慕容青草的博客
哲學園地
戴榕菁
之所以反複談相對論質量，相對論動量和相對論能量這幾個量是因為它們不但對於我已完成的推翻狹義相對論的工作很重要而且對於認識量子場論的邏輯缺陷極為重要。所謂的相對論質量（也被稱為動質量）指的是：
M=γm (1)
所謂的相對論動量指的是：
P = γmv (2)
所謂的相對論能量（也被稱為相對論總能量）指的是：
E = γmc2 (3)
其中m是粒子的質量（也被稱為靜質量），v是粒子運動速度，γ是所謂的洛倫茲因子，由下式給出：
γ = 1/√(1-v2/c2) (4)
1. 相對論質量
去年年底我已提到當今物理學界的主流已普遍不承認相對論質量【[1],[2],[3]】。今年初我在“相對論質量的一筆糊塗賬”一文中又提到有報道說1948年愛因斯坦曾私下裏否認相對論質量的意義盡管公開地他仍為鼓吹相對論質量的作者站台。
雖然據說是洛倫茲最早提出相對論質量這個概念的，但如同洛倫茲變換一樣，愛因斯坦1905年在他的被認為後人認為是狹義相對論宣言的“On the Electrodynamics of Moving Bodies” 【[4]】一文中又正式地以數學公式定義了相對論質量。隻不過他在那裏的定義同時也正確地暴露出相對論質量概念的邏輯缺陷從而為日後人們普遍否認相對論質量埋下了種子。在那篇文章中，愛因斯坦定義了不同方向的相對論質量：
縱向質量
(5)
橫向質量
(6)
這種各向異性的質量的最大問題顯然是與後來愛因斯坦自己為廣義相對論提出的引力質量與慣性質量等效的原理相矛盾，因為一個物體隻有一個引力質量。實際上，今天物理學界之所以普遍不承認相對論質量應該不僅是因為上麵的各向異性，更重要地，如我在【1,2,3】中指出的，應該是他們從未在實驗室裏測出過遠大於靜止質量的相對論質量。
雖然在加速器中測量粒子的質量不是一件容易的事情，但如果接近光速運動粒子的質量會發生如（1）或（5，6）式所預言的巨大變化的話，我們仍應該能在實驗室中觀察到該效應。我們知道在重力場中進行水平運動的物體的路徑會因為重力作用而呈現拋物線型。因此，當一個被加速到接近光速的粒子在加速器中運行了幾萬圈之後，如果它的質量如（1）或（5，6）式所預言的那樣成倍地增長，那麽它所走的拋物線應該與質量沒有變化的粒子的有可被觀察到的明顯不同。所以，今天的主流物理學界之所以普遍不承認相對論質量，應該是他們從未觀察到這樣的不同。
就連極力吹捧包括相對論動量在內的各種狹義相對論概念的費米實驗室的林肯博士也專門做了一集視頻否認了相對論質量的意義【[5]】。不過，他沒有認識到的一點是：他在那個視頻中極力鼓吹的相對論動量根本就不是動量，而是一個作為空中樓閣的數學定義，與經典的動量之間並沒有直接的邏輯關聯。
2. 相對論動量和相對論能量
如我在“幾點重大補充說明和結論”一文中指出的，愛因斯坦在1905年的“On the Electrodynamics of Moving Bodies” 【4】中推導出了電場中運動的單一帶電粒子的動能：
W = mc2{γ-1} (7)
又在1905年的另一篇著名文章“Does the Inertia of a Body Depend Upon Its Energy-content?”【[6]】中推導出了質量-能量關係：
E = mc2 (8)
盡管他在推導（7）式時還沒有得出（8）式樣，但他在文章【6】中仍然可以將（7）式和（8）式相加得出（3）式，但他沒有這樣做。這裏的主要原因應該是他認為（8）式才是總能量，另外他已在文章【4】中的表明了相對論質量是各向異性的，而（3）式不能反映這一點。
2.1. 相對論動量-能量關係
其實，如果作為相對論質量的（1）式是正確的，那麽順理成章地我們就可以定義相對論動量和相對論總能量為：
P = Mv (9)
E = Mc2 (10)
將（1）代入（9）和（10）我們就可以得到（2）和（3）。這應該就是曆史上人們最初得出相對論動量和能量的邏輯，而這麽做的前提是相對論質量不能是愛因斯坦在文章【4】中給出的（5）和（6）式，而必須是（1）式那樣的各向同性的單一標量。
有了(2)和(3)後，由(2)式平方得：
