台灣退役少將於北辰在2022年8月參加島內的一檔電視政論節目時，做出了如下“計算”：
“通常天弓一發的攔截率是70%，這樣的攔截率已經很高。但是為了以防萬一，我們三發一起攔截，攔截率就是210%！”
當時有台灣網友回應：“照這邏輯，四杯25℃的水倒在一起，直接就沸騰了！”
原以為隻是個別官員愚蠢，“肉食者鄙，未能遠謀”。最近發現同胞中有很多人缺乏基本的概率知識，所以作個說明。
發三枚導彈打靶，有四個事件可能發生：1）三發三中，2）三發兩中，3）三發一中，4）三發零中。相對於這四種事件的概率由以下的二項分布函數決定：
(p + q)^3 = p^3 + 3*p^2*q + 3*p*q^2 + q^3
上麵的二項式展開有四項，分別對應上麵四個事件的概率。
1）三發三中：p^3
2）三發兩中：3*p^2*q
3）三發一中：3*p*q^2
4）三發零中：q^3
p是天弓每發的攔截率（= 0.7），q = 1 – p = 0.3，所以
1）三枚都打中：p^3 = 0.343
2）三發兩中：3*p^2*q = 0.441
3）三發一中：3*p*q^2 = 0.189
4）三發都不中：q^3 = 0.027
至少有一枚擊中的概率是 1 – 0.027 = 0.973
據說最先進的反導導彈可以達到平均85%的攔截率。這樣的導彈，隻要兩枚就可以達到97.75%的成功攔截率。美國和以色列現在基本上是兩枚攔截導彈打一枚進攻導彈。
概率論的近代祖師爺是俄羅斯的安德烈·柯爾莫哥洛夫。他將一切概率推導都歸納於概率空間之內。這個概率空間有三部分。第一是由實驗所決定的抽樣空間（sample space），即基本事件的集合。如果實驗是打靶，其抽樣空間就隻有兩個基本事件：中靶和脫靶。第二是事件空間（event space），包括基本事件和複合事件。“三發兩中”就是一個複合事件。第三就是概率函數，給各不同事件提供概率，如上麵的二項分布就給上麵的四個複合事件提供了相應的概率。從此以後，概率論就規範化了。
如5個人3副牌打紅桃勾，總共是162張牌。主牌是6個王12個勾加上其他3*12張紅桃總共54張主。所以每人預期可以抓到54/5 張主牌（約11張主牌）。底牌7張，每人抓31張牌。每抓一張牌，是主牌還是副牌構成兩個基本事件，概率分別為p = 54/162 和 q = 1 – p。抓到多少張主牌由如下的二項分布式決定：
(p + q)^31
如果你不是莊家而抓到了14張主牌，是不是可以連著出主牌而打得莊家沒主了讓你用勾扣底呢？你抓到14張或更多主牌的概率隻有0.1152，所以機會難得。因為你抓到了14張主牌，其他人就總共隻有40張主牌，所以他們抓到一張主牌的概率是p = 40/(162-31) 。莊家連底牌一起有38張牌，所以他的主牌數由如下的二項分布式決定：
(p + q)^38
他有14張或更多主牌的概率是0.2482。如果有四次這樣的牌，你平均會有三次打得莊家沒主，讓你的勾扣底。當然你還得有其他考慮。如果其他三個人愁眉苦臉，那莊家有14張或更多主牌的概率很可能大於0.2482；如果其他三個人喜形於色，那莊家有14張或更多主牌的概率很可能少於0.2482。
當然也有德高望重的老者，隻求娛樂，不求輸贏。看到其他人麵紅耳赤，心中暗喜，知道自己心如止水，成佛在即。
你問的問題是：“在最多 n 次獨立試驗中，第一次成功發生在第幾次？”這是個幾何分布。
博主的問題是，“在 n 次獨立試驗中，一共成功了幾次？”這是個二項分布。
雷神公司的產能確實出人意料之外。澤林斯基說每個月產65枚（略多於每天2枚），但是這次戰爭的第一天就發射了803枚，即相當於一年多的產量。所以美國要求NATO國家增援。南韓總統李在明抱怨說美國把部署在南韓的THAAD給搬到中東去了。估計部署在台灣的都是假貨，不然也會被搬到中東去。
