==從數感說起==
伽莫夫《從一到無窮大》中提到過亞馬遜森林中某土著部落的數感。這些土著們可以回答展示給他們的一組物品的個數，如果不超過三件的話。然而，一但麵對多於三件物品，土著們則束手無策，隻能回答“很多”。
這個例子其實是引自丹齊格（Tobias Dantzig）1930年的著作《數：科學的語言》（Number: The Language of Science）。按照丹齊格的描述，某些土著語言中僅有相當於“一個”，“倆”，“仨”的詞匯。描述三以上的數字的詞匯則是 “很多”（Many）。然而，丹齊格最深刻的見解則是，無論土著詞匯中是否有具體數目的詞匯，他們往往僅有數感，而沒有數的概念。用他著作中一句非常有意思的oxymoron概括（為了易懂，這裏的中譯已經沒有那麽oxymoron 了）：土著語言中有對數目的詞匯，但卻沒有“數目”這個詞匯。丹齊格反複強調的是數感number sense與計數counting的本質區別。
數感是一種對少量數目直覺判斷和匹配多少的天生本能。即使土著人語言中沒有數目一二三這些詞匯，意識中也毫無計數count知識，他們仍然會具有數感。人類學和心理學家們曾針對某個語言中沒有數目詞匯的土著部落進行過試驗。他們向那些接受試驗的土著們展示一組樣品，讓他們用相等的小石頭子去匹配其數目。實驗顯示，即使這些土著的語言中沒有描述具體數目的詞匯，他們仍能夠匹配出三或四以內的數目，說明他們有三或四以內的數感。
許多動物和昆蟲都有這種數感。丹齊格著作中描述了某種鳥類的數感。如果這種鳥的鳥巢中有四顆鳥蛋，偷偷取走其中一顆（還剩下三顆）不會引起雌鳥的警覺。但如果從中一下取走兩個鳥蛋，那麽鳥就會感知危險並棄巢而去，說明這種鳥有三以內的數感。
丹齊格講的另一個例子則更有意思。有位鄉紳想要射殺一隻在他田園瞭望塔上築巢的烏鴉。但偷襲了好幾次均徒勞而返。隻要看見鄉紳走進瞭望塔，烏鴉就警覺地馬上飛離自己的巢穴，躲到遠處觀望，直到鄉紳離去後才飛回來。某天鄉紳心生一計，請一個朋友和他一同走進瞭望塔，少許之後朋友獨自一人離去，鄉紳自己則埋伏等待。然而烏鴉並未上當受騙，直至等到鄉紳不耐煩也離去之後烏鴉才放心回巢。鄉紳後來幹脆嚐試三人，甚至四人一起走進瞭望塔，然後自己偷偷埋伏，烏鴉始終不進圈套。直至最後，鄉紳和朋友一同五人走進瞭望塔，然後自己偷偷留下。這次數目五顯然超出了烏鴉數感的閾值，和伽莫夫書中的土著一樣，它不再能分辯進出的人數，未等最後偷偷留下的鄉紳離去，就回巢了中了埋伏。
4歲能分出鴨梨大小5歲就能count到100的同學們先不要馬上有優越感。正如丹齊格所說，數感number sense不同於計數counting。心理學研究發現，人類普遍的數感的閾值與前麵丹齊格描述的原始土著和鳥類及烏鴉的數感閾值所差無幾。研究者們發現，對於大多數人來說，包括5歲能count到100的牛蛙預科生們，說出不特意擺設的四件以上物品的數目所需的反應時間要數倍於報出四件以內數目的時間。其背後的原因是，人類先天對數目的本能直覺的閾值也不過僅僅是4。心理學家（Kaufman，1949）將這種人類先天對數目的直覺稱之為“瞬時數感”或“數覺”subitizing（源自拉丁詞subitus，相當於sudden的意思）。人類的瞬間數感或數覺讓我們的感官可以不加思索，心中不做計數（count）而直接“反應”出所麵對事物集合中單元的數目，如果該數目沒有超過我們的數覺閾值4。
古人數千年前就領悟到人類的瞬間數感。從古羅馬到現代，絕大多數10進製算盤都采用上下兩排算珠，逢5向上排進位的設計。這個設計恰好符合現代心理學和認知科學給出的最優化方案，確保珠算演算中任何一次撥動均避開四顆以上算珠的魔咒，讓打算盤盡量成為下意識瞬間動作，甚至達到一心二用盲打的程度。
