阿羅定理、波達計數與選舉規則

現行的許多選舉規則和比賽規則是有偏（bias）的規則，很難代表民意，即選舉勝出與否與選舉規則有關，而和被選舉人是否真正代表民意無關。這是著名的阿羅不可能定理。阿羅定理說：基於愛好偏序排列的社會效益函數不存在【1】。阿羅1950年發現這個定理，1972年或諾貝爾經濟學獎。

 

讓我們用一個簡單的例子來說明阿羅定理問題。比如有三個人參加總統競選，他們是布什、克林頓和裏根。一共有100個人投票。其中43人最喜歡布什、第二喜歡裏根，最不喜歡克林頓；33人最喜歡克林頓、第二喜歡裏根、最不喜歡布什；24人最喜歡裏根，第二喜歡克林頓，最不喜歡布什。

 

如果每人一票，得票最多的當選，則布什以43票對克林頓33票和裏根24票勝出。這是美國現在的選舉規則。如果按照此規則選奧林匹克會址，中國就得到2000年的舉辦權了，但是奧林匹克會址的投票規則是得票最多的兩名再重新投第二次票，結果中國在第二輪落選。

 

回到我們三人競選的例子，如果按奧林匹克選會址的規則，克林頓會在第二輪投票中以57票對布什43票勝出。這種方法在此例中剛好也是末位淘汰法。

 

如果我們按照雙雙對決方法（這是體育中比賽的規則），那麽布什與克林頓對決時，克林頓以57票對43票勝布什；布什與裏根對決時，裏根以57票對43票勝布什；克林頓與裏根對決時，裏根以67票對33票勝克林頓。結果是裏根兩勝，克林頓一勝一負，布什兩負。裏根勝出。

 

在選民偏好不變的情況下，用三種常用的選舉規則會選出三個不同的總統。為什麽說這些選舉規則是有偏的呢？讓我們舉個例子來說明。假如出來前邊一百個人的偏好不變，我們再加一百個最喜歡克林頓和最討厭裏根的人和另外一百個最喜歡裏根而最討厭克林頓的人，這兩百人對布什即不喜歡也不討厭。這樣加多兩百人看上去是中性的，對布什沒有更喜歡也沒有更討厭，對克林頓和裏根兩個人的厭惡和喜愛人數相等相反。如果選舉規則是無偏的，那麽加這兩百人對選舉結果應該沒有影響。讀者不妨自己試試，選舉結果會很不相同。如用第一條選舉規則，原來100人投票時是布什勝出的，現在300人投票就變成克林頓勝出，雖然後邊加的200人總體來說對三人的偏愛程度是中性的。

 

無偏的選舉規則應該是波達計數【2】。波達是法國科學家，他在科學試驗數據處理上發明了波達計數方法，他是1770年發明波達計數方法的。用回上邊的例子，如果選民按偏好計點，如43人給布什2點，給克林頓1點，給裏根0點，表示他們最喜歡布什，第二喜歡克林頓，最討厭裏根。其它人也用計點方式來排序他們的偏好。而選舉的結果，以得點數最多的人勝出。那麽我們就會發現，後邊增加的中性的200人剛好使得每個候選人都增加了200點，不影響原來100人選舉的結果。所以，波達計數是無偏選舉規則。

波達計數在有廣泛的應用，如市場調查，各種社會調查，依據公司投票決策等。也有幾個小國家才有波達計數作為總統選舉規則【2】。

 

規則有時候無法完全表達選民的偏好，如點數的3、2、1排序是等差計數，假設你的偏好程度是均勻分布的，怎麽表達選民對兩個候選人喜愛程度接近或想去甚遠呢？

://www.talkcc.com/article/1208037
一種方法是規定每人可以用30個總點數，這和現在每人一票一樣。如果我完全沒有偏好，我就給每個候選人10點。如果我有偏好，我可以將30點在三個候選人之間任意分布，比如，如果我隻想布什當選，我就給布什30點，給另外兩個人0點。如果我喜歡布什，但萬一布什不當選，裏根我也能接受，我就給布什20點，給裏根10點，給克林頓0點。這個好處是總點數守恒，壞處是比較平衡的人，即對三個候選人可以客觀評價的人，其點數的能力反而不如極端主義的人，極端主義的人將30點都給1人，他的選舉影響能力就比其它人高。

為了讓每個人對起最喜愛的任一候選人的讚同權重一樣，可以讓每個選民對候選人在0－10中間評價，最好的給10分，最壞的給0分，沒有偏好就給5分。這種方法也是有廣泛應用的。現在我們填的許多市場調查標格都是這種形式。

 

【1】    http://en.wikipedia.org/wiki/Arrow%27s_impossibility_theorem

【2】    http://en.wikipedia.org/wiki/Borda_count

[唵啊吽]

回複swl2255的評論:

美國國家的製度是世界上最能吸引國際人才和資金的製度。但這不表麵美國在國際事務中的所作所為就是道德高尚的，也不代表美國的製度是各國都能模仿的。

美國的國際事務中以國家利益至上。由於美國是超級大國，對國際事務影響至深，而他的超級能力是為美國利益服務的，這必然會傷害其它一些國家的利益，這就是為什麽美國惹來很多其它國家人的痛恨的原因。

