Surfaces _br_eesencourbes de genre deux》（帶虧格2纖維化的曲麵》（法文）。這家德國的老牌出版社，很早就獨具慧眼，把數學高手們潛心做出的高水平結果變成專著或教科書，配以黃色封麵，搞了個百年係列。數學係畢業的人都應該都知道施普林格出版社的小黃書GTM 係列(Graduate Texts in Mathematics —— 數學研究生教材)，適用人群為本科生中的有誌青年和研究生們。《數學講座》(Lecture Notes in Mathematics) 則是由施普林格於1964年創刊，它是一種以刊登數學研究新成果為主的叢書，到2014年已出版了兩千一百多本。叢書一半為專著，一半為國際數學會議的專門文集。

肖剛1985 年出的這本黃皮書，屬於《數學講座》的專著係列，編號1137。一百零三頁的專著，反映了他的博士論文結果的原創性和重要性。
（來源：善科網，未完待續）

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