p2 = m2v2c2/(c2-v2) (11)
由(3)式平方得：
E2=m2c4 + c2(m2v2c2/(c2-v2)) (12)
由(11)和(12)得：
E2=p2c2+m2c4 (13)
這就是作為量子場論的基礎的著名的相對論動量-能量關係。
3. 量子場論的邏輯缺陷
我在“搶救量子大兵---狄拉克方程不屬於狹義相對論”和“幾點重大補充說明和結論”中指出狄拉克方程不會因為狹義相對論被推翻而被否定。但狄拉克當初自己是實實在在地認為他是按照狹義相對論來推導出他的方程的【[7]】（見附錄）。狄拉克在推導中是按照之前的Klein-Gordon的思路選了一個哈密爾頓函數，而那個函數在本質上就是將（13）式的左邊移到右邊去再加上勢能。
但是，當我們從上麵的討論中了解了（13）式及推出（13）式所謂的相對論動量和相對論能量的（2）和（3）式來曆之後，更重要的是當了解了得出（2）和（3）式的相對論質量（1）的先天的邏輯缺陷之後，我們會很自然地看到（13）式所存在的先天的邏輯缺陷：
從本質上來說，狄拉克的可以得出今天被認為是他對量子論最重要的兩個貢獻（確定電子存在相反自旋和正電子的存在）的方程是從兩個人為定義的與動量和總能量並沒有嚴格的邏輯關係（因而不受經驗邏輯的支持）但被稱之為動量和總能量的公式（2）和（3）出發得出公式（13），然後通過相關的構造（即選用已知的泡利旋轉矩陣及量子化）來得出的方程。。。。由這樣的方程得出了上述兩個重要的量子論結論，而且這兩個量子論的結論看來已經定性地得到了實驗的證實。這不得不說是20世紀物理學的諸多奇幻現象中一個！
翻譯成更通俗易懂的大白話就是這樣的：20世紀的物理學界人為地定義了兩個公式（2）和（3）並稱它們為相對論動量和相對論總能量。從這兩個人為定義的公式出發可以得到公式（13），然後地奇幻地從（13）出發引入泡利大師的三個自旋矩陣後推出了作為量子場論基礎的被認為是20世紀最偉大的物理成就的狄拉克公式。而由這個公式出發，人們得出了關於電子的兩個極為重要的結論：一個原子軌道上可以有兩個自旋相反的電子以及存在著電子的反粒子，即正電子。------魔術般的奇妙！
當我們去閱讀狄拉克的文章【7】時會發現，狄拉克在推導出方程的過程中除了（13）式（即他的哈密爾頓）之外並沒有再用到能量守恒和動量守恒，因此除了那個作為出發點的（13）式是一個在邏輯上沒有經驗基礎的空中樓閣之外，倒也沒有直接違背能量守恒或動量守恒。不過，狄拉克在推導出他的方程後，運用他的方程求解的過程中用到了動量守恒，而他所用的動量就是（2）式定義的量，因此，從原則上說他在那裏就因為對不屬於動量的數學表達式（2）應用動量守恒而額外地引入了邏輯錯誤。但奇妙的事再次發生：他的求解不涉及碰撞或裂變，而所求的電子的運動速度被認為（基本）不變，在這個前提下動量守恒（基本上）是可以用在由（2）式定義的數學表達式的。因此，狄拉克又（基本上）安全過了一關。
而他之後再運用總能量守恒從原則上來說問題就有點大，但是他所針對的隻是單一帶電粒子在有電磁場的真空中的運動，那麽我在“搶救量子大兵---狄拉克方程不屬於狹義相對論”和“幾點重大補充說明和結論”中提到的海維賽德橢球體又為他解了圍。
所以，狄拉克方程最奇幻之處還在於從一個本身並不具備嚴格的物理意義的（13）式出發，得出了具有物理意義的兩個重要結論。
當然，我們也不能說（13）完全沒有一點物理意義。比如，如我在本文前麵及“幾點重大補充說明和結論”一文中指出的，我們可以從上麵的公式（7）和（8）推出（3）式來，當然這裏還需要用海維賽德橢球體來為洛倫茲變換解套。隻不過愛因斯坦在推出（7）式時要求了一個前提條件的，那就是電子運動速度不快因而它不向外輻射能量或輻射能量可以被忽略。但另一方麵，對於狄拉克所針對的氫原子軌道上運動的電子來說，雖然被認為速度接近光速，但是卻不向外輻射能量（否則這個世界就沒有穩定的原子了）。所以，雖然狄拉克的電子速度很快，卻滿足愛因斯坦推導（7）式的前提條件。所以，對於狄拉克的電子來說，用於推導出（13）式的（3）可以被認為具有能量的意義。但如我之前反複指出過的，（2）式肯定不具備動量的意義，因為當速度等於0時，（2）也歸於0，它永遠也不可能回歸到經典的動量mv。
