學數學

　·國平·

兒子今年上小學四年級。由於他不讓我在家教他數學，我隻好將他送到一所中文學校上周末數學提高班啦。正好，他老師是一個心平氣和的中國太太，和我也比較熟。教材是給新加坡六年級學生用的，比美國六年級的數學教材難很多。

一天，他拿來一道家庭作業讓我幫忙。我習慣性地大叫一聲：

“你怎麽搞的？連這麽簡單的題都不會做啊。”

“那你試試看！”兒子反駁道。

我拿起那道題一看，發現它果然不簡單：“一個正方形ＡＢＣＤ，邊長為１。分別以Ｃ和Ｄ為圓心做單位園相交於正方形內的點Ｅ。試計算線段ＡＤ，弧形ＡＥ和ＤＥ所圍圖形的周長和麵積。”

周長還好辦，隻要用對稱性即可。麵積可讓我頭疼啦，我左思右想也找不到一個比較簡單的辦法。最後，我不得不用初中平麵幾何和勾股定理的知識才找出了答案。另我吃驚的是，答案中有根號。於是，我趕緊給他老師打電話問究竟：

“這道題不適合小學生做。原因是答案中有根號，而小學生是根本不懂根號的。”

“你說得不錯。已經有幾位家長打電話來抱怨這道題太難，連他們都做不來呢。”她心平氣和地回答說。

“這麽難的題目以後還是少布置吧！”我笑著建議說。

“不行啊！要是題目太簡單了，家長也會抱怨。”

“在美國做數學老師真難啊！”我深有體會地附和著她。

“班上有些小孩才上三年級，上我這門課很吃力。可是，他們的家長硬要逼著他們上啊。”

“這不是拔苗助長麽？”我反問道。其實，我兒子本來也該上三年級的。

掛掉電話後，我思緒萬千。我住在德州一個大都會，華人有十幾萬。這兒的華人家長對數學和鋼琴熱情如火。他們自己的音樂細胞都不多，好像要從孩子身上補回來似的。他們的數學細胞不少，好像要從孩子身上找出來似的。每次數學競賽都像一次華人大聚會。小孩在裏麵輕鬆地比賽，家長們則站在外麵緊張得拚命聊天。當宣布成績的時候，要是自己的小孩得了獎，平時不善親待孩子的父母也會跑過去笨拙地親著小孩。要是自己的小孩沒有得獎，父母會拉著小孩趕緊溜掉，怕熟人問起來丟人。

我不大敢帶小孩去參加華人舉辦的數學競賽。我太想讓他們贏，偏又怕他們輸。我對他們的期望太高，所以往往會失望。我平時講究紳士風度，從不對人發脾氣。不過，一牽涉到數學，我就會變得粗魯和粗暴。我一直想自己教兩個小孩學數學，但效果都不大理想。要麽小孩不聽我的，要麽我把他們罵得大哭。我的口頭禪是： “你們怎們這麽笨啊？”我常常教訓他們：“我象你們這麽大的時候早就會做這種題啦。”　其實，我在給別人輔導數學的時候，脾氣和態度可好啦。也許是錢在作怪吧。教自己的小孩不但不賺錢，反而要賺氣啊。也許是我的愛心不夠吧。畢竟，我極少擁抱他們，也極少對他們說：“我愛你！”總之，我一生無法跳出數學這個坎。數學是我一生的鳳，數學是我一生的洞，數學是我一生的夢，數學是我一生的痛。

數學作為一種職業還是近代的事。隨著十六世紀大專院校在歐洲的湧現，數學變成了一種高貴的職業。其實，早期的數學家很多都是業餘的。他們大多是富家子弟，都喜歡玩弄比少女還純潔的數學。

對數的發明者約翰·納皮爾（１５５０－１６１７）出身於英國一個貴族之家，是Ｍｅｒｃｈｉｓｔｏｎ城堡的第八代傳人。他一生榮華富貴，未曾有過正式的職業。他年輕的時候正值歐洲掀起宗教革命。他寫了大量的文章攻擊舊教（天主教），成了赫赫有名的神學家。當天主教的西班牙揚言要派無敵艦隊攻打英國時，納皮爾開始研究兵器（包括炮、裝甲馬車、潛水艇等）。雖然在他的兵器製成以前，英國已把西班牙的無敵艦隊擊垮，他還是成了英雄人物。

