證明剛體力學歐拉方程錯了的簡單推理

戴榕菁

今年初我找出了剛體力學的歐拉方程推導過程中的邏輯錯誤【[1],[2],[3],[4],[5],[6]】，從而證明了剛體力學的歐拉方程是有缺陷的。

但是，因為那些證明中涉及到一些繁複的數學，對於非理工背景的讀者來說讀起來會比較困難。本文將在不涉及任何數學公式的前提下，用一個簡單的推理來嚴格論證剛體力學的歐拉方程一定是錯了：

 主流學界運用中間軸定理分析賈尼別科夫效應的過程中（或者說是推導中間軸定理的過程中），得出了在外力矩為零的前提下繞中間軸旋轉的物體之微小的初始角動量偏差會（因為不穩定性）而被放大【[7]】。但是，中間軸定理是從剛體力學的歐拉方程出發嚴格推導出來的。

首先我們需要明確一點：所謂的角動量守恒律要求在外力矩為零的前提下，角動量保持不變。因此，主流學界得出的上述結果明顯打破了角動量守恒律。而這裏所涉及到的數學推導隻有這樣兩部分：1）從剛體力學的歐拉方程推導中間軸定理；以及2）從角動量守恒定律出發推導剛體力學的歐拉方程。

其中從剛體力學的歐拉方程推導中間軸定理之嚴格性在過去幾十年裏已得到反複的驗證【7】，因此我們有把握得出結論說：剛體力學的歐拉方程一定存在著缺陷。

證畢！

討論：

所謂的數學不穩定性隻不過表明在外界擾動下係統的運動不穩定而已，單純的數學操作本身隻要在推導過程中沒有出錯就不會作為數學推導的出發點的前提條件，這就好比說一個數學推導的前提條件中有X + Y = 1的話，哪怕那個推導有一萬步，隻要不出錯，其結果中就不應該有X + Y = 2。而剛體力學的歐拉方程的推導之出發點就是角動量守恒，因此，假如推導過程沒有任何錯誤的話，那麽所謂的數學不穩定性，就不會導致推導的結果違背角動量守恒。

這裏要特別注意到的一點是：被主流學界誤以為是擾動的微小的初始角動量偏差本身並不是擾動，如果沒有額外的擾動的話，從角動量守恒出發的數學操作是不應該會打破角動量守恒的，所以那個微小的初始角動量偏差就應該一直保持微小！。。。。所以，剛體力學的歐拉方程一定存在著缺陷。

結束語：

如我之前一再指出的，剛體力學的歐拉方程能夠曆經三百來年的無數次的工程實踐的檢驗表明，盡管它有邏輯（數學）缺陷，在大多數的工程實踐中歐拉方程的缺陷導致的誤差應該是小到可以忽略的程度，但是在賈尼別科夫效應這個問題上，歐拉方程的缺陷就可以導致定性的（原則性的）錯誤，而這樣的錯誤對於人類文明未來的升級顯然有著不可忽略的潛在威脅。

除此之外，之前我還提出了另一個問題【[8]】：作為一代數學大師，歐拉當時是否意識到了他的剛體力學方程存在著缺陷？

如果對於一般的人，我們的答案會很簡單：他肯定不知道，否則就不會發表帶有錯誤的結果。但考慮到歐拉是人類曆史上數一數二的數學家，也為了照顧很多人的情緒，我們不妨把問題考慮到稍微複雜一些。

雖然沒有文獻記載說歐拉知道他的剛體力學方程存在缺陷，但有文獻記載說歐拉確實是先推導了一個非常冗長複雜的剛體力學方程【[9]】，因為不滿意而放棄了，隨後才推導了現在人們所熟悉的剛體力學的歐拉方程。那個被放棄的方程如下：

既然這是世界頂級大師歐拉放棄的結果，我也就沒有象給他沒有放棄的方程那樣去查找其推導過程是否存在錯誤。不過直觀地不難看出它與歐拉後來推導的也就是我們現在所用的剛體力學的歐拉方程有很大的區別，而且從人們今天能找到上麵這個方程這一點來看，歐拉是公開發表了該方程的。

我個人猜測，歐拉之所以不滿意上麵這組方程（17），應該不會僅僅象文獻【9】中提到的那樣是因為覺得它太複雜了。。。。這兩個不同的方程組的取舍直接涉及到對錯的問題，如果歐拉認為第一個是正確的而僅僅因為它複雜就選一個錯誤的，那聽上去有些過於兒戲。但另一方麵，也許歐拉認為第一個是對的，也知道第二個是錯的，但是在對這兩組方程進行誤差分析後認為它們之間的誤差可以忽略，所以才選了比較簡單的一組----當然這隻是我的猜測。

由於既沒有文獻記載說歐拉明確認為第一個是對的而第二個（也就是現在人們所用的剛體力學的歐拉方程）是錯的，更沒有文獻記載歐拉曾經分析過這兩組之間的誤差，我也就不打算花更多的力氣驗證上麵的（17）這組還不知是對是錯而且被歐拉（不論是因為發現它是錯的還是因為嫌它太複雜）放棄掉的方程組到底是對是錯了。

但有一點可以肯定，即便歐拉當初進行過兩組解之間的誤差分析，他並沒有發表相關分析，而且他的分析一定沒有涉及到今天空間站中的微重力狀況，否則他應該知道當外力矩為零時，他最後選擇的那組解會給出定性的（原則性的）錯誤！

 

相關鏈接：
賈尼別科夫效應所牽扯的哲學複雜性

The Philosophical Complexity behind the Dzhanibeko

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【[1]】戴榕菁（2025）歐拉會犯這樣的錯嗎？

【[2]】戴榕菁（2025）找到歐拉出錯的原因了

【[3]】戴榕菁（2025）替歐拉大師說句話

[[4]]Dai, R. (2025). An Example of Violating the Conservation of Angular Momentum. Retrieved from: https://www.academia.edu/127575471/An_Example_of_Violating_the_Conservation_of_Angular_Momentum

[[5]]Dai, R. (2025). Dzhanibekov Effect --- A Smashing Challenge to the Foundation of Physics. Retrieved from: https://www.academia.edu/128364151/Dzhanibekov_Effect_A_Smashing_Challenge_to_the_Foundation_of_Physics

[[6]]Dai, R. (2025). Why Euler's Equations of Rigid Body Dynamics Are Wrong. Retrieved from: https://www.academia.edu/128498771/Why_Eulers_Equations_of_Rigid_Body_Dynamics_Are_Wrong

[[7]]Wikipedia. Tennis racket theorem. Retrieved from: https://en.wikipedia.org/wiki/Tennis_racket_theorem. Last edited on 29 November 2024, at 06:27 (UTC).

【[8]】戴榕菁（2025） 到底誰是偽科學？

[[9]]Marquina, J. E., Marquina, M. L., Marquina, V., and  Hernández-Gómez, J. J. (2017). Leonhard Euler and the mechanics of rigid bodies. European Journal of Physics, Volume 38, Issue 1, pp. 015001 (2017). Retrieved from: https://www.researchgate.net/profile/Jorge_H/publication/309366946_Leonhard_Euler_and_the_mechanics_of_rigid_bodies/links/5a4138f3aca272d294561325/Leonhard-Euler-and-the-mechanics-of-rigid-bodies.pdf