朱八八
深度八一八牛人們，走近大神的世界，探索自由心靈，感悟獨立思想。
所有人的老師-歐拉係列文章：
01
上嚐從容與韓信言諸將能不，各有差。上問曰：“如我，能將幾何？”信曰：“陛下不過能將十萬。”上曰：“於君何如？”曰：“臣，多多而益善耳。”上笑曰：“多多益善，何為為我禽？”信曰：“陛下不能將兵，而善將將，此乃信之所以為陛下禽也。且陛下所謂天授，非人力也。”（選自《史記·淮陰侯列傳》）
作為不世出的軍事天才，韓信能把各種兵法奇謀玩得飛起，就是不會拍馬屁，要是能如韋小寶同誌那樣常常把鳥生魚湯掛在嘴邊，司馬遷同誌認為他幾乎就是漢朝的周公，召公了。
韓信將兵，多多益善，兵仙韓信的軍事才能有多牛是婦孺皆知，千古流傳，但是大家可能不知道韓信數學也很牛。
比如這個韓信點兵的故事：
韓信帶1500名兵士打仗，戰死四五百人，站3人一排，多出2人；站5人一排，多出3人；站7人一排，多出2人。
然後韓信就憑這個，就算出了軍隊總人數是1073。
有什麽秘密？
再來一道趣味算術題，是《孫子算經》裏的古題，如果你能解出，穿越回去，你就創造了中國剩餘定理，也稱為孫子定理。
有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。問物幾何？
即，一個整數除以三餘二，除以五餘三，除以七餘二，求這個整數。
韓信點兵的秘密和中國剩餘定理的解法是什麽？
南宋數學家秦九韶給出了一般形式，他說，隻要背首詩就OK啦：
三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝。
七子團圓正半月，除百零五便得知。
詩裏讓人記住這幾個數字：3與70，5與21，7與15，還有105（也就是3、5、7的公倍數）。這些數是什麽意思呢？
題中3人一列多2人，用2×70；5人一列多3名，用3×21；7人一列多2人，用2×15，三個乘積相加：
2×70+3×21+2×15=233
然後，233加或減105的整數倍，都可能是答案。
後來歐拉重新發現了這個定理（歐拉定理），給出了證明並定義了歐拉函數。
在數論中，歐拉函數是最重要也是最基礎的一個函數，這個函數的很多性質及其證明雖然基礎，但也“燒腦”，家裏沒有要搞奧數的牛娃，就不要折磨腦細胞，咱們背背詩輕鬆解決好了。
除了用於點兵，歐拉定理更是非對稱加密（RSA）算法的核心。
歐拉關於數論的大部分工作也是在柏林完成的，他的數論著作在他的《全集》中占了整整四大卷，占全部著作的40%，僅這四卷數論著作就足以使歐拉位列曆史上最偉大的數學家之一。
業餘數學家之王費馬生前提出了一個非常有名的費馬猜想，這個喜歡惡作劇的天才，還給猜想加上了一句名言：「我發現了一個美妙的證明，但由於空白太小而沒有寫下來。」
從費馬到歐拉的100年間，數學界在證明費馬猜想方麵進展甚微，原因很簡單，太難了。
西蒙.辛格在《費馬大定理：一個困惑了世間智者358年的謎》裏這樣說：
“費馬大定理的故事與數學的曆史有著千絲萬縷的聯係，觸及到數論中所有重大的課題。它對於“是什麽推動著數學發展”，或許更重要的“是什麽激勵著數學家們”這樣的問題提供了自己獨特的見解。”
“費馬大定理是一個充滿勇氣、欺詐、狡猾和悲慘的英雄傳奇的核心，牽涉到數學王國中所有的最偉大的英雄。”
歐拉對費馬猜想做出了關鍵性的突破，這個含糊不清的證明從細節上加以完善，並證明了3次冪的無解。