不管怎麽說，用一個隻在非常有限的範圍內具有能量意義的（3）式和任意定義的（2）得出（13）式，然後從（13）式出發得出對於量子論來說最重要的兩個結論是20世紀物理學之奇幻的重大表現！。。。。。。
附錄. 狄拉克方程推導過程的思路
首先，他選了一個哈密爾頓函數：
(14)
其中A0和A是電磁場的勢能，e是電荷，p是動量，W應該就是經典的哈密爾頓。應該說狄拉克對於哈密爾頓函數的選擇與物理學界其他人一樣表現的很隨意，不嚴格。我這麽說的原因是如我之前提到過的，哈密爾頓和拉格朗日力學的基本依據是沒有人能明確說出為什麽的最小作用原理。但在經典力學和光學中，最小作用原理和牛頓力學及幾何光學非常一致。到了量子論和相對論，物理學家們就模仿經典力學但相當隨心所欲地選取對應著最小作用原理的拉格朗日或哈密爾頓函數。這裏的一個比較明顯的潛在危機是最小作用原理似乎對能量守恒有較高的要求，但量子場論的虛擬粒子並不總能滿足這一條件。
不管怎麽說，（14）式在本質上就是將（13）式兩邊除以c2，並將的E2/c2移到右邊，然後令哈密爾頓函數F = -E2/c2 + p2 + m2c2，並加上電場勢能和磁場勢能的影響。狄拉克對（14）做了如下的量子化（quantization）的操作：
(15)
並令量子化後的哈密爾頓函數為零（經典的量子化操作）從而得到：
(16)
（16）式就是文章【7】裏的（1）式。他略去電磁場勢能後得到：
(17)
其中的
（17）式就是文章【7】中的（3）式，它與我們直接將（13）式除以c2之後再進行量子化的結果除了表達符號不同之外完全一樣了。
在“搶救量子大兵---狄拉克方程不屬於狹義相對論”和“幾點重大補充說明和結論”文中我都提到了將（13）進行因式分解，那是後來的物理學者們采取的方式。其實，狄拉克的原文中搞得沒有這麽幹淨爽快。他先是做了一個線性假設，聲稱相對論要求p0, p1, p2, p3都是對稱的，所以哈密爾頓函數必須是線性的，所以（17）可以降階為：
(18)
其中α1,α2,α3,和β獨立於p0, p1, p2, p3。（18）式是文中【7】的（4）式。接下來他又做了一個假設：他說由於這裏考慮的是粒子在真空中運動，所以哈密爾頓函數不應該含有t, x1, x2, x3，所以α1,α2,α3,和β也獨立於t, x1, x2, x3。根據這一點他認為我們應該可以將（18）式擴展為：
(19)
這是文章【7】的（5）式。
從上麵（17）到（19）的操作我們可以看出，狄拉克很奇怪地把原本可以一步進行的因式分解化作兩步：先用一個線性假設將（17）降冪為（18），再用一個線性假設將（18）升冪為（19）。
狄拉克在將（17）變為（19）的過程中提出了兩個線性假設，它們對於因式分解來說是不需要的，因為將（13）直接進行因式分解其實嚴格來說並不需要線性假設的，因此狄拉克的這兩個線性假設是為他接下來的推導所做的假設而已。
將（19）展開之後與（17）對比，我們可以得到：
(20)
狄拉克進一步將β取值為：
(21)
則上麵的關係變為：
(22)
（22）是文章【7】中的（6）式。接下來他做了一個逆向邏輯操作，這一操作使得他的推導完全就不是一般的邏輯推導，而是一種構造。而他之所以進行這種構造的原因很顯然是因為他事先已經知道了泡利大師的旋轉矩陣所具有的特性。他首先選取泡利大師的下麵這三個著名的旋轉矩陣：
(23)
這三個矩陣滿足下式：
(24)
於是狄拉克打馬虎眼地聲稱（24）和（22）是一樣的。當然，這裏他打了馬虎眼，因為（22）是單純數值之間的關係而（24）是矩陣之間的關係。（24）中的1不是數值1，而是單位矩陣。接下來他將泡利矩陣進行擴展：
(25)
並按照上麵三個矩陣另造三個：
(26)
他接著又再打馬虎眼，令：α1=ρ1σ1, α2=ρ1σ2, α3=ρ1σ3,。這裏的馬虎眼比較大，因為他將前麵用來表示單純數值的α1, α2, α3轉身一變成為了矩陣，而且是4階矩陣。狄拉克接著指出它們滿足和（22）一樣的關係：
(27)
然後他將經過改頭換麵的α1, α2, α3 和β 代入(18)式，便得到：
(28)
