易群

群是是一種數學結構，末尾我們會給出其數學定義。易是《易經》，本文是關於《易經》六十四卦構成一個群結構的文章。

 

陰陽是兩要素體係。中國古代哲學用陰陽概念組織了許多華夏文明積累的知識。陰陽概念已經是華夏文化不可分割的一部分。五行是五元素體係，金木水火土。這個體係有兩種運算，相生和相克。兩種運算和五個元素構成一個可以複雜運算複雜運動的體係，成為中醫的哲學基礎。中醫如此龐大的理論體係竟然有五個元素和兩個運算來支撐，那麽，64個元素及其64個運算的《易經》之上建立宇宙模型理論則具備足夠實力。

 

河南殷墟出土的甲骨文有4000多，3千年前有4000多字，估計華夏文明發明文字的曆史可以上朔到更加久遠的古代。4000多字是非常完善的文字體係。這些文字用來做什麽用呢？占卜。占卜是古代的運籌學，相對於今天國家宏觀經濟調控。古代占卜運籌，根據曆史記載，不比今天經濟學家預測差。《易經》64卦就是蓍草之形，就是籌簽之形，運算籌簽，就運籌學。

 

人類脫離動物，從基因本能行為變為文化行為。動物基因本能行為模式是：外部刺激－本能反應。人類文化行為模式是：外部刺激－思考－作出反應行為。其中思考基於知識，知識在於記憶積累觀察。所以，記憶非常重要。記憶的模式是：外部刺激－思維運動。外部刺激包括眼睛受到光線的刺激、鼻子受到分子的刺激等感官刺激等。思維運動在於分析，比較、分類等，把感官接受到的信息轉化為知識。即人類文化行為模式：“外部刺激－思考－行為”可以分為時間上不連接的兩部分：前一部分是“外部刺激－思維運動”，是記憶，是知識積累。後一部分是“思維運動－行為”，是計劃行為。即在沒有外部刺激的情況下作出的主動行為，是意誌力行為。

 

中國史學發達，自古重視史，史官獨立，是製度化的社會記憶。所以，華夏文明延綿至今不斷，和中國的史官製度不無關係。遠古時期，在有文字之前，部落除了頭人以外，最重要的最受尊重的老人是司儀，她唱頌古老的史詩，講述古老的故事，延續久遠的記憶，積累漫長的知識。

 

單靠口頭文學記憶隻能記憶大事件，日常瑣事難以一一紀錄，於是有了結繩記事。河圖洛書就明顯是結繩記事的圖象。從口述文化進入到物理符號的結繩記事是人類文明一大進步。當記憶符號物質化以後，就可以排出序列，產生數。符號的不同擺布操作逐步演化為運算。

 

部落司儀於是有了更多的社會功能，她要布置許多符號，不同的慶典和紅白喜事有不同的符號布置。由於對不同的事件有不同的符號布置，其反作用是符號的運營的不同決策了部落重大行為：如遷徒、戰爭等。原始的符號運算是占卜、原始是運籌學和決策機製是占卜。執掌占卜的職能具有部落重大事件決策的權威，她運籌符號，解釋符號，給出決策。她實掌生殺予奪的占卜決策大權。

 

占卜是原始的計劃行為：運算蓍草龜板－部落行為，今天是：運籌決策－行為。

周易，是華夏文化從野蠻走向文明的文化源頭經典，是儒道共同推崇的群經之首。華夏文明很早就是人本文明，而西方至今在宗教文明內徘徊難以自拔，《周易》把超自然做為運籌學是根本原因：華夏文明早在五帝遠古年代，早在伏羲年代，就認為人類可以控製和利用超自然，而不是被超自然控製。中西文明在遠古時期就走上了不同的道理：華夏文明是人本文明，西方文明是神本文明。

 

《易經》為中國十三經之首。《易經》和其它十二經不同。其它十二經是文字經典，《易經》除了文字，還有卦象和數。今天，小說就都是文字，高等數學書就有文字、數字和符號。可見，《易經》和今天高等數學書有共性：文、數、象。

 

占卜，有本卦和變卦。本卦到變卦就是一種數學運算。讓我們把這些運算歸納出來。

 

定義一：

一個卦g在易經中有六爻組成，從下至上六個爻為分別定義為初、二、三、四、五和上爻位。每個爻位可以放兩種爻之一，陰爻和陽爻。陰爻名六，陽爻名九。

 