實際上中國並不是很恨美國，如果中國恨美國，那是由於美國恨中國引起的。如海南島間諜飛機，李文和事件，銀行號事件，前南領館事件等等。中美之間的感情是被美國破壞了。在這一係列事件之前，中國由上至下都是親美的，隻是前蘇聯解體後，美國有意樹中國為敵，破壞了中美的民間和官方的友誼。

[swl2255]

為什麽中國很恨美國，卻又愛死美國來拜訪投資？

[為人父]

非常同意這句話：“個體的有序的偏好無法形成社會總體的有序的偏好。”，這就同股票市場的情況一樣，當股民的表現是有序的時候，恰恰股市的表現則無序。也就是說，股民行為趨同時（不管基於何種理論），恰恰使股市變得非理性。

[唵啊吽]

回複小小無知的評論:
加拿大的情況剛好相反，左、中、右三黨中，曆史上總是中間一黨當選的機會多。中間一黨反而能夠爭得更多選票。

再有，生物試驗可控製的因素不多，而且重複性也差，特別是兩百多年前的試驗，加上試驗周期長。

[小小無知]

牛兄：這裏似乎有值得進一步研究的地方。
波達計數用在評估試驗結果上，可能沒有問題。但將其應用於選舉投票則可能會有問題。原因在於試驗時是在一定相同條件下完成的。而選舉時，卻很難做到每個選民（選票）都是在對每個被選舉者同等了解程度上做出的選擇。而往往是對自己最喜歡和最不喜歡的對象投入較多的關注，而對中間部分並不同等關心。這樣就造成對兩端的選擇是建立在較完全信息之上的選擇，而對中間部分是建立在相對不完全信息之上的選擇。（也就是說試驗的條件不完全一致。）
那麽，為了得到更公平的的結果。或是想辦法保證試驗的條件一致（這點，由於涉及到人的心理特點等，可能難於做到），或是對波達計數法進行修正。如進行加權修正，兩端權重大中間權重小。當在極端的情況下（中間部分的權重小到可以忽略的程度時），就出現了隻有兩端的選擇是有意義的可能情況。

[唵啊吽]

回複小小無知的評論:
阿羅開始是研究經濟學的。經濟學講效用函數，是說交換能產生更大效用。如我偏愛蘋果，你偏愛梨，那麽，按照市場價格，我用我剩餘的梨還你剩餘的蘋果，雖然沒有市場什麽，但總效用提高了。古典經濟學都是關注人類總統效用的，如亞當斯密的國富論，關注的是社會整體福利，這就產生一個問題，比如我們有一筆投資，不能同時建水庫和公路，是建水庫好呢？還是建公路好呢？還是什麽都不建吃掉算了？由於每個決策都是對一些人有利，對另一些人不利，那麽就要找一個社會效益函數來決策。阿羅說這個效益函數不存在，即讓這些人投票的話，無法有一個規則真正表達總體社會偏好，個體的有序的偏好無法形成社會總體的有序的偏好。

如果我沒記錯的話，波達應該是個生物學家。當評估一項試驗結果有多個因素存在時，就很難比較，有些試驗結果是一些指標好，而另一些試驗結果是另一些指標好，怎麽評估那個試驗結果更好呢？這就是一個排序問題。如小康指標，彩電普及率和醫療質量等數十個指標，怎麽能夠形成一個單一的指標呢？吧波達計數用於選舉，就是這樣一個規則，它能夠得到一個整體的評估和排序。

說白了，就是波達計數得到了社會效用函數的表達方法，即個人的有序偏好可以形成整體的有序偏好排列。實際上就是說，選舉規則用波達計數是公平的。即便定指標時有隨意性，但是，規則訂好後，不會偏向某一個候選人，不像一票選舉那樣某規則對某候選人有利，對其它候選人不利。

如果選舉是基於民意的話，應該采用波達計數，而不是一票選舉。我不敢說波達計數就一定公平，單至少比一票選舉公平。

[小小無知]

或者是說，在企業發展的一定階段，或是國家發展的一定階段。（往往是變革的關鍵時期）隻有堅定的支持者和堅定的反對者才對企業或國家的發展是有意義的。

[小小無知]

明白了，謝謝。
在實際的管理工作中，很多人有這樣的經驗。隻要管好最優秀的和最差的員工，中間部分大都會隨大流。
從這點來看，能不能說：一票選舉（抹掉了許多偏好信息）也不見得就一定不科學，用波達計數考慮到所有偏好信息得到的結果，也不一定就是最優的呢。

[唵啊吽]

回複小小無知的評論:我是這樣理解的。我在【宗教起源的一個簡單心理學模型】講到，民主程序更多的是凝聚民心共同行動的手段。阿羅說知道個人偏好無法找出集體偏好。但是一票選舉有抹掉了許多偏好信息。所以，一票選舉表達民意是數學上證明不可能的。然而，波達計數卻可以充分利益所有個兒偏好信息來構造一個集體偏好，即波達計數使得民意表達成為可能。

美國選舉前劃分選區，就是使得規則對自身有利的政治遊戲。因為執政黨有權劃分選區，所以美國總統連任成為很普遍的現象。用波達計數就可以排除一些不必要的政治遊戲了。

[小小無知]

學習了，謝謝。
是不是可以說，根據目的不同，應采取不同的方法。
也就是說公平與否是由目的決定的，沒有絕對的公平。