隴山隴西郡

寧靜純我心感得事物人寫樸實清新. 閑書閑話養閑心,閑筆閑寫記閑人;人生無虞懂珍惜，以沫相濡字字真。

首頁文章列表博文目錄

個人資料

TJKCB

給我悄悄話

博客訪問：

數學直覺、數學思辨、數學演算: 核心

(2017-02-08 13:39:33) 下一個

數學直覺、數學思辨、數學演算是決定一個人能否運用數學解決問題的關鍵或核心。

論知識、文化與素養及能力精選

已有 6685 次閱讀 2016-10-28 09:39 |個人分類:教育改革|係統分類:論文交流

素養，尤其是核心素養是最近國內外教育界關注的熱點問題，什麽叫素養？核心素養包含哪些方麵？非核心素養又有哪些？素養與知識、能力之間是什麽關係？具體到數學教育，數學的核心素養是什麽？除了核心素養，數學還有什麽非核心素養？數學素養與數學知識及數學能力之間是什麽關係？如何在課堂教學中具體體現核心素養的培養？這些都是困擾教育研究工作者與教育工作者的問題，如果不搞清楚這些問題，所謂核心素養也隻能是紙上談兵。

何謂知識？迄今並沒有一個統一且清晰的界定，柏拉圖認為：“一個陳述能稱得上是知識必須是被驗證過的，正確的，而且是被人們相信的，這也是科學與非科學的區分標準。”

知識與文化之間是什麽關係？要解釋清楚這個關係，需要先弄清楚什麽叫文化，什麽叫思想。文化（culture）是一個非常廣泛且具人文意味的概念，人們也很難給文化下一個準確的定義。辭書與百科全書中有一個較為共同的解釋：“文化是人類所創造的物質財富與精神財富的總和。”這個解釋顯得太泛，按照這個解釋，人類創造的一切都是文化，知識、思想都屬於文化範疇。如果這種觀點是正確的，如何理解“有知識沒文化”這句話？如何理解過去我們強調的文化素質課以及今天流行的核心素養？因為文化是個“大籮筐”，一切皆文化！

關於思想的解釋相對比較明確，所謂思想，指的是客觀存在反映在人的意識中經過思維活動而產生的結果，是人類一切行為的基礎。一般也稱為“觀念”，其活動的結果就是認識。

有人認為：“知識是一種文化，文化是感性與知識的升華。”我不這麽認為，嚴格意義上講，知識是文化與思想的載體，知識是軀體，文化與思想是靈魂，知識的背後蘊藏著文化與思想，這才是知識與文化及思想的關係，換句話說，知識是死的，文化與思想是活的，麵對同樣的知識，不同的人看到的是不同的文化與思想，也可以說，不同的人對知識的理解與領悟程度是不同的。

素養是指一個人的修養，與素質意思相近，包括道德品質、外表形象、知識水平、文化素養、業務素養、身心素養與能力等各個方麵。《辭海》是這樣定義素養的：第一，修習涵養。第二，平素所供養，所以素養也叫修養。

素養與素質又有差別，素質在心理學上指人的某些先天的特點，是事物本來的性質，素養則是由訓練和實踐而獲得的技巧或能力。

既然素養是一種技巧或能力，那麽什麽叫技巧與能力？能力是決定人的活動效率，使某種任務得以順利完成的個性心理特征，是生命物體對自然探索、認知、改造水平的度量。它通常分一般能力與特殊能力，包括模仿能力、創造能力、認知能力、操作能力與社交能力等。任何單一的能力都不足以使某種活動順利地進行，通常需要多種能力的有機結合。例如教師的觀察力、判斷力、想象力、組織能力以及對專業知識的領悟力等是順利地從事教育活動必備的能力。

技巧是基本方法的靈巧運用，它屬於“方法”範疇，主要指對一種生活或工作方法的熟練和靈活運用。技巧也稱為技能，它是通過練習獲得的能夠完成一定任務的動作係統，根據其熟練程度可分為水平較低的初級技能和水平較高的高級技能。

搞清楚了知識、文化、素養及能力的基本內涵，其基本關係也就清楚了。知識是文化與思想的載體，素養是一種技巧與能力，人們可以通過知識的學習與領悟從而掌握蘊藏在知識背後的文化與思想，通過對這種文化與思想的領悟與融會貫通獲得素養或能力。這幾個要素之間的關係對於實際的教學具有重要的指導意義。