其中的σ代表的是（σ1, σ2, σ3）。（28）式是文章【7】中的（9）式，它就是著名的狄拉克方程的最原始的形式。
到這一步為止，狄拉克既沒有涉及到電子的任何特性，甚至也沒有涉及到洛倫茲變換或任何狹義相對論的要素，這使得狄拉克感到有必要在得出（28）式之後馬上在文章【7】的§ 3. Proof of Invariance under a Transformation.來證明（28）式符合洛倫茲變換。不過，這一步多少有點奇怪，難得狄拉克真的就隻是如他的文章中敘述的那樣隻是按照前人的習慣來選取了一個哈密爾頓函數而沒有意識到他的那個哈密爾頓函數的依據是本文前麵的由相對論能量和動量關係得出的（13）式？？？但另一方麵，他的證明也表明了由他的哈密爾頓（即13式）得出的結果一定滿足洛倫茲變換，因而一定隻在非常局限的範圍（如單一電子不涉及碰撞或裂變）的情況下成立。
在證明了（28）式符合洛倫茲變換之後，狄拉克才在文章【7】的§ 4. The Hamiltonian for an Arbitrary Field 中重新引入電磁場勢能從而開始討論與電子有關的議題。在這一節裏他得出了電子的他稱為“貌似”旋轉的力矩表達式。
然後在§ 5. The Angular Momentum Integrals for Motion a Central Field.狄拉克開始討論環繞中心運動的電子，也就是氫原子軌道上的電子的角動量守恒。在這推導過程中首先他強調隻是周期運動，其次這過程中沒有涉及到他所謂的動量的導數，因此，即便由他的哈密爾頓函數得出的動量一定是前麵的（2）式定義的表達式，它也同樣滿足守恒方程。在這一節中他得出電子正反自旋（正負）h/2的形式。
在§ 6. The Energy Levels for Motion in a Central Field中狄拉克開始討論環繞中心力運動的電子的能級問題。
這裏我可以看出：所謂的狄拉克方程預言了原子軌道上可以有自旋相反的電子是因為狄拉克人為地在他的方程中引入了泡利大師用來表達旋轉的矩陣，而不是直接推導出了的。而他能得出電子的反粒子即正電子存在的結論是因為（19）式中包含了能量值（或質量值）的正負號相反的兩個方程。
當然，我們也不能因為上述的方程是構造出來的而且是逆階構造出來的而否認它是推導出的，畢竟我們可以將（28）拆為16個非矩陣的方程，每個方程又都是和(17)式（也就是13式）一樣。
這裏最隨機的一步其實就是他選擇那個哈密爾頓函數。由我們在前麵對（13）式的來曆的討論中可知，（13）中的所謂動量隻是一個被稱為動量但實際並非動量的數學表達式，而其中的能量也隻在非常有限的範圍內真正具有能量的意義。這就決定了狄拉克的哈密爾頓函數肯定不會在一般的情況下滿足最小作用原理所苛求的能量守恒。不過，如前麵討論的，在狄拉克所針對的真空（帶有或不帶有電磁場）中運動的單一帶電粒子來說，他所選的哈密爾頓函數中的能量具有實際意義，另外，雖然其中的所謂動量隻是一個數學表達式而已，但滿足（13）式，隻是用它進行的動量守恒的計算一定有誤差。
[[1]] 戴榕菁 （2022）“砍錯對象了。。。。真正更可怕的是。。。。？”
[[2]] Dai, R. (2022). “E = mc^2 is not the total energy”. Retrieved from: https://wp.me/p9pbU7-fa
[[3]] Dai, R. (2022). “The Real Meaning of E=mc2”. Retrieved from: https://wp.me/p9pbU7-fO
[[4]] Einstein A. (1905) “On the Electrodynamics of Moving Bodies”. Zur Elektrodynamik bewegter Körper, in Annalen der Physik. 17:891, 1905, translations by W. Perrett and G.B. Jeffery. Retrieved from: https://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/specrel/www/
