一個9年級男生的數學思維現場：GCD與丟番圖方程的奇妙一課

這是7年前的Ethan，當時才二年級：

時光飛逝，現在他已經九年級了。這兩張照片是他破解木質智力遊戲前後拍攝的。幾個月前我回國時我給了他這個小禮物。

快進到 2025.05.09。今天，在 Ethan 的 1 對 1 數學課上，我請他隨意寫下兩個數字，在 TextEdit 裏，作為我們要開始計算 GCD（最大公約數）的素材。

他略帶攻擊性地選了不小的兩個數：675 和 534。

“我大概還記得怎麽做。”他說著，但屏幕還是一片白。他在拚命回憶，但還是卡住了。

過了一會兒，他打開 Slack，回頭翻看我們上次課的記錄 —— 有了。他的腦子和手開始聯動了。

很快，他一步步地寫出如下計算過程，直到最後得到 gcd = 3：
675 = 1*534 + 141  
534 = 3*141 + 111  
141 = 1*111 + 30  
111 = 3*30 + 21  
30 = 1*21 + 9  
21 = 2*9 + 3  
9 = 3*3 + 0  
```

此時我引入新的挑戰：解線性丟番圖方程 675x + 534y = 3

Ethan 頓時懵住了。

我開始引導他：我們可以把剛才的步驟從下往上倒推，在每一行右邊記錄下當前這一步的表達式。比如最後那一步是：
3 = 21 - 2*9

下一步再帶入前一步中 9 的表達式，就變成了：
3 = 21 - 2*(30 - 1*21) = 3*21 - 2*30

我幫他走了兩步，並解釋我們要幹嘛：我們想知道，是多少個 675 和多少個 534 加起來能得 3？

我還故意“劇透”了一點：“你隻要撐過前幾步，後麵就能像搭積木一樣逐步搭上去。”

他繼續往上走，並開始把每一行的線性組合複製粘貼到計算器裏驗證。**我沒想到，他竟然找到了一個如此機智的方式！**

我們原本的表達式最後算出來是：
-17*675 + 19*534 = -11475 + 10146 = -1329 ≠ 3

我鼓勵他說：“你可以直接把表達式複製進計算器檢查每一步是不是 3，這樣效率高多了。”

但他比我預想得還聰明。他每走一步，就粘貼驗證是不是 3。一旦哪一步出錯，馬上就能找出來！

最後，他找到了 bug：他在寫某一行類似於 `-11*141 + 14(534 - 3*141)` 的時候，忘記了把 14 乘進去的第二項。他經常在第二項裏漏掉前麵的係數。

這個 bug 讓我們花了不少時間才定位到。

我忍不住打趣：“哎呀，這種疏忽是三四年級就會做的錯誤，哈哈！”

他一邊笑一邊說：“哦哦哦，原來是這裏！”

我跟上：“那請掐自己一下腿吧。”

我們這一課，真的是笑點滿滿，知識點也滿滿。

Ethan 最後得到了正確答案：
x = -53, y = 67

而他的 TextEdit 文本如下（原汁原味複製自他的筆記）：
gcd of 675 and 534
675 = 1*534 + 141
534 = 3*141 + 111
141 = 1*111 + 30
111 = 3*30 + 21
30 = 1*21 + 9
21 = 2*9 + 3 <==(675, 534)
9 = 3*3 + 0

675x + 534y = 3
   
gcd of 675 and 534
675 = 1*534 + 141      = 14*534 + -53(675-1*534) = -53*675 + 67*534
534 = 3*141 + 111      = -11*141 + 14(534-3*141) = 14*534 + -53*141
141 = 1*111 + 30       = 3*111 + -11(141-1*111) = -11*141 + 14*111
111 = 3*30 + 21        = -2*30 + 3(111-3*30) = 3*111 + -11*30
30 = 1*21 + 9          = 1*21 - 2(30-1*21) = -2*30 + 3*21
21 = 2*9 + 3         3 = 1*21 - 2*9     
9 = 3*3 + 0  

At first, we got the wrong answer
-17*675 + 19*534 = -11475 +10146 = -1329 ≠ 3

Here is something interesting – a new way to use calculator.
Starting from 1*21 - 2*9, we can copy it to the calculator.
If it is 3, we are good.
Next we copy -2*30 + 3*21 to the calculator.
If it is still 3, we are good.
...
Until the last step.
We copy -53*675 + 67*534 to the calculator.
If it is still 3, we are good.
In our case, it is 3 after we fixed the bug. :D

675x + 534y = 3
x=-53, y=6

這一課我們不隻學了數學技巧，更重要的是：我們一起經曆了疑惑、出錯、懷疑、驗證、修正、欣喜。

Ethan 展現出屬於他這個年齡的衝勁、聰明和成長中的“馬虎”。我則收獲了一場有趣的陪跑。

我想，對很多家長來說，這樣真實而豐富的課堂經曆，才是孩子進步的真正軌跡。

下次，我們來講講 Albert 的故事。