張奠宙先生認為：“數學核心素養包括真善美三個維度”，具體地說，所謂“真”即理解數學文明的文化價值，體會數學真理的嚴謹性、精確性；所謂“善”指的是用數學的思想方法分析和解決實際問題的基本能力；所謂“美”則是說能夠欣賞數學智慧之美，喜歡數學，熱愛數學。張先生是從哲學層麵上看核心素養的，他的觀點也許受到了柏拉圖的影響，不過柏拉圖關於數學與善的關係是含混不清的，懷特海在“數學與善”一文中對數學與善的關係做了比較詳細的闡述，懷特海認為，任何命題都是在特定的空間中才有意義，否則全是錯誤的，例如，一幅圖畫可能是好的，但色彩用錯了，於是善與惡的問題就產生了。張先生對於數學“善”的理解與懷特海的理解似乎有所差異。不過“真善美”屬於哲學範疇，有著太強的普適性，可以適用於任何學科。王尚誌先生的文章認為：“數學的核心素養包含六個方麵，即數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析”，這一觀點被貫徹在高中新課程標準的修訂中。這六大核心素養似乎顯得太過詳細，有麵麵俱到之嫌，除了這六個核心素養之外，還有什麽非核心的數學素養嗎？如果沒有了，所謂核心素養豈不是一個偽命題？

要搞清楚什麽是數學核心素養，首先需要弄清楚數學知識是怎麽形成的，數學教育的本質是什麽？希爾伯特說過這樣的話：“一門學科，如果能不斷的提出問題，那它就充滿活力”。縱觀自然科學、社會科學及數學的發展史，我們將會發現，任何學科都是個不斷發現問題、分析問題與解決問題的過程，理論正是在不斷地發現與解決問題的過程中逐步形成的。可以說，問題是一切科學的靈魂，也是數學的靈魂，能不能從貌似與數學無關的某些現象中發現有規律性的東西從而建立新的數學概念，發現新的數學原理，這是判斷一個人是否具有數學直覺的重要依據，這種直覺既緣於天分，也取決於後天的教育。顯而易見，一個人能不能發現有價值的數學問題的關鍵在於他是否具備數學直覺。能不能最終解決問題與兩個因素有關，一是對問題的分析判斷能力，二是邏輯演繹與計算能力。這兩者有著密不可分的關係，對問題的分析判斷往往依賴於邏輯演繹與計算。從現實中發現數學問題的例子不勝枚舉，華羅庚先生的優選法便是來自於生產實踐的典型例子。

曆史上有一個諾貝爾化學獎獲得者成功應用數學解決化學問題的例子。1985年的諾貝爾化學獎獲得者郝普特曼(Hauptman)其實不是個化學家，早在上個世紀初，化學家們就知道，當X-射線穿過晶體時，光線碰到晶體中的原子而發生散射或衍射。當他們把膠卷置於晶體的後麵，X-射線會使隨原子位置而變動的衍射圖案處的膠卷變黑。化學家們為難的是，他們無法準確地確定晶體中原子的位置。原因在於X-射線也是波，它們有震幅和相位。這個衍射圖隻能探清X-射線的震幅，卻不能探測相位。四十多年後的1950年前後，郝普特曼意識到，這件事可以轉換為一個純粹的數學問題。果然，他借助100多年前的付裏葉(Fourier)分析，找出了決定相位的方法，並進一步確定了晶體的幾何。結晶學家隻見過物理現象的影子，郝普特曼卻利用古典數學從影子來再現實際的現象。也許有些人不知道，郝普特曼一生隻上過一門化學課，即大學一年級的化學，可他卻因此項工作獲得了諾貝爾化學獎。