然後直到300多年後，在1995年，才被最後的英雄，英國數學家安德魯·懷爾斯完證，費馬大定理由此確立無疑。
除此之外，費馬生前還提出了大量重要而有趣的命題，到今天為止，世界上還沒有人能夠把它們全部證明出來，隻有歐拉證明了其中的大部分。
歐拉在1783年首次發現了數論中最重要的定理之一：二次互反律（高斯定理），並證明了其中一種情況。二次互反律是關於整數的重要性質，有著很優美的對稱性，是初等數論中的“七彩寶石”。
在歐拉和高斯的基礎上，後來的數學家們為探求二次互反律的含義引申出大量極有價值的成果。
02
普魯士的腓特列大帝曾想組成這樣一支儀仗隊，儀仗隊共有36名軍官，來自6支部隊，每支部隊中，上校、中校、少校、上尉、中尉、少尉各一名。他希望這36名軍官排成6×6的方陣，方陣的每一行，每一列的6名軍官來自不同的部隊並且軍銜各不相同。
令他惱火的是，這些軍官怎麽絞盡腦汁也排不成。
都說三個臭皮匠，賽過諸葛亮，但是在數學問題上，幾千幾萬個臭皮匠都不頂用。
沒法，腓特列大帝隻能向數學大牛牛歐拉求救。
歐拉先從最簡單問題入手，當n=3 (即有3種部隊、3種級別)的方陣，他很輕鬆排出來，然後是n=4，n=5. 都很輕鬆就解出，得出的方陣叫歐拉方陣（又叫做正交拉丁方陣）。
但是當n=6 時，歐拉發現這是一個不可能完成的任務。
1782年，歐拉總結道:“我已經試驗研究了很多次，我確信不可能作出兩個六階的，並且對於10、14，…以及奇數2倍的階數都是不可能的。”
歐拉認為:4n + 2階歐拉方陣不存在，這被後人稱為“歐拉方陣猜想”。
在沒有計算機的年代，歐拉方陣猜想的證明非常困難。
一直到了1910年，一對兄弟倆，法國數學家加斯頓•塔裏和赫伯特•塔裏用了最笨的方法，（不知道他們哪裏來的耐心），窮舉出了全部六階拉丁方，從而證實了n=6時歐拉猜想是正確的：n=6 時，儀仗隊是一個不可能完成的任務。
看到沒？ 最笨的方法也可以在數學史上留名啊，真是世上無難事，隻怕有心人。
（現在用計算機已經知道，除了n=2,6以外，其餘的正交拉丁方陣都存在，而且有多種構造的方法。這個否定的結果是人們在180年的努力中未曾想到的。）
歐拉方陣體現著數學的美：整齊、對稱、有規律、簡單、自然…
歐拉方陣在工農業生產，統計、組合設計、模擬、數值積分中均具有廣泛的應用；另一方麵，歐拉方陣在數學的發展中也有著重要的作用.
但是，最要緊好玩。歐拉沒料到，後人居然把歐拉方陣能玩出花來，成為一種從9-99歲的人都無法抗拒的經典數字遊戲。
歐拉方陣從瑞士起源，接著在日本推廣，後來在英國發揚光大，最終風靡全世界，有了另一個簡單好聽的名字，數獨。
其實歐拉方陣就是沒有宮的標準數獨，而數獨其實正是一種特殊的歐拉方陣。
2012 年，三位愛爾蘭數學家證明了數獨至少需要 17 個初始數字才有唯一解。他們的計算機花了 700 萬小時的 CPU 時間才搞定了這道數獨題。
愛好者聲稱：數獨能非常非常鍛煉孩子智力。時至今日，數獨遊戲已經“侵入”了幾乎一切公共傳播領域：報紙，數獨刊物，電視，網絡，APP......到處都有數獨的身影。
世界智力謎題聯合會每年舉辦一次世界數獨錦標賽，是國際性最高水準數獨賽事。2018年11月7日，最新一屆（13屆）世界數獨錦標賽,中國隊獲得團體賽亞軍。首次參賽的中國14歲選手王詩堯獲得本屆比賽最佳新人獎。
捷報讓國內又再次掀起學習數獨的熱潮，你想牛刀小試嗎？
不過，玩歸玩，別走火入魔，比如畫中這位主角。
