那就來聊聊數學

戴榕菁

我知道在賈尼別科夫效應這個問題上，對於某些人來說，如果不聊聊數學，你就是讓他看一萬個視頻他心裏還是不踏實，畢竟這裏涉及到了角動量守恒這個被認為是物理學基石的議題。那麽咱們就來聊聊數學。下麵是從維基上得到的對於賈尼別科夫效應的穩定性的數學分析的基本方程式【[1]】：

方程組（1，2，3）是著名的歐拉方程，其中I₁，I₂，I₃是物體的主慣性矩且被假設為

I₁ < I₂ < I₃

ω₁，ω₂，ω₃是沿著三個主軸方向的角速度分量，是三個主軸方向的角加速度分量。

他們的分析的第一步就是將上麵方程組的(1)式對時間求導並將(3)式中的代入求導的結果從而得到：

(4)

因為I₁ < I₂ < I₃，所以(I₃ - I₂)( I₂ - I₁) > 0        

由(4)式他們得出結論說，隻要一開始的時候ω₁有一個非常小的值，就有一個大於零的值，也就是說會越來越大。

這裏要注意這樣兩點：

1）歐拉方程組（1，2，3）的前提條件非常明確：沒有外力。這使得我在前文“再聊聊賈尼別科夫效應”【[2]】中對於不存在外力的討論顯得多餘了。

2）從前麵的(4)式可以看出，這並不存在一個奇異點的問題，因而按照（4）我們是可以算出的不斷增大的值的。但是

3）我們再來看下麵兩個視頻：

https://www.youtube.com/watch?v=Xrf1HzFJ8jc&t=27s

https://www.youtube.com/watch?v=1x5UiwEEvpQ

從上麵兩個視頻可以明顯看出的ω₁方向在來回的翻轉中是不斷變化的，也就是說不可能是沿著一個方向不斷增大的。而(4)式中除了ω₁之外都被假設是不變的，因此隻要ω₁的初始值大於零， 就總是大於零的。。。。由此可見，在太空站中的實際的賈尼別科夫效應運動與（1，2，3）方程組所描述的運動相去甚遠！

討論

對於滿足於所謂的穩定性分析結果的人看了上述分析之後一定會說：(4)式樣說明了物體沿著最小慣量軸的加速度會不斷增大，從而會使ω₁大到能翻轉的程度就行了，不必繼續給出翻轉後的運動是什麽樣的了。

但問題是，如果你相信歐拉方程可以準確地描述太空站中的賈尼別科夫效應運動，你有什麽理由告訴我們物體的實際運動會不符合(4)式的描述？

其實，如果你說太空站中的賈尼別科夫效應運動是在ω₁可以不斷增大這點上滿足歐拉方程，開始翻轉後的運動就不需要滿足歐拉方程，你等於在說太空站中的賈尼別科夫效應運動打破了角動量守恒----這是因為歐拉方程等價於角動量守恒，如果你沒有特殊的理由，就不能說ω₁大到一定程度之後就可以不滿足歐拉方程了。

結束語

現在想想，也難怪被西方譽為當代最偉大的數學家之一的陶哲軒會用內力來解釋太空站中的賈尼別科夫效應運動的總角動量的變化。。。。其實，本文所引用的據說是已經有將近兩百年曆史的分析其實質就是用內力來解釋----因為它的出發點就是假設沒有外力。

但是，我們知道牛頓定律的最基本的一個結論就是在沒有外力的前提下，物體的總角動量是不會變的。

歐拉方程是我在北航讀大學時的理論力學課上學習的（那時候賈尼別科夫還沒有發現他的效應呢），剛才為了寫這篇文章又重新複習了一遍它的推導，並沒有發現什麽問題。。。。當然，以大數學家歐拉的名頭來說，我們似乎也不應該懷疑它有什麽問題。

但另一方麵，本博客之所以如此地要在太空站中的賈尼別科夫效應運動這個問題上冒觸犯角動量守恒之大不韙而固執地叫真，最主要的是實在無法從所有現有的視頻中看出在物體翻轉過程中的總角動量可以在任何意義上等價於最初的角動量。。。。

不論你怎麽說最初隻要有一點點沿最小慣量軸的角速度，歐拉方程就能讓它變得很大，哪怕你說破了天，隻要你的前提假設是沒有外力矩，那麽在包括翻轉在內的整個運動過程中總角動量就不能變！！！因為隻要它一變就打破角動量守恒！

但是，你們誰能看出下麵這個視頻中的總角動量是守恒的：（？？？）

https://www.youtube.com/watch?v=Xrf1HzFJ8jc&t=27s

其中最明顯的一點是在沿著中間慣量軸的轉動方向相同大小基本相同的前提下，沿著最小慣量軸的翻轉方向可以一會兒保持不變一會兒完全相反，根本沒有定數-----這根本不可能保持總角動量不變！！！

 

 

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[[1]] Wikipedia. Tennis racket theorem. Retrieved from: https://en.wikipedia.org/wiki/Tennis_racket_theorem. Last edited on 29 November 2024, at 06:27 (UTC).

【[2]】戴榕菁（2025）再聊聊賈尼別科夫效應