[[5]] Fermilab (2018) YouTube “Is relativistic mass real?”. https://youtu.be/LTJauaefTZM
[[6]] Einstein, A. (1905a). “Does the Inertia of a Body Depend Upon Its Energy-content?”. Retrieved from: https://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/E_mc2/e_mc2.pdf
[[7]] Dirac, P. A. M. (1928). "The Quantum Theory of the Electron". Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 117 (778): 610–624. Retrieved from: https://royalsocietypublishing.org/doi/epdf/10.1098/rspa.1928.0023
到這一步為止，狄拉克既沒有涉及到電子的任何特性，甚至也沒有涉及到洛倫茲變換或任何狹義相對論的要素，這使得狄拉克感到有必要在得出（28）式之後馬上在文章【7】的§ 3. Proof of Invariance under a Transformation.來證明（28）式符合洛倫茲變換。不過，這一步多少有點奇怪，難得狄拉克真的就隻是如他的文章中敘述的那樣隻是按照前人的習慣來選取了一個哈密爾頓函數而沒有意識到他的那個哈密爾頓函數的依據是本文前麵的由相對論能量和動量關係得出的（13）式？？？但另一方麵，他的證明也表明了由他的哈密爾頓（即13式）得出的結果一定滿足洛倫茲變換，因而一定隻在非常局限的範圍（如單一電子不涉及碰撞或裂變）的情況下成立。
在證明了（28）式符合洛倫茲變換之後，狄拉克才在文章【7】的§ 4. The Hamiltonian for an Arbitrary Field 中重新引入電磁場勢能從而開始討論與電子有關的議題。在這一節裏他得出了電子的他稱為“貌似”旋轉的力矩表達式。
然後在§ 5. The Angular Momentum Integrals for Motion a Central Field.狄拉克開始討論環繞中心運動的電子，也就是氫原子軌道上的電子的角動量守恒。在這推導過程中首先他強調隻是周期運動，其次這過程中沒有涉及到他所謂的動量的導數，因此，即便由他的哈密爾頓函數得出的動量一定是前麵的（2）式定義的表達式，它也同樣滿足守恒方程。在這一節中他得出電子正反自旋（正負）h/2的形式。
在§ 6. The Energy Levels for Motion in a Central Field中狄拉克開始討論環繞中心力運動的電子的能級問題。
這裏我可以看出：所謂的狄拉克方程預言了原子軌道上可以有自旋相反的電子是因為狄拉克人為地在他的方程中引入了泡利大師用來表達旋轉的矩陣，而不是直接推導出了的。而他能得出電子的反粒子即正電子存在的結論是因為（19）式中包含了能量值（或質量值）的正負號相反的兩個方程。
當然，我們也不能因為上述的方程是構造出來的而且是逆階構造出來的而否認它是推導出的，畢竟我們可以將（28）拆為16個非矩陣的方程，每個方程又都是和(17)式（也就是13式）一樣。
這裏最隨機的一步其實就是他選擇那個哈密爾頓函數。由我們在前麵對（13）式的來曆的討論中可知，（13）中的所謂動量隻是一個被稱為動量但實際並非動量的數學表達式，而其中的能量也隻在非常有限的範圍內真正具有能量的意義。這就決定了狄拉克的哈密爾頓函數肯定不會在一般的情況下滿足最小作用原理所苛求的能量守恒。不過，如前麵討論的，在狄拉克所針對的真空（帶有或不帶有電磁場）中運動的單一帶電粒子來說，他所選的哈密爾頓函數中的能量具有實際意義，另外，雖然其中的所謂動量隻是一個數學表達式而已，但滿足（13）式，隻是用它進行的動量守恒的計算一定有誤差。