國人(指中國)對自己的數學是很自信的。因為中國基礎訓練普遍很強。但是在中國,數學係的畢業生往往隻能去當數學家,或數學教師。當年如果不是拿到留校任教的名額,到社會上找一個數學研究生的職位,確實很困難。那是很多年以前,現在的情形也許改變了。在美國,數學是實用的,特別在當今社會,我們有很多好的職業的選擇:商務管理(統計師,精算師,成本估算師,業務運營經理等),數據科學家,計算機軟件程序員,工程師和科學家。
數學是人類智慧探索的結晶,她幾乎陪伴著每一次科技的飛躍。牛頓在發展力學的同時推動了微積分的建立。電磁學和電子學借助於傅立葉的理論。偏微分方程的理論,數值計算的發展,滲入了工業時代的進步。概率統計的理論為當今的大數據,機器學習,和人工智能準備了工具。
紐約大學教授Morris Kline [https://en.wikipedia.org/wiki/Morris_Kline]的《古今數學思想》(Mathematical Thought From Ancient to Modern Times)將數學的內容和思想貫穿出她的發展史。由18位俄國著名數學家於蘇聯時代撰寫的《數學:她的內容,思想,和意義》(Mathematics: Its Content, Methods and Meaning)[https://www.maa.org/press/maa-reviews/mathematics-its-content-methods-and-meaning]講述了20世紀以前主要的數學分支,它們的方法,以及它們在人類智慧發展上的意義。
斯坦福大學教授George Polya[https://en.wikipedia.org/wiki/George_Pólya]的《數學與猜想》(Mathematics and Plausible Reasoning)一書則闡釋了人類在探索世界,追求知識的努力過程,及常用的方法。看起來,數學的結果,理論往往是嚴謹的,精巧的,運轉於一絲不苟的邏輯之中,她的發展卻是和其他科學一樣,伴隨著數不清的大膽猜想,反複的推敲,精心的實驗,和慎密的論證。
從這個角度,數學是對人類知識的發展,對智力的開發。
數學的一大優勢在於她對抽象思維能力的強化培養。她幫助孩子剔除實物的質而得到量的概念,進入到數的世界。通過各種簡化和轉化,她引領孩子們學會計算。伴隨著五花八門的假設,她展列出包含著各種“未知”的方程(線性方程,微分方程,非線性,方程組)。進而,從數抽象到“群,環,域”,從幾何抽象到“拓撲”,和流行。從有限到無限,從“逼近”到微積分。一層層的新的概念和理論的建立,預示著一層層智慧的升華。就像高段的棋手,看到的是更多步後的棋局,和應對的策略。
數學的另一個特點是她對嚴謹習慣的培養,嚴謹是理性思維的基石。也就是說,數學能培養人的優異品質,嚴謹。父母有時會責罵孩子丟三落四,就像做數學題,錯了一個符號,忘記了小數點一樣。數學是一個很好的練習,因為她的對錯是肯定的且絕對的。嚴謹是一種素質,從小做起最容易。
記得一位蘇聯的科學院院士應邀數學係來講學,因是他與我的導師是莫斯科大學的同學,講話是也較放得開些,他把傳統數學和現代數學的關係類比成經典音樂與流行音樂的關係:現代數學很流行,成果關注度高,傳統數學做起來很幸苦,卻是很需要的。他很不屑地提到,如果那些細致的工作做的好,也不會出現“切爾諾貝利核事故”。看來他是有情緒的,但也不無道理。就因為矽穀的嚴謹的工程師越來越少,計算機,手機的質量也就越來越差(玩笑!)。
數學不但為我們提供了一套精密的語言來描繪這個世界,通過嚴謹的推導來揭示事物背後的規律,而且拓展我們的理解力,洞察力,想象力,和創造力。這也就算是為我的數學出身來推一下數學。