皮皮蝦
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數學名師鄒同在“親子閱讀”群的講座
2015.1.2
主持人曉鹿：
我們很榮幸地請來了矽穀數學名師鄒老師給我們談談各個年齡段的孩子如何學好數學。
鄒老師是名校伯克利大學的數學博士候選人， 矽穀最好的數學老師之一， 深受學生和家長愛戴，他教出的學生們在美國各級數學競賽中取得優異成績。他也是個教子有方的父親， 他的大兒子高中畢業後被名校麻省理工學院錄取， 現在也是數學博士。鄒老師家是數學世家。 鄒老師的父親是數學教授， 鄒老師的太太也是伯克利的數學博士。
有請鄒老師。
鄒老師：
大家好！非常感謝曉鹿邀請我來給大家分享一下學習數學的一些經驗，我先簡單介紹下我自己是怎麽開始教孩子的吧。
最早的時候，我伯克利畢業以後一直做軟件工作。我大兒子從小開始就參加數學方麵的一些競賽，也沒有花太多功夫，覺得比較輕鬆。後來到小兒子的時候，我就發現，他好像沒有大兒子的那個天賦，所以我就開始想一些別的方法來教他。
於是我就開始組織起一些學生，他的一些好朋友，大概五六個孩子，我們一起組織了一個數學學習小組，開始給他們教數學。教著教著發現我也挺喜歡幹這行的，所以到如今也是教了差不多五六年了吧？四五年了，一直到現在。這個就是比較簡單的，我怎麽開始的。
小學數學
那我想先從這個小學的數學教育開始講，因為小學生是非常關鍵的一個階段。教小學生的話我太太教得比較多，我主要是教高中生和初中生，但是我也從她這邊了解了小學生主要碰到的一些問題。
其實數學要學好從小學生就應該開始抓起來了。最怕就是孩子在小學的時候養成一些壞習慣。我發現很多在美國上學的孩子，很多都養成一種非常糟糕的壞習慣，到後頭改起來那就非常的困難。
小學生最重要的是要培養他對數字的敏感性。比如說數數小學一年級開始數數就要很熟練。
數會數了以後呢，你就可以教他跳著數，比如兩個兩個數，三個三個數，四個四個數之類的。
我們在教的過程中發現美國老師教孩子跳著數數的方法不是很好。 比如兩個兩個數的話，他們會教2，4，6，8，三個三個就會教3，6，9，12。 這個教法沒有把跳著數的本質教給孩子們，所以他們很多時候還是搬著手指頭在試。
那麽教“跳著數”要讓孩子還是用1，2，3來數，比如說1，2；2，2；3，2；4，2這麽數，或者是1，3；2，3；3，3；4，3這麽數，這樣的話他就知道我還是在數1，2，3，隻不過我是兩個兩個數或者三個三個數，這個就有乘法的概念在裏頭了，以後背乘法表或者九九口訣表就很容易 。
二三年級孩子要盡早背好九九表。
小學生的教育家長一定要非常的投入，不能把什麽東西都交給老師或者靠學校，除非孩子特別自覺，自身能力很強。一般的孩子，在這個時候，一律是要家長非常的支持。
家長最關鍵的問題就是一定要對小孩有耐心。我發現很多孩子不願意父母教他們是因為家長欠缺耐心。很多時候父母教了一遍，覺得：唉你怎麽還不會？教了兩遍……教好幾遍了發現還不會，心裏這個火就上來了：怎麽還不開竅啊！ 這個態度對孩子的自信心是一個打擊，會讓他們不想學，產生厭學情緒。
小孩子這個階段一定要注重培養他的興趣。生活中到處都是數學。家長跟小孩子有很多遊戲可以玩。比如說，我們小時候經常玩的二十四點是非常好的一個數學遊戲。比說你到商店裏去，你就可以鼓勵孩子：我這裏有五塊錢，如果你能把這五塊錢全部都花掉，剛剛好的話，那麽你就可以拿去買東西。孩子他就會計算，這個商品多少價，那個商品多少價，怎麽加起來正好等於五塊錢。類似這些日常生活中的數學，都可以隨時隨地讓孩子訓練。
七巧板培訓孩子對幾何圖形的概念，也是非常好的一個遊戲。還有其它遊戲，比如KenKen Puzzle是通過加減乘除怎麽運算，得出什麽數字來，這些都是一些很好的puzzle。 還有一些邏輯趣味題，或者下棋之類，都能提高孩子的邏輯思維能力。
你如果在亞馬遜網站上搜索Math Circle, 你會發現有很多Math Circle的書，很多這種書適合小學生讀。 家長可以跟小孩子一起讀，一起做題，一定要有足夠的耐心培養孩子的興趣。