郝普特曼之所以能解決困擾化學家多年的問題，就在於他有著敏銳的數學直覺，能從貌似與數學無關的問題中看到別人看不到的數學。當然，如果郝普特曼僅僅看到了化學問題中蘊含的數學，而缺少對問題的分析判斷能力和邏輯演繹與計算能力，他同樣解決不了問題。因此數學知識的產生與發展，離不開這樣幾個基本要素：1、數學直覺。這種直覺體現在兩個方麵：（1）、能從現實世界或自然科學中出現的問題中嗅到數學的“味道”，從而建立兩者之間的內在關係；（2）、具有對數學問題的直覺判斷。麵對一個懸而未決的數學問題，根據經驗或初步的邏輯演繹與計算，能對問題有一個初步的直覺判斷，例如龐加萊猜想最終之所以被人們證明是正確的，正是基於龐加萊準確的直覺判斷。2、數學思辨。數學思辨包括幾個方麵的思考辨析，（1）、模式辨析，解題者需要弄清楚這是什麽類型的問題？清楚了問題的模式，也就清楚了它屬於什麽範疇的問題。（2）、方法辨析，根據問題的模式，初步判定需要采取什麽方案可能解決。在一個學科高度交叉融合的時代，這個問題顯得尤其重要，幾何問題代數化，代數問題幾何化是司空見慣的事情，有些問題通過幾何化可以幫助我們看清問題的本質，有些問題代數化可以幫助我們借助代數運算更簡便地解決，很多重要的數學問題都是通過這種方式解決的。3、數學演算。數學演算也包括兩個方麵：（1）邏輯演繹，這是解決數學問題的基本方法，無論是數學直覺與數學思辨通常都需要初步的邏輯演繹，最終解決數學問題則需要對問題深入細致的邏輯分析與推導；（2）代數運算，有些數學問題邏輯演繹就可以解決了，有些數學問題單純的代數運算也可以解決，更多的數學問題則需要邏輯演繹與代數運算協同進行才能解決。

由此可見，數學直覺、數學思辨、數學演算是決定一個人能否運用數學解決問題的關鍵或核心。

數學教育的本質是什麽？弗賴登塔爾有一個很好的闡述：“數學教育是數學的再創造”。相信絕大多數數學教育研究者與數學教育工作者都認同這個觀點。什麽叫再創造？按照標準的釋義，所謂再創造是指“相對首次創造而言。雖然不是首創,但在沒有任何幫助的情況下,依靠自己的能力,完成創造”。按照這個解釋進行演繹，所謂“數學的再創造”應該是在沒有任何幫助的情況下，依靠自己的能力，完成數學的創造。當然，對於學生而言，由於知識麵、閱曆的局限，其創造能力尚未被挖掘出來，需要在教師引導下激發其數學創造能力，從而完成數學的再創造。

基於數學教育是數學的再創造這一基本論點，數學教育應該培養的學生基本素養包括三個方麵：1、數學直覺，2、數學思辨，3、數學演算。

（未完待續）

轉載本文請聯係原作者獲取授權，同時請注明本文來自曹廣福科學網博客。
鏈接地址：http://blog.sciencenet.cn/blog-40247-1011344.html

上一篇：飛鏢與射線
下一篇：論知識、文化與素養及能力（續）

收藏分享舉報

當前推薦數：37 推薦人：李學寬 郭戰勝 晏成和 王從彥 範會勇 鄭永軍 吳飛鵬 康建 黃永義 陳小潤 張華容 劉立 鍾炳 李久煊 周忠浩 許培揚 呂喆 王林平 武夷山 李勝文 高江勇 吳斌 馬德義 李穎業 楊正瓴 jason1857 xiyu2005 taoshl liufei1234 zhangling guhanxian biofans lrx aliala bshhzai ShowAttitude ychengwei

該博文允許注冊用戶評論請點擊登錄評論 (20 個評論)

[20]zhan9don9 2016-10-30 21:09: 博主回複(2016-10-30 20:09)：; 博主回複(2016-10-30 21:48)：不妨讀一讀我新發的博文

[19]zhan9don9 2016-10-30 20:03: 博主回複(2016-10-30 09:02)：比喻有道理
老兄，不是比喻，是事實，數學就是語言，數學語言描述現象就跟普通日常語言描述現象一樣，各個行業或專業也有自己的語言; 博主回複(2016-10-30 20:09)：

[18]王林平 2016-10-30 08:48: 是真心話，我並不習慣說恭維話。尤其覺得，對真正為教育教學著想的教師說恭維話，實在不好意思！
我讀過曹老師科學網所有博文，
而且詳細讀過有關數學教學的所有文章，而且受益很多。; 博主回複(2016-10-30 09:01)：非常感謝你的鼓勵與支持！

