闖蕩華爾街
有多少愛可以重來 有多少人值得等待 因我自橫刀向天笑 故我自立馬冷眼瞧
正文
二十一點規則
1，遊戲由玩家和莊家（即賭場的發牌員）對玩，看誰的牌麵點數更靠近21點。但如果超過了21點，則稱為“爆掉”，算輸。其中花牌（J，Q，K）都算10點，A可以算1點，也可以算11點，看哪種情況更有利。玩家之間不做比較。
2，遊戲開始時，所有玩家和莊家各拿兩張牌，一般來說，是玩家兩張牌牌麵朝上，莊家一張牌麵朝上，一張牌麵朝下。
3，兩張牌的點數，肯定介於2到21點之間。21點隻可能是一張10（包括J，Q，K，下同）和一張A，這叫“天成（BlackJack，以下簡稱BJ）”，除非莊家也拿到了BJ，不然贏一倍半的賭注。
4，玩家在遊戲中有如下選擇：
（1）要牌，直到他（或她，下同）認為自己的牌麵離21點足夠近了。比如手頭的牌是4和5，加起來才9點，那麽無論再加張什麽牌，都不會爆掉，當然應該要牌。
（2）停牌，即不再要牌，比如手頭是張10和9，已經很接近21點了，就不用再要牌了。
（3）加倍，即加一倍賭注，再要且僅要一張牌。比如手頭是張4和7，這時要牌是肯定安全的，而且很可能拿到10或者其他點數較大的牌，一張就夠了，值得加倍。這隻能在剛拿到兩張牌時使用，要過牌後就不能加倍。
（4）分牌，即拿到兩張點數相同的牌時，可以加一份賭注，把牌分為兩份，比如手頭是兩張8，加起來是16，非常糟糕的點數，這時就應該把牌分為兩個8，再要兩張牌來，很可能拿到10形成18點，就把壞牌變成好牌了。
（5）保險，即在莊家亮著的牌是A時，由於他拿到BJ的幾率很大，玩家可以下賭注一半的保險。如果莊家沒有拿到BJ，保險金就輸掉了，如果莊家拿到了BJ，付給玩家兩倍保險金。很多玩家在自己拿到BJ的情況下，會下賭注一半的保險，以保證自己能贏回一倍賭注，因為如果莊家沒有BJ，那他能贏賭注的一倍半，去掉輸掉的半倍保險，還贏一倍賭注；如果莊家有BJ，那他們牌麵打平，但保險能賺回一倍賭注。
（6）投降，這時隻輸一半賭注。如果自己的牌是10和6，莊家亮著的牌是A，那還是趁早投降好。
5，莊家在手頭的牌是A時，會問大家是否要保險，然後檢查自己的牌是否BJ。如果手頭的牌是10，也會檢查是否BJ，但這時玩家就不能買保險了。
6，如果玩家要牌爆掉，算輸，莊家當場收掉他的賭注。
7，當所有的玩家都做出選擇後，莊家的玩法是固定的：亮出底牌，如果點數不到17點，則必須要牌，直到超過了16點或爆掉為止。
6，如果雙方都還沒有爆掉，則更接近21點的那個勝，如果雙方點數相同，則算打平。
在這些基本規則之上，各地的賭場還會有些變動，比如有的賭場在軟17點（A算11點時的點數稱為“軟”，比如A和6，就是軟17點）時停下，有的則必須繼續要；有的賭場連續分牌最多隻能有四次，有的可以無限分下去；有的A分牌隻能一次；有的賭場分牌後不許加倍；有的賭場不許投降；等等等等。
還有些變種的二十一點遊戲，比如“雙亮（Double Exposure）二十一點”，就是莊家的兩張底牌都亮著，但如果雙方點數相同，算莊家贏。又如帶大小鬼（Joker）的二十一點，莊家拿到鬼牌得扔掉，玩家拿到鬼牌卻可以指定它的點數，比如湊成11點，或者當A用等等。
二十一點基本策略
規則為：莊家在軟17點時停止、無限分牌加倍、允許投降。
為了方便分析，我們先假設52張牌出現的概率始終相同，也就是說每張牌都是從一個無窮多副牌組成的牌盒裏抽出來的，或者說前麵出過的牌不影響後麵的牌，換句話說，每張牌相互之間都是獨立的。