對於四以上的數目，現代社會的人們並不像伽莫夫所說的亞馬遜部落土著那樣一籌莫展。雖然我們對這些數目沒有先天腦回路提供本能的直覺，但人類社會幾千年的文明發展已經掌握了對超過數目4的計數知識counting，並建立了數字進位係統。然而，與先天數感直觀的一二三四有本質不同，計數概念中的數，包括那些被5歲兒童們從1，2，3一直數到的100，以及“數”這個詞匯本身，已經是人類思維創造和後天認知的抽象概念。正像現代心理學所揭示的，我們這種借助於內心思考的“軟件”或外掛設備（算盤，算籌）的計數速度要遠遠慢於我們感性直觀本能的“硬件”。
從大腦對計數能力的進化程度上說，與伽莫夫講述的那些落後現代社會一萬年的土著們相比，我們並無可見的先天優越。我們與他們的差別僅僅在於我們後天學習掌握了計數的額外知識和輔助技能。
==顏色是真實的嗎==
在繼續討論數的本質之前，先說一下色覺。丹齊格那句有趣的oxymoron還有上半句：土著的語言中往往有對彩虹中所有顏色的詞匯，但卻沒有“顏色”這個詞匯。人類對顏色和數目的認知其實具有相似性。
人們往往以為顏色是光波中某種能被我們看到的客觀屬性，比如例如光的頻率（或波長）。這個認知其實沿襲了牛頓的“色素說”的概念，200多年前就已經被托馬斯-楊（就是雙縫幹涉實驗那個楊）的三原色理論所推翻。楊的學說最具顛覆性的觀點是，顏色不是光波的客觀屬性，而是人類視覺賦予光波的主觀意識。這就是現代醫學仿生眼（bionic eye，visual prosthesis）的基本思想。仿生眼並不是將光波中的“顏色”或者“頻率”輸入盲人的大腦，而是依據光波組合，對大腦皮層或者視覺神經係統施以生理電壓產生“光幻覺”。這些生理電壓不但不攜帶顏色（或者對應的光波頻率），也甚至可以人為地與外界光的顏色（頻率）毫不相幹，比如根據顏色刺激嗅覺神經或根據氣味刺激視覺神經，讓你“聞”到顏色，“看”到氣味（“聯覺”機能Synesthesia）。
換句話說，類似於酸甜苦辣冷暖疼累等等主觀感覺，顏色也隻存在於人類主觀意識之中。如果沒有人類存在（比如在人類出現之前），人類意識中的顏色根本不存在，毫無討論的意義。當然，我們可以討論恐龍年代天空或森林的顏色，但這一討論的含義是那時大自然陽光下的客觀光譜能在我們現在的意識表象中產生什麽主觀顏色。這類似於討論恐龍年代陽光照耀會不會令人感覺溫暖或炎熱，並不等於說恐龍年代就存在人類的冷暖感覺。
即使有我們人類的存在，很多“存在”的顏色對於我們很多人來說也不存在。以綠色為例，它既可以是來自～550納米的單一綠色光源，也可以是～580納米的黃色和～490納米的藍色光的混合，甚至還可以是上麵黃綠藍三種單一色的混合。這三種“綠色”在分色棱鏡之下具有不同的光譜，單一的綠，黃藍混合，黃綠藍混合。對於三色視覺者來說，人的視覺賦予這三種客觀光源同樣的主觀顏色，都是綠色，不分彼此。但是，對於四色視覺者們來說，他們的視覺中上麵第三種光源（黃綠藍混合）既不是綠色，也不是分別的黃綠藍三色，而是一種獨特的，在三色視覺者意識中不存在的顏色。實際上，四色視覺者（或10幾色覺的昆蟲）們意識中絕大多數的顏色，在人類三色視覺者們的意識中都不存在。對於這些顏色的光源，我們可以用分色儀或三棱鏡客觀地分辨其頻率光譜（比如對前麵的第二中光源辨別出是黃藍混合），獲得其全息客觀知識，並對其進行客觀分析和抽象表達。但我們三色視覺者並不能直觀想像出這個光譜組合（比如黃藍組合的綠色）在四色視覺者意識中的感覺。這類似於色盲者雖然能理解光波的頻率概念，也能夠使用三棱鏡，但他們完全不能想象和理解我們談論的顏色。
