計算：圍困莫斯科的德軍真可看到克裏姆林宮嗎？

計算：圍困莫斯科的德軍真可看到克裏姆林宮嗎？

黛綠年華

問題一：克裏姆林宮中最高的建築物伊凡大鍾樓高81米。假設：天氣晴朗，周圍數十公裏內都是極平坦的平原，並且沒有一個三層樓以上的建築物遮擋視線。問：站在81米高的伊凡大鍾樓尖頂處遠眺，能看到的最遠處，距離伊凡大鍾樓有多遠？

問題二：1941年12月初，德軍先頭裝甲部隊前進到距離克裏姆林宮不到32公裏的地方。假設：完全如同問題一。問：德軍將軍們在距離克裏姆林宮32公裏的地方登上鍾樓，是否真的可以遠眺克裏姆林宮？

其實這兩個問題屬於同一個極其簡單的平麵幾何學的問題。

我們可以把海洋，或者小範圍平原看成是規則的球麵。

這樣，如圖所示，上述問題可以簡化為：在以地球球心為圓心，地球半徑（R=6371.004千米）為半徑的圓周上，從高度為H的觀察點A，作圓的切線，得切點即目標點B。問線段AB的長度L是多少？其實將A作為目標點，將B作為觀察點，計算方法也是完全一樣的。

          

圖. 以地球球心為圓心，以地球半徑R為半徑的園上，高度為H的觀察點（或目標點）A，至切點即目標點（或觀察點）B之間AB線段的長度L，代表能觀察到目標點的最遠距離。

現在，A點代表81米高的伊凡大鍾樓頂點。切點B代表從A點能看到的最遠處；或者反過來，A點代表81米高的伊凡大鍾樓頂點。切點B代表德軍能看到A點的最遠處。結果是一樣的。

因為AB線是園的切線，OB線是園的半徑，所以∠ABO是一個直角，在ΔAOB中，

AB²=OA²-OB²              (1)，即:

L²=(H+R)²-R²=H²+2HR      (2)，H²遠遠小於2HR，故可忽略

L=(2HR)^1/2               (3)

將R=6371.004千米，H=0.081千米，代入方程（3），得：

L=(2HR)^1/2=(2x0.081x6371.004)^1/2=32.126千米

這就是說，在距離伊凡大鍾樓32.126公裏的地方，德軍即使蹲在地上都可以看到這座81米高的大鍾樓尖頂。德軍如果登上高塔，則更可以看到克裏姆林宮中的建築物。

如果我們知道德軍在距離克裏姆林宮32公裏的地方，登上高塔後眼睛與地麵的距離，我們還可以計算出德軍可以觀察到伊凡大鍾樓從尖頂往下直到何處。此處從略。

利用方程（3），我們可以計算出不同“身高(H)”的人站在一個平坦開闊的平原上極目遠眺，可以看多遠（L）。這裏“身高(H)”是指眼睛到地麵的垂直距離，2R=12742008米：

“身高(H)”=1米：L=(1x12742008)^1/2=3570米

“身高(H)”=1.75米：L=(1.75x12742008)^1/2=4722米

“身高(H)”=2.3米：L=(2.3x12742008)^1/2=5414米，等等。

---（黛綠年華）

 

[黛綠年華]

回複megchen的評論: Thanks for your comments! Mathematics is actually in our daily life.

Wishing you to be happy in the new week.

[megchen]

This is very interesting...when I watched 6 hours long former Soviet movie about that war, I have never thought of this. Thanks for sharing...

[黛綠年華]

回複xwenxuecityy的評論:

謝謝閱評！其實數學是非常有趣的學科，鑽研起來，其樂無窮！祝好！

[xwenxuecityy]

過去有本“趣味數學”， 是一個俄國醫生寫的，就有類似問題。比如，軍艦開到別國海域，隔海岸多遠，岸上的敵人才看不見啦。 坐火車時，怎麽計算火車速度啦。等等。

[黛綠年華]

回複Green_sky的評論:

Thanks for your appreciation! Have a good day!

[Green_sky]

I often ask my son to have a habit of trying to translate a real world problem to math problem. This is a good example.