首先，一個明顯的結論是，每個點數出現的概率都是1/13，除了10出現的概率是4/13。這樣，如果莊家的亮牌是A，他實際拿到BJ的可能性是4/13，拿不到的可能性是9/13。玩家投保險，保中了的回報是雙倍保險金，沒中的話輸掉保險金，因此總預期收益是：
4/13 * 2 + 9 * 1/13 * (-1) = －1/13
也就是說，從概率上講，投保險是得不償失的，平均13次保險中，贏4次，輸9次，莊家占7.7％的優勢。所以，永遠不要買保險。
在二十一點中，玩家最大的劣勢來自於，如果玩家的牌爆掉的話，賭注當場輸掉，哪怕莊家隨後也爆掉。因此，如果玩家模仿莊家的玩法：16點或以下要牌，17點或以上停住，必輸無疑。
為此賭場在遊戲裏加入了各種功能：分牌、加倍、投降、玩家拿了BJ後贏一倍半，以吸引賭客。如果用正確的玩法，可以把莊家的優勢縮小到0.5％。這就是所謂“基本策略”。
在上述規則下，基本策略為：
莊家：2 3 4 5 6 7 8 9 10 A
玩家點數
<8>=17 S S S S S S S S S S
其中H表示“要牌（Hit）”，S表示“停牌（Stand）”，D表示“加倍（Double down）”，R表示“投降（suRrender）”。
以上的點數都是所謂“硬點數”，即不包括A或A算1點，以後如果不特別指明，各點都指“硬點數”。手中有A，而且A算11也不會爆掉，就是所謂“軟點數”，應該運用下麵這個表格：
莊家：2 3 4 5 6 7 8 9 10 A
玩家
13 H H H D D H H H H H
14 H H H D D H H H H H
15 H H D D D H H H H H
16 H H D D D H H H H H
17 H D D D D H H H H H
18 S DS DS DS DS S S H H H
>=19 S S S S S S S S S S
“D”和“DS”都表示加倍，在不可以加倍的情況下，“D”表示要牌，“DS”表示停牌。
最後是分牌策略：
莊家：2 3 4 5 6 7 8 9 10 A
玩家
A,A P P P P P P P P P P
2,2 H H P P P P H H H H
3,3 H H P P P P H H H H
4,4 H H H P P H H H H H
5,5 D D D D D D D D H H
6,6 H P P P P H H H H H
7,7 P P P P P P H H H H
8,8 P P P P P P P P P P
9,9 P P P P P S P P S S
10,10 S S S S S S S S S S
其中P表示“分牌（sPlit）”。
這三張表並不難背，因為裏麵有許多規律，最顯著的就是有個分界線，橫亙於莊家亮牌是6點和7點之間。6點以下是莊家的壞牌，比較容易爆掉，對玩家有利，7點以上則對玩家不太利。我寫了個小程序，算了下莊家的各個亮牌所可能導致的最終結果的百分比：
亮牌 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A
17: 13.9 13.5 13.0 12.5 16.8 37.0 12.9 12.0 11.1 13.0
18: 13.4 12.9 12.5 12.1 10.9 13.9 35.9 12.0 11.1 13.1
19: 12.8 12.4 12.0 11.6 10.3 8.0 12.9 35.1 11.1 13.1
20: 12.1 11.8 11.4 11.0 9.9 7.6 7.0 12.0 34.3 13.1
21: 11.4 11.2 10.8 10.5 9.4 7.0 6.6 6.1 11.2 36.2