不僅顏色隻是人類主觀意識中的存在，顏色學所顯示的“客觀”規律和法則，其實也不過僅僅是人類主觀意識中的“存在”。人們往往以為對三色視覺者的黃藍色混合成為綠色不過是遵循了簡單“波長平均”的客觀法則而已（580納米黃+490納米藍，平均出接近550納米綠）。然而，如前麵所說，這條法則對四色視覺者來說毫無意義。即使對三色視覺者來說，這條法則也僅僅對黃藍混合湊巧的結果，並無意義，也不普遍成立。以紅色（波長～700納米）和藍色（～500納米）的混合為例，如果按波長平均，其結果應該是接近～600納米的黃色。然而令人很多人大跌眼鏡的是，紅藍混合的結果是光譜中並不存在的一種顏色，絳紫色（英女王穿衣酷愛的顏色），其感觀更接近於光譜中波長比紅藍均短的紫色（～400納米），而不是介於紅藍波長之間（平均）的黃色。
顏色學所揭示的規律和法則，不過是人類視覺係統按自己的結構（演化的結果）在人類意識中加注的直觀標記方式。人類意識之外的大自然根本不需要這套規律和法則。大自然造物主也並沒有為大自然的“顏色”設計這些規律，製定這些法則。這些規律和法則與人們意識中的顏色本身一樣，在人類意識之外並不存在，沒有意義。
==數的本質==
回到前麵對數的討論。一個類似顏色的直接問題就是：數目是事物的客觀屬性還是人類意識中的主觀概念？或者問，人類意識之外，數目是否有意義，數目是否存在，在哪裏存在？這個問題是胡塞爾現象學的起點，甚至也是理解康德“數學是先天綜合判斷”的關鍵。
科學家和科學盲們，唯物論和形而上學唯心論們，都不約而同的共同觀點是，數目表現的是不依賴人類意識的客觀事物的屬性，是客觀規律的“語言”，也是不依賴人類意識的“真實”的客觀的（或柏拉圖空間的）存在。然而，這種常識和唯物唯心的默契一致卻被胡塞爾現象學所顛覆。胡塞爾深刻地揭示了，數目的這種“真實”，其實是已經被我們忘記是虛幻的虛幻（尼采語）。胡塞爾考察數的本質的方式類似於丹齊格，直接回到人類意識中數目概念的起源。其區別是，胡塞爾側重於心理學解釋，而丹齊格更接近康德，從人類先天直覺和認知結構“數感”出發。
90年代和本世紀不斷發展和出現的現代心理學和認知科學的發現支持了丹齊格數感的學說，人類觀念中抽象的數字概念源自人類的原始“數感”，類似於人類對顏色（以及康德學說中人類對時空）的直覺。這種數感的根基則是將外界世界單元化和同一性的感知能力。隻有將外界事物視為諸多相互可分彼此，自我同一的單元，比如一支船，一條河，一塊蜂蠟，一支粉筆，等等，數感才能夠產生，也才有意義。這種事物單元化和同一性絕非事物本身的絕對屬性，而是相對於人的認知時空尺度，人的認知中的概念化，是人類的認知表象。胡塞爾曾經舉例一支粉筆。在人的意識之外，一支粉筆沒有絕對意義，因為不久它就會成為一堆粉末。對於人的時空尺度，這個“不久”也許很長（例如，被胡塞爾在黑板上用了一堂課後），然而換成其他認知主體的時間觀，這個“不久”也許是瞬間，短到將粉筆視為粉筆已經沒有意義。同樣，笛卡爾討論了一塊蜂蠟，赫拉克利特說人不能兩次踏入同一條河，他的學生克拉底魯幹脆說，人一次也不能踏入同一條河。對同一性最著名的悖論則是忒修斯之船。這些看似詭辯的悖論所揭示的都是，單元化和同一性都是相對於人類認知的時空尺度才有意義。大自然並不需要，也不必遵守，更不會有造物主去設計這種單元化和同一性法則。
與顏色和色彩學規律一樣，將事物視為可分彼此自我同一的單元，是人類（和很多動物）先天的感觀直覺和認知本能和認知方式，這種認知是人類（即那些動物）數感的基礎。數感，單元化和同一性，都不是客觀事物的屬性和法則，而是人類感知和認知結構賦予自然的法則。那麽由此產生的抽象數目和計數的概念和知識，都是建築在數感這個已經被忘記是虛幻的虛幻之上的“真實”。