他利用業餘時間研究數學，以發明對數運算而著稱。那時，天文學家們做了很多的觀察，需要算幾個數的連乘，因此苦不堪言。１５９４年，他發明了對數方法，從而解決了天文學家的難題，這讓他在數學史上占據了很重要的一席之地。此外，他還發明了納皮爾尺。這種尺子可以機械地進行數的乘除運算和求數的平方根。

費馬（１６０１－１６６５）堪稱“業餘數學家之王”。他出生在法國一個貴族家庭，上大學的時候選了當時最時髦的法律專業。他大學尚未畢業便買好了“律師”和 “參議員”的職位。畢業後，他很順利地當上了圖盧茲議會的議員。以後幾年，他官運亨通，越做越大。然而，費馬沒有什麽領導才能，其官場生涯沒有什麽突出政績。不過，費馬從不利用職權向人們勒索、從不受賄、為人敦厚、公開廉明，贏得了人們的信任和稱讚。

對費馬來說，真正的事業是數學。他通曉法語、意大利語、西班牙語、拉丁語和希臘語。語言方麵的博學給費馬的數學研究提供了語言工具和便利，使他有機會真正了解阿拉伯和意大利的代數以及古希臘的數學。在數學上，費馬不僅可以在數學王國裏自由馳騁，而且還可以站在數學天地之外鳥瞰數學。

費馬一生從未受過專門的數學教育，數學研究隻不過是他的業餘愛好罷了。然而，他是公認的有史以來十位最偉大的數學家之一。他是解析幾何的發明者之一，概率論的主要創始人。他是數論的絕對權威，對於微積分的貢獻僅次於牛頓、萊布尼茨。

１６３７年，費馬提出了著名的費馬大定理：“不可能把一個整數的立方表示成兩個立方的和，把一個四次方冪表示成兩個四次方冪的和，一般地，不可能把任一個次數大於２的方冪表示成兩個同方冪的和。”他在一本書的下麵作了批注：“這個定理的證明太簡單以致我不想在此浪費筆墨去證它。”正是這個費馬大定理讓數學家整整忙了３５０年才證明了它是對的。

德國數學家哥德巴赫（１６９０－１７６４）也是業餘數學家。他曾在英國牛津大學學法學，後來對數學產生了濃厚的興趣。畢業後，他改做了中學數學老師，並利用業餘時間研究數學。１７２９年至１７６４年，哥德巴赫與大數學家歐拉保持了長達三十五年的書信往來。在１７４２年６月７日給歐拉的信中，哥德巴赫提出了如下猜想：

（ａ）　任何一個＞＝６之偶數，都可以表示成兩個奇質數之和。

（ｂ）　任何一個＞＝９之奇數，都可以表示成三個奇質數之和。這就是著名的哥德巴赫猜想。其中，（ａ）的簡稱為“１＋１＝２”。

歐拉在６月３０日給哥德巴赫的回信中說：“我相信這個猜想是正確的，但卻不能證明它。”２００年過去了，還是沒有人能證明它。哥德巴赫猜想由此成為數學皇冠上一顆可望不可及的“明珠”。人們對哥德巴赫猜想的熱情經久不衰。世界上許許多多的數學工作者和數學愛好者做夢都在想證明它呢。

數學奇才伽羅華於１８１１年誕生在拿破侖帝國時代，經曆了波旁王朝的複辟時期，又趕上路易？腓力浦朝代初期。他從小就顯示了傑出的數學才華，中學尚未畢業他就寫了一篇關於群論的論文，並提交給了法國科學院。審稿人是當時法國最傑出的數學家柯西。然而，柯西因為種種緣故將伽羅華的手稿弄丟了。１９２８年他中學畢業後，進入了師範大學學數學。第二年，他寫了一篇重要文章，並將手稿交給了法國科學院常任秘書傅立葉。然而，傅立葉收到伽羅華手稿後不久就去世了，因而伽羅華的文章再次被遺失了。

在師範大學，伽羅華參加了當時最激進的的秘密組織“人民之友”，並發誓：“我願意用自己的生命喚起人民的覺醒。”他揭發了校長吉尼奧對法國七月革命政變的兩麵派行為，因而被開除了學籍。之後，他進一步積極參加政治活動。１８３１年５月ｌ０日，伽羅華以“企圖暗殺國王”的罪名被捕。由於“人民之友”的解救，伽羅華被宣告無罪當場獲釋。同年７月，伽羅華組織參與了國慶示威，再次被抓進監獄。在監獄中，他度過了２０歲的生日。伽羅華一方麵與官方進行不妥協的鬥爭，另一麵還抓緊時間刻苦鑽研數學。盡管牢房裏條件很差，生活艱苦，他仍能靜下心來在數學王國裏思考。