爆掉: 36.4 38.3 40.3 42.2 42.8 26.4 24.6 22.8 21.2 11.5
由此再來看基本策略，就很好理解，也很好背了：
1，11點或更小時，總可以要牌，如果9點時莊家亮牌是3到6，10或11點時莊家亮牌比自己差，還可以加倍。
2，17點或更多時，總該停住。
3，12點到16點間，如果莊家亮牌是6或更小，就該停住，不然就該要牌。唯一的例外是12點對莊家亮牌2和3點時也該要牌。另外在自己拿到16點而莊家是9、10、A，或自己拿到15點，而莊家是10點時，應該投降。
對於嫌麻煩的人，記住以上三點，就已經夠了，因為這張表涵蓋了大多數情況，拿到A和兩張同樣點數的牌的可能性不是那麽大。但是如果想少輸點錢，還是必須把後兩張表也背下來。好在它們也很有規律，比如軟13到18點對莊家6點或更小的亮牌時，可以考慮加倍，其判斷梯形為：不太有把握的軟13、14點隻對莊家的5、6點加倍，軟15、16擴展到莊家的4點，軟17、18則擴展到3點。
二十一點算牌法
二十一點能夠算牌，是因為我們在討論“基本策略”時提出的一個假設不成立：
假設52張牌出現的概率始終相同，也就是說每張牌都是從一個無窮多副牌組成的牌盒裏抽出來的，或者說前麵出過的牌不影響後麵的牌，換句話說，每張牌相互之間都是獨立的。
顯然，不可能有這樣的由無窮多副牌組成的牌盒，前麵出過的牌總會影響後麵的牌。在算牌法剛出現的時代，賭場仍然使用一副牌來玩二十一點，那麽這個影響就更明顯。比如，發牌員發出牌來，你拿到兩個10（包括J、Q、K），莊家亮牌也是10，翻出底牌來還是10，那麽下一輪裏10出現的概率已不再是4/13，而是12/48，即1/4，略低於4/13。同樣的，其他點數出現的概率也已不再是1/13，而是1/12。
象輪盤賭這類遊戲，每次輪盤轉出什麽結果，和上一次完全沒有關係。還有牌九這類遊戲，每玩過一輪，就重新洗牌。這些遊戲裏，每把賭博之間都是互相獨立的。而二十一點的各把之間，在重新洗牌之前，不是獨立的。前一把出現了什麽牌，會影響到下一把。因此，如果我們能記住前麵出過什麽牌，就能大致預測以後的賭局走勢，從而調整自己的賭注，在對自己有利時下大注，在對莊家有利時下小注或不下注，就能在這個遊戲裏占到優勢。
UCLA的數學教授愛德華·索普（Edward Thorp）在六十年代初發明了二十一點算牌法。他注意到，如果二十一點裏10出現的概率增高，對莊家是不利的，因為莊家在十六點及更低時必須要牌，10越多，就越容易爆掉，而對玩家來說，則更容易拿到BJ，贏一倍半的錢。所以他用一種“算10法（10-Count）”，計算剩下的牌中10的比例。正常情況下，這個比例應該是4/13，莊家占優勢。但當前麵出掉很多小牌，10的比例達到1/3時，優勢就轉移到玩家這邊來了。
索普的運氣不錯，那時計算機也發明出來了，他找到IBM公司裏的朋友，寫了個程序來驗證自己的算牌方法。那時的計算機跟今天比起來，還是速度低下、體積龐大的蠢物，足足運轉了七天七夜，終於證明了這個方法是可行的。索普又自己到賭場裏親自實踐，結果果然大贏特贏。
1962年他出版了《打敗莊家（Beat the Dealer）》一書，向公眾介紹了自己的算牌法。這不再是我們慣見的蘿卜賭經，而是有數學基礎的方法，因為它在不同的贏牌概率P（i）時下不同的賭注B(i），雖然總的勝利概率之和ΣP（i）仍然小於1/2，但隻要在P（i)大時下大的B(i)，P(i)小時下小的B（i），就能使總回報ΣR（i）P（i）大於ΣB（i）。