德國名畫家丟勒的這幅木刻畫《憂鬱症》（Melencolia）描述的就是一個因為數學患上憂鬱症的天使，她手中握著圓規，天平、沙漏等科學工具散落四周，牆上掛著一個四階幻方，也就是四階數獨。在最下麵一行的中間兩格，畫家留下了神秘數字1514（據說是創作年代，或者是他母親去世的年代）。一隻蝙蝠舉起橫幅，上麵寫道：憂鬱症。
03
如同我們八過的天才帕斯卡，特斯拉和馮.諾依曼，歐拉也同樣擁有天才的標配--超級記憶力，他可以從頭到尾、毫不猶豫地背誦維吉爾洋洋十二卷的國民史詩《埃涅阿斯紀》，並能指出他所背誦的那個版本的每一頁的第一行和最後一行是什麽；能背誦當時全部的數學公式和所有重要的數學成果；能背誦前一百個質數的前十次冪；能夠複述幾十年前的工作筆記！
1771年聖彼得堡的大火災殃及歐拉住宅，雙目失明的歐拉身陷大火，雖然他被仆人冒著生命危險從火海中救了出來，但藏書和大量研究成果全部化為灰燼．
“如果命運是塊頑石，我就化為大錘，將它砸得粉碎！”歐拉的這句名言響徹千古。
歐拉的大錘就是他天才的記憶力，堅強的意誌和毅力，即使一切從頭開始，在資料被焚，雙目失明的情況下，歐拉僅僅依靠記憶中的公式和定理，口授給他的長子記錄。他用這種方法又發表了論文400多篇和10餘部著作，這幾乎占他全部著作的半數以上。
他人生中一半的浩如煙海的著作，都是在黑暗中完成的，這是何等驚人的毅力。
如果你真的需要雞湯，讀讀歐拉吧，他給你的才是最有營養的。
四十年前，顧城在《一代人》中呼喊：黑夜給了我黑色的眼睛，我卻用它尋找光明。窮極一生，顧城至終都沒有找到。
而歐拉，黑夜奪去了他黑色的眼睛，他的心中，依然是無上光明。
他完全是依靠驚人的記憶和心算能力進行研究和寫作。
歐拉的兩個學生因為計算一個無窮級數答案不一樣而發生爭執，失明的歐拉用心算找出了小數點後第50位的錯誤，結果證明這兩個學生都算錯了。
10瑞士法郎紙幣紀念歐拉
在沒有計算機的年代，梅森素數的尋找是相當困難的，在1588年意大利數學家卡塔爾迪（1548-1626）找到了第六個和第七個梅森素數M17和M19之後，兩百多年沒有任何進展；直到 1772年，歐拉在雙目失明的情況下，僅靠心算得到了第八個梅森素數M31，是當時世界上已知的最大素數。
1776年，陪他曆經患難的妻子與世長辭。
「在世上有苦難，在我裏麵有平安；你們可以放心，我已經勝了世界。」(約16：33)，麵對世上的苦難，歐拉留給我們的名言是：『隻有對上帝的信心，陪我走過這些苦難的日子。』
1783年9月18日，晚餐後，歐拉和家人一起吃晚飯，談論著新近發現的天王星，計算著軌道，突然之間，煙鬥從他手中掉了下來。他說了一聲：“我的煙鬥”，並彎腰去撿，結果再也沒有站起來，他抱著頭說了一句：“我死了”。「歐拉停止了計算和生命」。
歐拉去世後被安葬在聖彼得堡的亞曆山大 • 涅夫斯基修道院墓園。在歐拉的家鄉瑞士巴塞爾的裏恩，他的故居牆壁外有一塊小小的牌匾， 上麵銘刻著這樣一句簡短的評價：『他是一位偉大的學者，也是一個善良的人』。
歐拉出生在瑞士，而後在俄國做了31年的院士，又在德國領導了柏林科學院25年。三個國家：瑞士、俄國、德國，都把歐拉作為自己的數學家，都為擁有他而感到自豪。三個國家都爭先恐後地讓歐拉無數次出現在他們國家的郵票上：
數學王子高斯曾經說過：“對於歐拉工作的研究，將仍舊是數學人能上的最好的無可替代的學校。”
直到今天，歐拉依然是無可替代的，他那苦難而黑暗的一生，卻神奇地讓數學和物理綻放出耀眼的光芒。
歐拉不僅屬於瑞士，更屬於整個世界。