我推薦幾本好書。 Pickover寫的The Math Book 和 Passion for Mathematics：
The Golden Ratio，by Mario Livio
Euler's Gem, by David S. Richeson
還有Becoming a Problem Solving Genius， by Edward Zaccaro。 講數學曆史和講數學家故事的書也可以提高孩子的興趣。
我們小時候看的唐老鴨漫遊數學奇境，在Youtube上可找得到。 我覺得生活中到處都是數學，比如在買東西的時候，就可以讓孩子幫著算價錢。家長首先自己要感興趣，然後才能培養孩子的興趣。
我現在再講講很多孩子的一些通病。 美國學生的通病是孩子不願意動筆，他看著題目就是不動筆，光用腦子想。我們一定要培養他動筆，讓他自己去試，比如畫一畫圖啊或者是寫一些東西出來，一定要動筆，他不能光是盯著題目看。
另外一個問題是孩子的閱讀能力。 很多孩子碰到應用題時理解不了題目在說什麽，這個就涉及到閱讀能力，閱讀能力如果提高的話，很多問題就會變得比較簡單了 。
在小學的時候呢，我覺得還是要強調一下運算能力，就是一定要有對數字的敏感性。比如說我不是簡單地教加法或者乘法、減法，而是讓他們怎麽以最快的速度來算出這個東西來。比如他看到2+8就想到10，有些數字我們就是要培養這種敏感性, 從小就讓他知道1+9、2+8、3+7、4+6、5+5這些都是可以加成10的，加成10以後你就會運算比較方便，像類似的一些對數字的敏感性，要加強一些這方麵的訓練。
小學部分美國有不少的數學競賽方麵的書都很好。 像MOEMS (Math Olympiad for Elementary Schoolshttp://moems.org/ )，裏邊有很好的題目，我太太教的時候都會用到。Mathleague 有兩個， Mathleague.com (http://www.mathleague.com/ )和Mathleague.org （http://mathleague.org/）, 這是兩個不同的比賽，這些題目都不錯，比較多樣性。亞馬遜網站上可以買到這類書。
還有其他的一些小學課本比如新加坡的數學書（Singapore Math）或者曉鹿介紹過的Beast Academy都是很好的書。 Beast Academy 用動畫的形式來講數學，其實有很深的概念在裏頭。
小學數學概念中容易犯錯誤的地方就是除法。美國小學教除法是這樣的：8 ÷ 3他們會寫成8 ÷ 3 ＝ 2R2，表明商是2餘數是2。這種教法有很大問題，因為8 ÷ 3＝ 2R2 不是一個方程，所以以後會有很多問題出來。
學除法，最正確的方法應該是寫成 8 = 2x3 + 2，把餘數、被除數和商變成一個方程，這是正確寫法。以後小孩學到多項式除法，這個就是比較好的方法。美國有太多的孩子不知道，沒有真正理解除法的概念。 商、餘數、除數之間的這些關係，是非常重要的一個概念，一定要搞得非常清楚。
另外的難點是百分比和比例。 很多孩子也不是很清楚分數的概念。我建議一方麵需要一定量的練習，另一方麵要對數軸有一個比較直觀的概念，就是這個數字都對應數軸上的一個點。這個數軸上加減乘除是怎麽一回事，讓他們有一個比較直觀的概念。
初中數學競賽
我現在開始講講初中數學競賽和初中其它的數學學習。初中有幾個數學競賽，像AMC8和MATHCOUNT。 這兩個競賽都講究速度，需要學生很短時間內做出很多道題。六七年級的學生可以做AMC8和和MATHCOUNT 。
MATHCOUNT 題目比較多樣一點，對孩子來說趣味性還是蠻強的。網上就有題目可以買。
