慕容青草的博客
哲學園地
戴榕菁
1. 關於標題的解釋
原本想用“揭密薛定諤方程的推導”為本文的標題，意思是想要揭示薛定諤在他的諾貝爾獲獎文章中所給出的對他的那個後來成為量子力學之基礎的方程的推導之真相。後來轉念一想，既然人家自己在獲獎文章中沒有明說，縱然我這裏將要演示的確實是薛定諤當初的思路，我也不能用“揭密”這個詞，因為要說揭一個與人家本人的陳述相悖的密多少是帶有對當事人不恭敬的味道，更何況這裏的當事人早已不僅僅是薛定諤本人那麽簡單了，至少諾貝爾委員會也應該算是當事人吧，說薛定諤方程是推導不出來的但卻真實反映自然的費曼也一定算是當事人吧，再往大了說，1926年後的整個20世紀物理學界都應該算是當事人吧。所以，我決定用“探秘”而不是“揭密”。
說到這裏，且不說我所揭的或探的正題是什麽，有讀者可能已經對上麵提到的“揭密”一詞感到別扭了，因為按照中文詞典上介紹的一般用法，人們會說“揭秘”而不是“揭密”。不過我上麵之所以提到“揭密”而不是“揭秘”的原因也正是我決定用“探秘”而不是“揭密”的原因------雖然“秘”與“密”兩個字合在一起組成的“秘密”指的是不為人知的事，但“秘”指的是自然的，而“密”指的人們刻意為之的。我原本想用“揭密”正是因為我隱隱地感覺這背後似乎有作者刻意為之的影子。。。。這種刻意為之的影子才是近一百年後我們有必要討論它的真正意義；但也正是“密”字所帶有的刻意為之的意思讓我感到“揭密”一詞過於帶有誅心的味道了。人家費曼說的多圓滑呀：薛定諤方程是不可能按照任何一個已知的知識推導出來的，但它是正確的。盡管我最多隻能在近似的意義上接受費曼所下的“正確”的論斷而無法將他的論斷照單全收，我也還是覺得應該參考一下這位以說出“shut up and calculate”這句明顯反哲學的武斷的名言著稱的費曼在評論薛定諤時表現出來的語言技巧呀。
但是，如果讓我將“揭密”改為“揭秘”我又實在改不下去，因為那就不是技巧的問題了而是要我承認這背後一定不存在當事者刻意而為的問題了。就算我沒有資格斷定當事者一定是刻意而為，我也同樣沒有資格斷定他一定就沒有刻意而為。所以最後選定“探秘”這個詞。既然是“探”，那麽到底是自然的還是當事人刻意而為的就不重要了。盡管在下麵的討論中為了方便我仍要假設我知道薛定諤的某些做法的目的，讀者盡可以把我的討論看成是在說李定諤或楊定諤而不是薛定諤。
2. 問題的背景
十多天前我在“戲劇性的薛定諤”【[1]】一文中對薛定諤在他獲得諾貝爾獎的那篇文章【[2]】中所介紹的他的舉世著名的方程之推導過程進行了討論。在討論的過程中有一個細節特別引起了我的注意，那就是薛文中的第（13）式：
這（13）式明顯就是著名的德布羅意獲得諾貝爾獎的波長公式。但問題是：正如薛定諤在他的文章明確地宣稱的他在推導過程沒有用到相對論，而如我在2023年【[3],[4]】已經一步步地詳細指出的，假如德布羅意當初沒有用到相對論，那麽他的波長公式就不會是如上麵所示的薛文的（13）式的結果，而會是：
λ = 2(v2/c2) h/p = 2(v2/c2) h/mv (*)
也就是說，假如薛定諤的推導是在邏輯上嚴格的而且沒有用到相對論，他根本就不可能得出上麵的（13）式，而應該得出上麵的（*）式。
不僅如此，我們還可以注意到薛文的（11）式是：
這（11）式正是著名的愛因斯坦-普朗克光能公式，是愛因斯坦獲得諾貝爾獎的公式。
薛文聲稱該文的（11）和（13）都是從下式按照正常的邏輯推導自然地得出的：
但是，如我上麵提到的，他居然能在沒有用到相對論的前提上得出隻有用到相對論才能得到的結果，這讓我感到他的那個所謂的推導不是從那個連單個質點在引力場中的自由落體運動都無法滿足的（3）式（參見【1】）出發的，他應該是從在他的那個年代已經非常著名的（11）式和（13）式出發倒著推出那個沒有人能正常得出的（3），然後再從（3）式出發貌似正常推導地敘述到（13）式，然後再接著進行他後麵的討論的。
3. 倒推薛文的出發方程（3）
那麽我們來看看是否可以通過一般的科研的手段來從（13）及（11）推出（3）呢。
首先，假如我們有一個波函數如薛文的（9）式表示的為：
那麽我們從（9）式可以直觀地看出薛文中表達頻率ν的（10）式以及薛文中極為關鍵的（4）式：
和
在（10）中，我們隻要令K = h/2π，就可以如薛定諤在文中宣稱的那樣很自然地得到上麵的（11）式了，然後再用（11）式和下麵將要得出的（6）就可以得到（13）式了。
所以，從（11）式和（13）式出發，隻要對正弦函數的特點以及課本上對於求解哈密爾頓偏微分方程的標準形式有所了解，就可以想到去嚐試用（9）式作為Peter Debye教授在薛定諤所做的德布羅意波的講座上要求薛定諤得出的波動方程【[5]】的解。