可以看這幅照片。
https://www.twz.com/patriot-missiles-paired-with-naval-vertical-launchers-pitched-by-lockheed
每一輛愛國者導彈發射車有 16 個排列緊密的發射筒。
每一枚導彈發射以後，都有一個巨大的錐形火龍尾巴，還四散廢部件。
如果三個發射筒同時發射導彈，三枚導彈並肩衝天，之間隻有幾厘米距離，隨機的震動和四散的廢零件大概率會使它們射出不久就會碰撞、自毀。
所以，根據常識推測，如果目的是擊中敵方導彈而不是自毀，三枚導彈同時發射不太可能。
不全是。
我的猜測是：愛國者導彈發射車分開、連續發射三枚導彈。一枚導彈射出以後，等火龍消失、空氣恢複常態，馬上就發射下一枚，而不是等到上一枚沒擊中再發射下一枚。
這樣，不會有三枚導彈並肩衝天，互撞自毀。
一枚導彈也不會鑽進上一枚導彈的火龍尾巴裏被燒掉。
我猜，三枚導彈會分別針對敵方導彈軌跡的三個不同階段，你打這一公裏，我打下一公裏，它打下下一公裏。
保護美國在波斯灣的伊朗對麵的十幾個軍事基地，加上大使館和要害部門的愛國者反導彈係統的“彈藥”出現嚴重危機。雷神公司目前的產能是每天2枚（不是開玩笑）。開戰頭兩天伊朗用老舊液體燃料導彈誘使這些愛國者係統耗盡彈藥，接著用新型導彈進攻。美國在這些基地的設施，特別是固定雷達損失慘重。。。我當然不同情伊朗神棍政權，但這場戰爭對美國沒有半點好處。如果伊朗政權不倒，老川又能夠“勝利”撤軍，那一定是虧在一般人看不見的地方。
實際上，如果抽象地討論概率，博主和新林院說的不是一回事。 博主的計算，給出了某一個事件組合發生的概率，是一個“路徑”問題； 而新林院的計算著眼於“打中”的概率，是隻談“結果”。 概念不同，不是一回事，兩者容易被誤解。
如果著眼於“打中打不中”， 那就可以簡單用 （1-q^發數）來計算， 所以兩種思路在三發導彈打中/打不中的問題上結論是一樣的，也是博主說，如果攔截成功率是85%，兩枚就可以達到97.75%的成功攔截的計算
1 - f(0) 就是至少有一枚擊中的概率 --> 97.3%
如之前導彈擊中，則再擊中概率=0，如之前導彈未擊中，基於獨立性，每發擊中概率還是=70%
2發中1發擊中的概率 = 1 - P（都沒擊中）- P（都擊中）= 1 -（1- 0.7）**2 - 0 =0.91
同理，3發中1發擊中的概率 = 1 -（1- 0.7）**3 - 0 = 0.973
我有以下分析。我不是權威，隻供討論，看對不對。
我認為：1）三發三中，2）三發兩中，這兩個事件都不可能發生。
三發裏的第一發擊中以後，敵方導彈就成了碎片，第二、第三發攔截彈就無目標可擊，所以不可能三發三中。
所以，有四個事件可能發生：（這四個事件是 mutually exclusive，而且包括所有結果，所以總概率是 1。）
（1）第一發擊中
（2）第一發沒擊中，第二發擊中，
（3）第一發沒擊中，第二發沒擊中，第三發擊中
（4）第一發沒擊中，第二發沒擊中，第三發沒擊中
假設一發攔截彈的攔截率是70%。
（1）的概率是70%。（第一發沒擊中的概率是30%）
（2）的概率是30% X 70% = 21%（第一發或第二發擊中的概率是70% + 21% = 91%。第一發和第二發都沒擊中的概率是9%。）
（3）的概率是 9% X 70% = 6.3%（第一發或第二發或第三發擊中的概率是91% + 6.3% = 97.3%。）
（4）第一發和第二發和第三發都沒擊中的概率是2.7%。
綜合到一起：第一發或第二發或第三發擊中的概率是97.3%。第一發和第二發和第三發都沒擊中的概率是2.7%。
好奇，我認為博主“三發三中、三發兩中”的事件都不可能發生，怎麽我的結果和博主的結果一樣？