例1.1：

乾卦的卦像就是｛初九、九二、九三、九四、九五、上九｝，坤卦的卦像就是｛初六、六二、六三、六四、六五、上六｝。

 

推理1.1：

一個卦g就是六維布爾空間中一個點（a、b、c、d、e、f）。

 

例1.2：

乾卦就是（1、1、1、1、1、1），坤卦就是（0、0、0、0、0、0）。

 

推理1.2：

六維布爾空間總共有64個點。這些點的集合G就是易卦空間。一個卦變f，就是G到G的一個映射，或G到G的一個函數，或定義在G空間上的一個單元素操作。

中國易學中所有卦變F組成一個G到G的映射的集合。下邊讓我們整理這個中國易學卦變集合的元素。

 

1、消息。

定義2：

將一個卦g中的某些爻變性，得到一個新卦g’，稱為消息。由陽變陰謂之消，由陰變陽為之息。如蒙卦（0、1、0、0、0、1）消二息一就變成頤卦（1、0、0、0、0、1）。

 

對於一個卦，總存在一個消息將其變為任意指定的另一個卦。即總共應該有63個消息操作。如果我們把零消息操作加進去，即無消無息也算作一個消息操作，那麽我們就有64個消息操作。這六十四個消息組成G的共軛空間F。這樣，卦像空間G包涵64個卦象g（b），消息操作空間F包涵64個消息操作f（b），其中b是六維布爾空間的一個點。即對應於六維布爾空間的一個點b，我們可以有一個易卦g(b)和一個消息f（b）。例如比卦（0、0、0、0、1、0）可以代表易卦空間G中的一個卦象，也可以代表消息F中的一個消息f（5），即第5爻變性的消息操作。

 

定義3：

當一個卦象用做代表一個G到G的映射的時候，消息象中的陽爻指示本卦相應爻位上的爻為變爻，消息象中的陰爻指示本卦相應爻位上的爻為不變爻。

 

例3.1：履卦（1、1、0、1、1、1）用作代表消息操作的時候，就表示初、二、四、五、上為變爻，等價於消息f（12456）。

例如

f（12456）泰卦（111000）＝遁卦（001111），即履卦代表消息操作的時候，把本卦泰卦變為變卦遁卦。

消息在占卜中有普遍的應用。占卦是占得本卦和變爻，則變爻改變爻性得到變卦，這就是消息操作。乾卦對應於f（123456），即六爻皆變。坤卦對應於零消息f（0），即不變，或沒有占得變爻。即乾卦對應於極大的消息，坤卦對應於極小的消息。乾卦至動，坤卦至靜。

 

定理1：

任何一個消息作用兩次等於零消息。

如f（5）將第5爻變性，消息第5爻，變性一次以後，得到新卦，用f（5）對新卦再操作一次，則返回本卦。定理1表達為f（b）f（b）＝f（0）。即重複使用一個卦對應的消息操作等於坤卦對應的消息操作，即零操作。

 

推理1.1：在消息空間中，乾乾為坤；其中乾和坤不是卦象，而是消息象。

推理1.2：在消息空間中，所有卦的平方都是坤。即乾乾為坤，但坤坤還是坤。坤主聚，如大海納百川。注意，這裏說的是消息空間，是操作符空間，有別於易卦象空間。消息空間中消息象中陽爻指示變爻的爻位，而陰爻指示不變的爻位。

傳統習慣是對一事隻能占卦一次，再占就不靈了。不能占到自己不喜歡的卦就不要，重新再占一次。我以為這種傳統和定理一並沒有必然關聯，傳統是對占卦人的權威的尊重和對所得卦神機的敬重。

 

2、旁通。旁通就是將一個卦的所有爻都變性卦變為新卦。如乾卦的傍通就是坤卦。需卦（1、1、1、0、1、0）旁通就變為胥卦（0、0、0、1、0、1）。旁通是消息的一個特例，就是乾卦代表的消息操作。

 

3、往來。往來就是兩個不同爻位上的爻交換。如屯卦（1、0、0、0、1、0）二五往來就卦變為臨卦（1、1、0、0、0、0）。往來操作共有5+4+3+2+1＝15個。對於這15個往來操作中的7個屯卦變回自身，或者說，對於其中7個往來操作，屯卦是不動點。

 

