板料成形過程有限元計算的發展

早在新石器時期，當人們把天然金屬砸製成薄板，再經過手工打造，加工成形為各種日常使用的物品的時候，塑性變形加工的時代就開始了。近代工業時代以前的塑性加工製品不僅包括工匠手工單件製造的餐具，裝飾品，和武器，而且還包括使用簡單模具批量生產的錢幣。

到了十九世紀，人類進入現代商品社會以後，為了大批量低成本地製造家電和汽車之類的大眾消費品，以使用壓力機生產金屬板材零件為主要特征的塑性加工才真正開始。多快好省地進行標準化的衝壓生產必須使用模具。為了保證衝壓模具準確無誤地實現其設計要求，模具工程師渴望了解金屬材料在模具裏進行塑性變形的全部細節。在大型電子計算機出現以前，人們隻能試圖分析模擬極其簡單情況下的金屬板材成形過程。從大約上世紀中葉開始，一些在軸對稱或平麵應變條件下的簡單變形問題的基於微分方程的解析方法陸續發布。它們包括圓杯形件的拉延分析，拉力下板料的彎曲和回彈分析，已及半球形件的液壓脹形，外卷邊槽形件的成型，拉伸翻邊，擴孔，起皺，軋製和壓印等問題的分析。

有限元數值方法問世以前，通過這些解析方法和基本現象學方麵的實驗研究，從事大變形塑性加工的工程師獲得了相當豐富而重要的知識。它們主要有金屬材料從彈性狀態進入塑性狀態的各種屈服理論；塑性變形的體積守衡理論；金屬材料流動的最小阻力理論；應變硬化和應變速率硬化對保持整體變形的均勻性，抵抗變形局部化的影響；厚向異性係數在深拉延中的作用；模具與金屬板材之間的摩擦與潤滑對塑性變形的影響。其中意義最重大的知識是成形極限圖的發明。

作為現代計算方法的有限元法在求解過程中大量使用數值運算，而這隻能由數字計算機來完成。有限元方法促進並且伴隨著電子計算機的發展而迅速發展。有限元方法的硬件基礎是內存不斷擴大，速度不斷提高的大規模集成電路。有限元方法軟件的理論建立在計算數學，物理,力學和計算機技術等學科綜合發展的基礎之上。在有限元方法的發展過程中，最為人們推崇的傑出貢獻者包括德國的阿奇利斯(Argyris)，他於1955年，提出能量原理和矩陣分析方法。

為了解決飛機結構應力分析，杆件結構力學中的位移法被推廣到求解連續介質力學問題. 美國的克拉夫(Clough)成功地從結構力學方法推導出剛度矩陣，所以有限元法最初也被稱為矩陣近似方法.有限元（Finite Element）這一術語也是由他最先創造出來的。金凱維奇(Zienkiewicz)於1967年出版了著名的“The Finite Element Method”一書，是有限元領域最早、最著名的專著。該書經過近40年、前後5版的不斷更新，修訂和翻譯，作為經典教材，培養了全世界幾代計算力學家，被譽為有限元方法的"聖經"。中國數學家馮康於上世紀六十年代也獨立地提出了有限元法的基本思想。

1960年代是有限元法理論和應用的蓬勃發展的時期。這些應用大多在線性彈性和結構力學等領域。有限元法首先將給定邊界條件和初始條件下的求解偏微分方程問題轉換為等價的變分方程的極值問題，再將連續的具有複雜形狀的求解區域用一係列簡單的幾何形體代替，這些簡單的幾何形體稱為單元，單元內部的位移連續性通過單元形狀函數保持。隨著求解區域劃分的不斷精細化，離散的有限元解越來越趨近於偏微分方程的精確解。

板材成型操作的特征是準靜態載荷；板材與剛性工具接觸；在接觸的過程中，板材上的材料點與工具之間的大相對移動，接觸區域及其變化的不確定性。

板料成形過程的有限元計算在20世紀70年代開始出現。山田(Yamada)研究了杯形件的徑向拉伸問題。梅塔(Mehta)和小林(Kobayashi)在假設簡化衝頭底部的邊界條件下，獲得了應變的分布以及其變化過程。小林，王能鳴 (N.M. Wang) 等人在1978年出版的論文集"板金屬成型力學"( Mechanics of Sheet Metal Forming)中, 使用剛塑性和彈塑性格式，以及無彎曲剛度的膜單元，進行了軸對稱件的液壓脹形，拉深和衝壓拉伸等問題的模擬分析。由於當時的計算機能力不足，尚無法處理更複雜的三維問題。