Art of Problem Solving(AOPS)（http://www.artofproblemsolving.com/）上有很多MathCount的題目。 AOPS 不光有題可以練習，它還有一個叫ALCUMUS的題庫， 按不同的項目， 比如代數， 幾何， 數論， 概率等分類聯係，學生可以直接在網上做題，每做對一道題會按題目難易程度得到點數， 累積點數越多學生越有成就感。 做錯的題學生可以選擇馬上看答案。 AOPS還有一個遊戲叫For The Win!， 學生們簡稱它為FTW， 是訓練速度的， 你可以在這個遊戲裏跟來自全世界的數學愛好者比速度和準確率。這個訓練對想要參加AMC的學生很重要， 對想要在Mathcount進入Count Down階段的學生尤其重要。
AOPS上還有不少的視頻，像講Counting, Pre-Algebra, 和Algebra等。 學生如果買了AOPS的書，可以直接看著上麵的視頻來學習。
到了七八年級的時候，目標就不要太在乎初中的數學競賽，可以考慮高中的數學競賽，像AMC10和和AMC12，或者是更高層次的一些數學競賽。
高中數學競賽
AMC10很大一部分是幾何。幾何在美國是一個弱項，因為美國學生基本上隻有一年學習幾何，很多時間是學習了所謂雙列證明，這個在我看來意義不是特別大，沒有真正學證明的精髓，隻是用比較機械的方法把證明寫出來。所以幾何對美國孩子來說比較弱一點。
我建議用AOPS的Introduction To Geometry書來訓練。那裏麵的題目還是相當不錯的。 幾何還有一個很有趣的就是它叫construction, 怎麽樣用圓規和直尺來construct。這是個很有趣的遊戲，我記得有一個專門的網站你可以在上麵直接用圓規和直尺來做construction，然後他給你一些挑戰。 具體的網站名字我忘了，可能得查一查，應該可以查得到。還有一些網站也有很不錯的題目，像www.brilliant.org, www.clevermath.org, 等。
AMC10和AMC12如果過了就可以晉級到下一輪AIME, 就是美國數學邀請賽。 每年大概有不到一萬人能夠晉級，所以如果能進AIME就已經非常非常不錯了，尤其是女孩子。在美國這邊女孩子學數學學得好的話優勢是非常大的，因為很多理工學校，像MIT，其實是很喜歡數學好的女孩子。
如果AIME再考得不錯的話， 下一層次就是USAJMO(United States of America Junior Mathematical Olympiad)和USAMO(United States of America Mathematical Olympiad)。這個人數就更少了，每年加起來也就五百人左右。然後再從這幾百人裏頭選二三十個人到夏令營，再從夏令營裏選六個人代表美國參加國際奧林匹克數學競賽。學生如果能到夏令營這個層次，基本上申請任何大學都不成問題了。
剛才我大概介紹了一下在美國學生參加的一些主要數學競賽，再加上小學生學習數學的一些經驗。大家看有沒有什麽問題，我再針對性地講一下。
問答
問： 題目複雜一點孩子就不願意做了，比較煩躁，有什麽方法？
答：我先回答一下曉鹿給我發的幾個家長的一些問題。第一個問題我在前麵已經講了不少了，後麵兩個問題差不多是類似問題，就是說題目複雜一點孩子就不願意做了，比較煩躁，有什麽方法。
這個實際上是很多孩子的一個通病。因為他沒有掌握方法，很多時候他不知道該怎麽去想。這個時候，需要家長一定要非常有耐心，要給一些循序漸進的題目，不要一下子給的太難。一下子太難的話超出他的承受能力。
還有一個方法是可以找一些好朋友，幾個孩子一起學，大家有競爭的意識，看看誰先做出來呀之類的，這樣孩子可以更有興趣些。所以組織一個學習小組是非常有效的方式。
還有一點就是注意培養孩子對數學的興趣。 日常生活都是數學，孩子總是有很多感興趣的地方。比如說我小兒子小時候對折紙很感興趣。折紙和數學有很大的關係，很多折紙藝術是通過數學來算出來的。物理呀天文呀跟數學都有關係，家長要注意把這些東西聯係起來。
家長培養孩子的自信心是非常重要的，一定不要摧毀孩子自信心。千萬不要說“你怎麽這麽蠢啊”“你怎麽這麽沒笨啊”這類話，或者把他跟別的孩子比較，這個實際上都是摧毀孩子自信心的。一定要讓孩子在循序漸進的過程中逐漸覺得自己也可以做很難的題，自己也可以慢慢進步很快。家長一定要有耐心。