定理2：任何一個往來操作w（ij），把易卦象空間G分為這樣兩個子卦象空間：i爻位與j爻位爻性相同的卦組成子卦象空間E（ij），i爻位與j爻位的爻性不同的卦組成的子卦象空間M（ij）。w（ij）作用於E（ij）空間裏的卦相當於零消息f（0）操作，w（ij）作用於M（ij）裏的卦象相當於f（ij）操作。如二五往來w（25）對於E（25）空間等於坤消息，對於M（25）等於坎消息。E（ij）有32個卦象，M（ij）也有32個卦象，E（ij）+M（ij）＝G。M（ij）空間又分為16對卦象，每對卦象在往來w(ij)作用下相互轉換，你變成我，我變成你。

 

4、內八卦組合。

 

定義4：八卦是三維布爾空間B（3）的點。

八卦為坤（0、0、0），震（1、0、0），坎（0、1、0），兌（1、1、0），艮（0、0、1），離（1、0、1），巽（0、1、1），乾（1、1、1）。

 

定義5：每個易卦可以生成四個內八卦：（初、二、三），（二、三、四），（三、四、五），（四、五、六）。其中（初、二、三）和（四、五六）稱為上下卦，（二、三、四）和（三、四、五）稱為互體卦。

例5.1:小畜卦（1、1、1、0、1、1）生成內八卦乾（1、1、1），兌（1、1、0），離（1、0、1），巽（0、1、1）。其中乾和巽是易卦小畜的上下卦，兌和離是易卦小畜的互體卦。

 

定義6：把兩個八卦上下相疊而構成一個易卦，記作B（3）X B(3)＝G。即易卦空間是兩個八卦空間的直積。

 

定義7：用本卦生成的四個內八卦相疊而構成的變卦定義為內八卦組合操作。

共有12個內八卦組合卦變操作。

例7.1：

否卦（0、0、0、1、1、1）有四個內八卦坤、乾、艮、巽。

內組合乾上坤下為本卦，是內八卦組合中的不變操作。

內組合坤上乾下為泰卦，本卦否變為變卦泰就是把上下八卦相互易位，這個操作在傳統中稱為“上下象易”。

互體八卦的內組合：艮上巽下得變卦蠱，巽上艮下得變卦漸。傳統稱為互體卦變。

互體卦和上下卦的內組合艮上坤下、巽上坤下、艮上乾下、巽上乾下、以及這四個變卦的上下易象，傳統稱為“連互”卦變。

 

5、反對。倒轉就是把一個卦反過來看，這個新卦稱為原卦的複卦。如訟卦（0、1、0、1、1、1）反對成為需卦（1、1、1、0、1、0）。

無論是內八卦組合還是反對，對於某特點的易卦，都對應於某個消息操作。如訟卦反對成需卦，對應的消息是f（1346），即初、三、四、上爻消息。反之，如果占得本卦和變爻得到的變卦剛好是某個反對操作、或者內組合操作、或者上下易象操作，或者往來操作，那麽，這個變卦就揭示了本卦的什麽特性在這個變卦中起來作用，這有點像“性格決定命運”。即同樣的環境和外部條件，同樣的消息，本卦不同，結果大不一樣。在同樣的消息操作下，某些易卦是一成不變，某些易卦變為反對，某些卦變為往來，某些卦變回胡體等等。

 

64個消息操作F是完備的卦變操作集合，其它卦變操作等價於某個消息操作，是否等價以及等價於那類卦變操作是由本卦的結構決定的，因而揭示了卦象的某些特征。

 

易群

定義8：

現在，我們在G空間上定義一個乘法

 

g(i)·g(j) = g(k)

 

這個乘法的定義為前邊左邊一個卦g(i)作用於右邊一個卦g(j)得到一個新卦g(k)。對應於上文，這裏的g(j)就是本卦，g(k)就是變卦。g(i)就是這個變化對應的操作，在上文中，我們說g(i)在F空間，這是多餘的，個g(i)完全可以就是G空間的一個元素，它作用於g(j)就是如定義3那樣，g(i)卦中的陽爻改變g(j)中間對應爻位的爻性而得出g(k)，這就是乘法的定義。

 

顯然這個定義滿足群的定義。

 

1）G內兩個元素的乘積還是G內的一個元素。

2）滿足結合律 ｛g(i)·g(j)}·g(k) = g(i)·{g(j)·g(k)}

3）存在單位元素。坤卦g(0)就是單位元素，滿足 g(0)·g(i)＝g(i).

4）G內任何一個元素都有逆元素。根據定理一，每個元素都是自身的逆元素

            g(i) = 1/g(i)    ;            g(i)·g(i) = g(0)

1）到4）就是數學中群的定義。64卦按照定義8定義的乘法就構成了一個群。這個群就是易群。