但另一方麵，從粒子動能的基本表達式
出發，並假設E為總能量，V為勢能，m為質量，我們可以得到薛文中的（8）式：
在接下來的一步中我們可以毫無邏輯地假設：
同樣我們也可以寫出關於py和pz的類似的表達式。
上麵的（2）與（7）式都是薛文中的等式，但顯然我們由（2）能夠合邏輯地得出的應該是
∂W/∂x = m? - ∂V/∂x + 常數，
而不是上麵的（7）。但薛定諤就愣是既給出了（2）式又寫出了（7）式，並聲稱這是眾所周知的，而諾貝爾獎委員會看來也okay，所以我才在上麵說“在接下來的一步中我們可以毫無邏輯地假設”。
另外，如我在【1】中指出的，薛文中給出的上麵（4）式原本是教科書上求解哈密爾頓偏微分方程的標準解形式，隻不過作為一般的數學方程，E並沒有特殊的意義。薛定諤將（4）作為他的那個誰也推不出來的（3）式的解時有這樣兩個基本的問題：
1） 薛定諤將E稱為總能量，是一個常數，S是x, y, z的函數。但問題是：如果E是總能量，那麽我們應該有E = T + V，從（4）我們就應該有：∂W/∂t = ? (T + V )。但是，根據（2）我們卻有∂W/∂t = T - V。
2）盡管（4）是哈密爾頓偏微分方程的標準解形式而且（3）的解也確實可以表達成（4）的形式，但這絲毫不能說明（3）就是標準的哈密爾頓偏微分方程，更不能說明（3）可以用來求解諸如單個質點在重力場中的自由落體運動的問題。
但不管怎麽說，用（4）式和（9）式我們可以得出（11）和（13）；相應地，上麵由（11）和（13）反向猜出（4）式和（9）式也屬於包括物理學在內的科學研究中常有的試解的方法，沒什麽大毛病。
在承認（4）式中的E就是總能量的前提下，由（4）和（7）我們可以推導出那個被薛定諤稱作是哈密爾頓偏微分方程但實際並不是哈密爾頓偏微分方程而且沒人能給出其真正推導的（3）式來。
接下來，因為在任意時刻t我們都有 |grad W|2 = (∂W/∂x)2 + (∂W/∂y)2 + (∂W/∂z)2，所以（3）可以被改寫為：
∂W/∂t + |grad W|2 /2m + V(x,y,z) = 0,
而由（4）我們可以得到：
∂W/∂t = -E
將上麵兩個式子結合一下便得到薛文中的（5）式：
（5）在薛文中是非常關鍵的一個式子。薛定諤正是用（5）來將粒子動力學與波動聯係在一起的。接下來的一步是重複薛定諤的（正確）敘述：
對於任意一個給定的時刻t，空間中的任意一個函數W可以表達為一組其值為W的值（例如W0）的曲麵。但另一方麵，我們可以從W0開始任意一組其值為W的空間曲麵來得到（5）式的解。這是因為我們隻要假設W0的某一邊的W值為正，在W0上的這一邊的每一點的法線上取長度為：
這樣得到的所有的點的值顯然是W0+dW0。依次下去便可得到在給定的t瞬間的所要的整個曲麵係統。
由（4）可以看出，當時間改變時，上述曲麵係統是不變，隻是W的值沿著曲麵的法向以下麵的速度傳播：
這裏薛定諤應該是用u = dn/dt 得出（6）的，隻不過他把負號略去了，因為u隻是相速度。
在得到薛文中的方程（6）之後，我們可以按照薛定諤的思路來考察普通的波動方程：
運用求解偏微分方程的最常用的變量分離法可以得到對時間變量的常微分方程（仍延用上麵的ψ符號）：
將上式與（6）代入（15）得到對空間的偏微分方程（仍延用同樣的ψ符號）：
這就是薛定諤獲得諾貝爾獎的著名方程，也是作為量子力學的基礎的薛定諤方程的各種版本的最基本的版本。
4. 討論
1）盡管上麵的推導過程既不是大家所熟悉的老師上課演示的推導方式也不是任何一門理科考試中所允許的推導過程，我上麵演示的各種猜解或試解卻是科學研究尤其是物理學研究中非常常見的正常的手段。。。。隻不過其中混雜了一些正常研究中按理說不被允許的步驟，比如薛定諤用“眾所周知”這麽一句話就給出那個（7）式的做法就不但不眾所周知而且存在邏輯問題。
我上麵的反推的目的是要向讀者演示，假如站在當初薛定諤的位置上，我們如何可以根據當時已經獲得諾貝爾獎的（11）和已經很著名的（13）式來完成Peter Debye教授給薛定諤提出的推導能夠滿足（11）式和（13）式的波動方程的任務。
我知道很多讀者可能一上來會覺得上麵的討論有些吃力，但對於感興趣並熟悉自然科學領域的研究的讀者來說，我相信隻要稍微花些力氣還是能夠從上麵的討論中看出這樣的脈絡：雖然在薛定諤之後沒有人能夠按照薛定諤的文章【2】中給出的思路推導出他文章中的（3）式來，我們卻可以從我上麵的討論中比較清晰地看出薛定諤當初很有可能是從愛因斯坦已經獲得諾貝爾獎的（11）式與德布羅意的已經成名的（13）式反向湊出（3）式來，然後再聲稱是從（3）式出發得出後麵的結果的。。。。為了維護大咖薛定諤的名聲，大家不妨把我這裏所說的當作是在講李定諤或楊定諤。