問： 如何準備AMC10？
答： 我再多講講怎麽準備AMC10。
AMC10題目主要是代數和幾何，還是需要一定的練習度。AOPS Volume 1這本書裏很多題目比較適合AMC10，但是我還沒有看到一本針對AMC10的特別好的書。所以平常就是需要多練， 比如多做Alcumus, 關鍵是要針對自己的弱點，看看自己的弱點到底在哪個方麵, 如果Counting薄弱，就針對Counting多練練。另外，考試的時候一定要有一些策略，碰到不會的題，或者是一下子不知道怎麽做的題，先做一個記號，然後略過，等別的題做完以後，再回頭來看。
還有另外一點很重要，就是會做的題千萬不要搞錯了，題目一定要搞清楚。有太多的孩子題目都沒有搞清楚，就慌慌張張就開始答題。這個就很不好，他可能就完全答錯。
首先題目要搞清楚，另外不要粗心。草稿紙一定要爭取寫得清清楚楚。
以上這些好習慣也是要從小開始訓練的，小學生就要養成一些好的習慣。數字要寫清楚，很多時候小孩子數字寫不清楚，他可能就把5看成3了或者看成其它的什麽數字了。這個都是非常常見的通病，所以這就是為什麽我花了很多時間在講小學生，實際上這是最關鍵的一個時候，一定要養成一個好習慣。
問：我的孩子做數學題時對沒有接觸過的題型就會懵，怎麽辦？
答： 要找到一個比較好的老師。我在教學的過程中注重啟發孩子的創造性思維能力。 說實話我不是特別讚同中國的題海戰術，因為題海戰術會抹殺孩子的創造性思維。
我經常會給學生出一些出其不意的題目，然後一步一步啟發孩子怎麽去思考問題，怎麽分析問題，怎麽抽絲剝繭地把它變成我們見到過的題型，或者是我們已經知道的知識上麵。
我在這裏順便講講解題方麵的思路。所謂難題一般來說它就是一種偽裝，它把真相掩藏起來，就好像剝洋蔥皮一樣，一層一層的皮在包裹真正的東西。孩子一定要養成一個習慣，總是要問自己：這個問題我怎麽樣能夠把它簡化？我怎麽樣能夠把這個題目跟我已知的東西聯係起來？這個題目是不是跟以前做過的題目比較像？這方麵他就要多思考一下，看看能不能夠找出這之間的關係。
當然這裏頭很多的技巧都是需要進一步的訓練才行。其實人的大腦就像人身上的肌肉一樣，你要不斷地訓練它，它才會越來越靈活。像我現在不太鍛練，肌肉就鬆馳了，舉很重的東西就舉不起來。大腦也是這樣，它就是一種肌肉，你是可以訓練出來的。當然每個孩子確實有天賦的差異, 但是這個天賦的差異實際上是可以通過後天的努力來彌補的。就是通過有目標、有計劃的訓練可以達到一個相當高的水平的。
問：Which classes needed to be taken before taking AMC 10 and AMC 12?
答： 要學過幾何， 可以自學排列組合。
問： 能列一下數學競賽級別順序嗎？
答： Mathcounts, AMC8, AMC10, AMC12, AIME, USAJMO, USAMO, IMO
問：初二男孩，以前數學還可以，目前沒有和主動學習意識
答：男孩子這個年齡是比較貪玩的。 要注意引導孩子的興趣。 我推薦的書可以買給孩子看。
問：在學校裏學習數學輕鬆的孩子如何進一步提高？
答： 在學校裏學習數學比較輕鬆的孩子可以訓練數學競賽。數學競賽對思維是一種非常好的訓練。不是說數學競賽一定為了拿名次，數學競賽是很好的思考能力、分析能力和解決問題方麵的訓練。
問：家長如何幫助孩子？外麵上課還是給他做些題目？
答：如果能找到好老師，外麵上課是很好的。 A* accord 就很好。 https://starleague.us/index.php/courses/a-star-math
問： 請老師推薦數學夏令營
答： IDEA Math，Accord, MathPath, Awesome Math(難）, Canada USA Math（難）
大家如果還有問題可以通過曉鹿轉給我。 我有空會回答。 再次謝謝曉鹿。
謝謝大家！
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