有限元法誕生以後，很快成為工程設計的強有力工具，在建築結構、航空、航天、船舶、核能、石油勘探等領域內解決了大量重大課題。借助於有限元法，人們對複雜問題可以精細把握，消除不必要的保守性，例如，借助有限元法進行結構設計，ASME規範的安全係數從以往的4逐步減少為1.5，由此大大節省了工程材料和造價，減輕了車輛的自重，燃料消耗和尾氣排放汙染；借助有限元法，人們可以用分析方法實現複雜過程的仿真，如汽車撞擊、金屬材料成型過程等，由此節省大量的試驗經費，減少了新車型從設計到投產的時間。

有限元法對工程技術的發展起到顯著的促進作用，拓展了塑性力學與其他學科的交融。有限元法是伴隨著計算機科學的發展而發展的，計算機軟硬件技術的飛速發展，使得用有限元法可以解決的問題的規模越來越大，問題的內涵越來越複雜，在求解有限元算法上也出現了與大型計算機相適應的各種方法，如並行算法等。有限元法本身還在不斷發展中，例如目前重要的兩個發展方向，一是多物理場耦合問題的建模與分析技術，用於解決大量相互耦合的物理非線性和幾何非線性問題，如板材的熱衝壓(hot stamping)問題；二是自適應有限元分析技術，即在給定的精度控製要求下，自動調整有限元網格的疏密度，這一點特別適用模擬金屬材料成型等大變形問題。

70年代以來，板材成型的有限元計算機模擬研究一直是一個非常活躍的領域，無論是在科研經費投入方麵，還是在論文報告發表的數量方麵，都遠遠的超過其他金屬成型領域（如鍛造，軋製，擠壓.....)。這種迅速發展的主要原因之一是因為該領域在西方工業化國家經濟中具有巨大的重要性，因而在政府的大力支持下，工業界，學術界和政府實驗室合作進行共同研究;另一個主要原因是得益於機械，材料，數值方法，計算機科學，數學，製造業多學科的合作。

九十年代以來，用於進行金屬板材成型模擬的有限元計算軟件市場，基本上被國際上幾家著名的軟件瓜分。70年代以後由大學教授以及大公司科研人員自編自用的有限元軟件，已經逐漸從實際工業應用領域淡出。

根據有限元的求解方法可以分成隱式和顯式兩種。顯式解法使用顯式時間積分格式。不存在迭代和收斂問題，最小時間步長取決於最小單元的尺寸。過多和過小的時間步長導致求解時間和解題費用增加，但最後總能給出一個計算結果。顯示算法不進行剛度矩陣的重新計算，隻在計算開始時形成一次即可。顯式解法的優點是計算量比較小，缺點是有累計誤差,問題的邊界條件和平衡狀態不一定得到滿足。

傳統的隱式求解方法是根據真實的準靜態格式和時間無關，采用的是非線性問題的牛頓迭代法，因此存在一個迭代不收斂的問題，不收斂就得不到結果。隱式算法每進行一次加載計算，都要重新計算剛度矩陣，然後進行迭代。隱式求解的缺點是計算量比較大，占用的內存很大，方程組求解需要時間很長，但是如果迭代收斂，則問題的邊界條件和平衡狀態就會得到滿足，而且沒有累計誤差。

導致隱式求解方法迭代不收斂的主要原因是"不連續性"。湯(Sing Tang)提出了四種不連續性: (1)由實際問題複雜的幾何形狀引起的幾何不連續性；(2)因為材料在變形過程中的塑性流動和彈性卸載而產生的材料不連續性；(3)材料與工具接觸點上的摩擦力反向產生的摩擦不連續性；(4)由於材料在工具表麵上發生相對較大的滑動而引起的"接觸-脫離"狀態變化帶來的接觸不連續性。

目前金屬板材成型模擬的計算已經成為衝壓模具以及工藝設計中不可缺少的關鍵環節，其中主要的四個步驟以及所用的求解方法是:

1。模具的成型工藝設計粗算以隱式解法為主(AUTOFORM)；

2。模具的成型工藝設計精算以顯式解法為主(DYNA3D)；

3。模具的回彈計算和模麵補償計算以隱式解法為主(DYNA3D/NIKE3D)；

4。模具的表麵滑動功和磨損計算以顯式解法為主(DYNA3D)。