2）實際上，從我在文章【1】的討論中我們已經可以看出，薛文中的（2）式的存在不但是多餘的，而且還會直接導致邏輯矛盾。即便是將（2）式中的T – V 換成 T + V，仍然會導致個種矛盾。
不過，經過我在【1】和本文中的討論之後，我們可以看出薛定諤之所以需要（2）完全是為了使他的推導有一個乍看起來的合法性。他的（3）根本就不是他所聲稱的哈密爾頓偏微分方程，但他又不但需要（3）而且還需要將（3）稱作哈密爾頓偏微分方程，因為隻有這樣他才能假借哈密爾頓偏微分方程在經典動力學中的名聲，讓讀者們以為他的（3）就是能用來求解動力學問題的方程。但另一方麵，他又不能將（3）改寫成真正的哈密爾頓偏微分方程的形式，因為那樣一來他就無法用（3）和（4）來得出對他來說至關重要的（5）式了。。。。為了維護大咖薛定諤的名聲，大家不妨把我這裏所說的當作是在講李定諤或楊定諤。
5. 結束語
如我在本文開頭所說的，本文標題之所以叫做“探秘薛定諤方程的推導”而不是“揭密薛定諤方程的推導”是因為不想將本文的推測就認定為薛定諤當初得出他那個著名方程的實際過程。不過，既然沒有人能夠按照他的那篇獲得諾貝爾獎的文章來合乎邏輯地重新推導出他的那個方程，而且他的文章中也確實存在一些明顯的邏輯錯誤，我們可以合理地想象一下假如是李定諤或楊定諤站在薛定諤當時的位置要想從愛因斯坦和德布羅意已經得獎的兩個公式來得出一個所謂的微觀粒子的波動方程的話，他們可能會怎麽做。。。。本文所做的就是這樣一種工作。
如前所述，本文的起因並不是薛定諤文章中的明顯的邏輯錯誤，也不是我們從視頻中看到的那位曾說：“假如你在冰上摔疼了屁股，不要問我為什麽。在物理學上不要沒完沒了地問為什麽”的著名的諾貝獎得主費曼所說的“沒有人可以從已知的任何內容得出薛定諤方程”這句話。。。。本文的起因是看到聲稱沒有用到相對論的薛定諤居然在他們的文章中“推導”出了隻有用了相對論才能得到的德布羅意波長公式！
最後順便對我在2023年寫的“德布羅意波之錯和薛定諤之幸運”【3】一文及相應的英文版文獻【4】稍作評論。在那兩篇文章中我都提到了薛定諤方程因為拒絕使用相對論而不受相對論錯誤的影響。這一點現在看來是不對的。盡管薛定諤沒有直接使用相對論，但因為他的方程是從德布羅意的波長公式出發湊出來的從而間接地受到相對論影響。
跟蹤本博客從而了解自2022年初以來本博客揭示20世紀物理學弊病之進程的讀者都見證了過去兩年多的時間裏本博客是如何在沒有任何一個人的幫助下在上帝的帶領下克服重重攔阻走過來的。本人並非物理專業人士，而麵對的則不但是被整個物理學界奉為標準理論而且目前仍被整個物理學界加上龐大的科普隊伍拚命維係的20世紀物理學。因此，大家應該預期會看到諸如我在2024年說的與2023年說的不同的現象。其實，這是我孤軍奮戰所出現的非常正常的現象。比起全世界數以千萬計的專業物理大軍在經曆了一百多年的實踐後仍死抱著20世紀物理學中的錯誤不放，我這裏表現出的2024年糾正2023年的錯誤應該說是一件大好事。一切榮耀歸於上帝。
【[1]】 戴榕菁 （2024）戲劇性的薛定諤
[[2]] Schrödinger, E. (1926). “An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules”, The Physical Review, Vol. 28, No. 6, December, 1926. Retrieved from: https://web.archive.org/web/20081217040121/http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf
【[3]】戴榕菁 （2023） 德布羅意波之錯和薛定諤之幸運
[[4]] Dai, R. (2023). Correction to de Broglie Wavelength. Retrieved from: https://www.academia.edu/111922499/Correction_to_de_Broglie_Wavelength
[[5]] Up and Atom. (2019-12-12). [YouTube] What is The Quantum Wave Function, Exactly? [video] url: https://www.youtube.com/watch?v=EmNQuK-E0kI&t=9m22s