[17]zhan9don9 2016-10-29 21:48: 數學也是一種語言，數學概念就是數學語言的詞匯，一個數學式子就是用數學語言寫的一句話，數學符號就是數學語言的文字，而且是象形語言、文字和概念，幾何就完全是象形語言文字，一、二、三也是，當然了，1、2、3也是，隻不過數學語言符號化的比較厲害，結果造成數學語言象形的來龍去脈不明顯了，其實呢，經過幾千年的變化，絕大部分漢字象形的來龍去脈也不明顯了，總之，數學是語言，而且還是象形語言，因此，數學語言和漢語漢字相似，比如，內容或含義是一切，發音不重要甚至沒關係，漢字可以用各種方言發音讀，漢字“書同文”兩千多年了，發音還沒統一，數學可以各種語言讀，對數學語言來說，發音也不重要甚至沒關係
看到了數學其實是語言，所謂數學直覺就是用數學語言描述或表達，數學論文就是用數學語言寫的藝術品，好比用漢語寫的詩詞歌賦; 博主回複(2016-10-30 09:02)：比喻有道理

[16]晏成和 2016-10-29 14:08: 我剛剛發表博文《科學素養（一）》。博主的大作讓我獲益，在此致謝。
http://bbs.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=73066&do=blog&id=1011605; 博主回複(2016-10-30 09:01)：謝謝！

[15]高江勇 2016-10-29 03:14: 這是我目前見過概括三者關係最清晰的一個！; 博主回複(2016-10-29 10:07)：還有待改進

[14]李勝文 2016-10-29 01:26: 數學教育應該培養的學生 1、數學直覺 (can't teach that 直覺(intuition) - instinct is born with. Mechanisms to identify intuition should be in place for education.; 博主回複(2016-10-29 10:07)：先天+培養

[13]XiuxianR 2016-10-28 22:51: 不重視概念、概念模糊不清是我國學科的通病。
“知識”是人對物質屬性的感知；“能力”是人對知識的應用；“素質”是人必須具有的公認的能力；“素養”也稱為“覺悟”是人主動為他人服務的能力。
例：某人知道人可以在水裏遊泳，他具有這方麵知識；但是，他不一定會遊泳，即他不一定具備遊泳的能力。人們認為水手必須是遊泳高手，會遊泳是水手必須具有的“素質”；但是水手不一定會主動下水去救落水群眾，即他對普通群眾的素養不一定高，素養具有立場性。
個人觀點，拋磚引玉。; 博主回複(2016-10-28 23:31)：部分觀點讚同！

[12]王林平 2016-10-28 17:46: 曹老師不僅是科學網下的名師，更是科學網上的名師; 博主回複(2016-10-28 23:31)：見笑了

[11]wzx666 2016-10-28 17:30: “有知識沒文化”經你這一推敲，不就說明這是頭腦一熱脫口而出的一句昏話？; 博主回複(2016-10-28 23:31)：

[10]王國強 2016-10-28 16:55: 看 Hauptman 的Noble lecture，引言中談到，直到50年代，晶體學界仍然認為不可能，即便是從原理上也，從折射強度得到晶體結構，以至於成了一個必須首先被克服的心理障礙，但這是靠對晶格結構的散射問題做細致分析而做到的。

聯想到晶體學界在準晶問題上犯的類似錯誤，在那裏，首先實現突破的是卻是實驗，Schetchman做出了其對稱性超越經典晶體對稱性類型限製的鋁錳合金準晶體。。。。。。。

感謝曹老師的文章！; 博主回複(2016-10-28 23:30)：看來我的記憶沒錯

[9]王國強 2016-10-28 16:23: 等我去看看 Hauptman 他們倆的這個例子的詳情再說。

^_^。。。。。。。。。。。。。。

[8]xlsd 2016-10-28 13:55: 好文; 博主回複(2016-10-28 14:53)：

[7]王毅翔 2016-10-28 12:33: 中庸之道是生物進化中風險最小的選擇
接地址：http://blog.sciencenet.cn/blog-2649160-1011381.html

[6]張華容 2016-10-28 12:30: 說數學素養大可不必扯上“文化”的概念。
“改開”以來，文人餘XX開了一個滿嘴跑文化的壞頭。所謂某人“有知識沒文化”的說法狗X不通。“文化”這個大概念是描述民族、社會、國家和人類的，本不應和個人關聯。無奈天朝有個假大空的壞毛病：動輒把個人等小事物生生往大事物上掛。這一來，廁所、嗜酒、假冒斯文、迷信、風水甚至裝神弄鬼等等都成了文化……; 博主回複(2016-10-28 12:38)：不是我想扯，既然有人扯就盡量扯明白點不是？