ｌ８３２年３月１６日，伽羅華再次獲釋了。不久，年輕氣盛的伽羅華為了一個舞女，卷入了一場“愛情與榮譽”的決鬥。伽羅華深知對手的槍法很好，自己難以擺脫死亡的命運，所以連夜寫好了遺言：“我請求我的愛國同胞們，我的朋友們，不要指責我不是為我的國家而死。我是作為一個不名譽的風騷女人和她的兩個受騙者的犧牲品而死的。我將在可恥的誹謗中結束我的生命。”

接著，他把自己生平的數學研究寫成論文手稿。他幾次在紙邊空白處寫上“我沒有時間，我沒有時間。”他在黎明之前那最後幾個小時寫出的東西，足以讓世世代代的數學家們忙上幾百年。他不廢吹灰之力就解開了那個折磨了數學家達幾個世紀之久的謎：在什麽條件下代數方程是可解的。他開拓了一個嶄新的數學理論“伽羅華群論”。作為這個理論的推論，可以得出五次以上一般代數方程根式不可解，以及用圓規、直尺三等分任意角等結論。

１８３２年５月３０日清晨，伽羅瓦在“決鬥場”與他的對手相遇。伽羅瓦倒下了，腸子被射穿。伽羅瓦臨死前，他的弟弟流著淚趕到了。伽羅瓦努力安慰他的弟弟：“不要哭，”他說， “我需要我的全部勇氣在２０歲時死去。”他帶著對數學的鍾愛、對革命的憧憬、對女人的渴慕離開了人世。他研究數學前後還不到五年，卻足以躋身於有史以來十位最偉大的數學家之列。

在中國古代，數學屬於旁門左道，所以研究數學的人很少。《九章算術》是中國古代為數學發展做出的最傑出貢獻。《九章算術》是中國古代數學專著，承先秦數學發展的源流，進入漢朝後又經許多學者的刪補才最後成書，這大約是公元一世紀的下半葉。它的出現，標誌著中國古代數學體係的形成。

《九章算術》共收有　２４６個數學問題，分為九章。分別是：方田、栗米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股。《九章算術》在算術方麵的主要成就有分數運算和比例問題；在幾何方麵的成就包括麵積和體積計算；在代數方麵的成就主要有一次方程組解法、平方、立方、一般二次方程解法等。“方程”一章還在世界數學史上首次引入了負數及其加減法運算法則。

中國古代對數學的另一貢獻是關於圓周率的計算。三國時期，劉徽提出了計算圓周率的科學方法－－“割圓術”。他用圓內接正多邊形的周長來逼近圓周長。劉徽計算到圓內接９６邊形，求得π＝３.１４，並指出：內接正多邊形的邊數越多，所求得的π值越精確。祖衝之（公元４２９－５００年）在劉徽的基礎上，經過刻苦鑽研，反複演算，求出π在３.１４１５９２６與３.１４１５９２７之間。

中國古代對數學的貢獻還有中國剩餘定理。公元前後的《孫子算經》中有“物不知數”問題：“今有物不知其數，三三數之餘二，五五數之餘三，七七數之餘二，問物幾何？”答為“２３”。明代數學家程大位在其《算法統宗》裏用口訣：

三人同行七十稀，五樹梅花廿一隻。

七子團圓月正半，除百零五便得知。

這個口訣的意思是：把用３除所得的餘數乘以７０，加上用５除所得的餘數乘以２１，再加上用７除所得的餘數乘以１５，結果若是比１０５大，就減去１０５的倍數，便得所求的數。

然而，號稱中國古代第五大發明的的科舉考試從來就不考數學。科舉考試從隋代開始建立，直到清末才廢除，曆經一千三百多年。沒有數學，中國照樣發展，唐朝的中國更是世界上最發達的國家。

中國對數學的頂膜崇拜隻是３０幾年前的事。那時，中國剛結束十年動亂，剛恢複高考。中國發現自己在科技方麵遠遠落後於西方國家，想迎頭趕上，最佳突破口就是數學。數學不需要資金，不需要設備和儀器，更不需要實驗室，隻要一支筆、一張紙即可。那時，中國媒體大樹宣傳數學家華羅庚、陳景論、楊樂，張廣厚，蘇步青、穀超豪、潘承洞、王元等。徐遲的報告文學《哥德巴赫猜想》更是將數學推到了頂峰。一時間，陳景潤在中國變得家喻戶曉。大家奔走相告“陳景潤啃著幹饅頭，證著一加一等於二，草稿紙都堆成了一座山。”陳景潤這種刻苦鑽研數學的精神激勵了無數熱血青年學數學。之後不久，從江西贛州又傳來了數學神童寧泊打著手電躲在被窩裏學數學的佳話。數學一下子變成了第一熱門。

中國國內現在仍然崇尚數學，從小學開始就有各種各樣的數學培訓班和數學競賽。其中，難度最大的比賽要數“小學奧林匹克數學競賽”，簡稱奧數。市麵上各種各樣的奧數複習書籍讓家長直恨自己出生太晚了。有一次，記者拿著一道奧數題“問１、２、３、２、３、４、３、４、５、４、５、６……前５００個數的和是多少？”去問菲爾茨獎（數學界的諾貝爾獎）得主安德烈·奧昆科夫，竟然難倒了這位世界著名的數學家。這位數學大師說他從來沒上過奧數，也不理解中國小學生拚命學奧數的做法。他認為那些太難、太刁鑽的題目，很可能傷害了孩子們學習數學的興趣。

無獨有偶，世界著名數學家、美國哈佛大學數學教授丘成桐也反對奧數。這位獲得過菲爾滋獎的華人數學家這樣評價奧數：“奧數題都是事先有答案的題目，隻不過讓學生鑽更多的套去找到那個答案，這沒多大意義。真正有價值的，是從沒有答案的現實中發現問題，然後運用數學知識去解決問題。”丘教授在浙江主辦了一個新型的數學競賽，要求學生組成研究小組，自己到生活中去發現問題，然後用學過的數學知識來解決它。這種沒有現成答案的競賽方法，就與奧數競賽完全不同，實際上是讓學生學會提出問題和解決問題的科研方法。

其實，美國的數學競賽名目也很繁多。美國小學也有奧數，初中有Ｍａｔｈ　Ｃｏｕｎｔ，高中則有ＡＭＣ１０，ＡＭＣ１２，等等。美國的小學奧數有些題目也能難倒大數學家，比如這道題：“將２７個單位正方體膠在一起組成一個邊長為３的大正方體，再從上往下、從左往右、從前往後各挖掉中間那個小正方體。如果你將這個被挖心的大正方體泡到一個漆桶，問：總共有多少表麵積被油上了漆？”不過，美國很少辦培訓班，也鮮見複習書籍。美國一切順其自然，一切依著小孩的興趣，家長極少逼小孩參加數學比賽。美國人普遍不愛數學，不少有識之士都在為美國的數學危機而擔憂。前聯儲主席格林斯潘曾經有一番驚人的論斷：“美國時下的經濟危機其根源是美國人的數學太差。”然而，當今世界上一流數學家大都是美國人。

筆者以為，在美國小孩要學好數學需要天分、興趣、勤奮三個要素。其實，這三個要素是相輔相成的。小孩有數學天分，就會對數學感興趣。小孩對數學感興趣，就會勤奮學數學。小孩越勤奮學數學，對數學的興趣就會越濃，學起來也就會越容易。在美國，我們既不能逼小孩學數學，因為逼得太緊會使小孩厭煩數學。我們也不能放任小孩不學數學，因為小孩的天性都很懶。另外，我們不能讓小孩越太多的級學數學，那樣會讓小孩對數學消化不良，時間長了容易學東忘西的。一般來說，越一至二級足夠了，除非你小孩真是數學神童。再說，華人弟子有相當一部分將來要學醫學和法律，花大量的時間學數學簡直就是浪費。

那麽，在美國的中國家長究竟應該怎樣對待數學呢？筆者以為，“三勵法則”可助我們過關。我們應該像美國家長學習，多鼓勵小孩。不管小孩做對了還是做錯了數學題，我們都應該為他們喝彩叫好。畢竟，用來鼓勵的話語都是免費的。小孩受到了鼓勵就會對數學感興趣、有信心。我們也應該多獎勵小孩做數學。既然小孩不可避免地要玩電腦，何不將玩電腦作為一種對學數學的獎勵辦法呢？小孩玩了一會電腦，過了一把癮，做起數學來也就更帶勁。最後，我們應該多激勵小孩學數學，告訴小孩勤奮比天分更重要。牛頓小時候並不是數學神童，但他很勤奮，發明了微積分。這樣的例子還有很多很多。

願你的小孩數學學得更輕鬆、更快樂！