“算10法”比較難操作，需要極高的心智和注意力。好在群眾的智慧是無窮的，算牌手們沿著索普指定的方向走下去，已經把算牌方法演進得越來越簡單實用（索普本人在60年代後期就淡出了賭博界，帶著他在賭場贏來的大筆資金，進入股票市場，運用他的數學知識，現在已成為超級巨富）。
我使用的是一種叫“高低法（High-Low）”的算牌法。在遊戲過程中，我們把每一張出現的2，3，4，5，6都算＋1點，7，8，9算0點，10，J，Q，K，A算－1點，將各點相加，結果越大，就表示前麵出現過的小牌越多，對玩家越有利。反過來，如果結果是個負數，就表示前麵出過的大牌比小牌多，對莊家有利。
比如前麵出現的牌是：
4，9，10，5，J，A，8，10，Q，2，6，K，J，7
那麽點數就是4張小牌減7張大牌，是－3。當然，在遊戲過程中，你不可能叫莊家把牌局暫停，讓你從容加減。你必須在每張牌出來時，就在心裏默算點數。比如在上麵的例子裏，從第一張牌出現開始，你就應該在心裏默算出：
1，1，0，1，0，－1，0，－2，－3，－2，－1，－2，－3，－3
在實際運用中，還可以采取兩張牌一計的技巧，因為莊家發牌時一般速度較快，這樣可以方便地把很多同時出現的大牌和小牌抵消不計，提高了算牌速度，減少了可能的計算錯誤。比如在上麵的例子裏，如果兩張牌一計，那就是：
1，1，－1，－2，－2，－2，－3
如果是一副牌，－3已經是很糟糕的點數了，這時應該下最小注，或者停止不玩。不過一般來說，現在的賭場都使用六到八副牌，那麽在六副牌312張牌內，發出14張牌，還剩298張牌，平均每副牌的點數是（－3）×52/298＝－0.5，還算可以忍受。
顯然，在每一盒牌（“盒（shoe）”是指一盒牌從開始發牌到洗牌的過程，這一盒牌裏可能有六副、四副、八副或其他副數的牌）的開始，由於大部分牌還未發出，因此平均點數總是在0左右。要到牌盒裏剩下的牌不多時，平均點數才可能比較顯著地偏離0。所以算牌手在算牌時都會尋找合適的賭桌，一方麵要找人少的桌子，因為人越少，你在單位時間內玩的次數越多，實際收益才會更逼近期望值；另一方麵要找切牌少的發牌員，因為該切多少牌，賭場隻有個大概的規定，具體執行還是要靠發牌員的覺悟，所以同一家賭場裏，不同的發牌員切出的牌來常會差很多。
在點數變大時，該怎麽提高賭注，每個算牌手都有自己的習慣和算度。貝爾實驗室的J.L.Kelly推導出，在理論上，如果你占A的優勢，本錢總數為R，那麽最優賭注是B = A * R。
比如你有一萬塊錢的本錢，現在你占1%的優勢，那麽就應該在這把壓下一百塊錢。這種下注法稱為Kelly法，是在理論上可以獲得最大回報的方法。但在實踐中，Kelly法過於冒險，隻可視為下注時的上限。
斯坦福·王（Stanford Wong）在《二十一點的秘密(Blackjack Secrets）》裏說，平均點數每高一點，可增加約0.5％的優勢。他是二十一點算牌界裏最有名的祖師爺級人物之一，甚至排在愛德華·索普之前，第一個進入了“二十一點名人堂（Blackjack Hall of Fame）”。我第一次看到他的名字時，還以為他是個華裔，後來在電視上看到他，才發現他是個白人老頭。斯坦福·王其實是他的藝名：他畢業於斯坦福大學，再加上“王”這個很有氣勢的東方姓氏。他對中國文化好像很感興趣，自己創辦了一家出版社，就叫“Pi Yee”——念念看吧：什麽？辟易？便宜？別數典忘祖了，人家這叫“牌藝出版社”！
按照他的說法，在0點時，莊家占0.5％的優勢。到了1點，雙方差不多扯平。平均點數升到2時，玩家就已經占0.5％的優勢，可以提高賭注了。如果按照Kelly法，平均點數為7時，玩家占3％的優勢，就得將自己全部本錢的3％投進去，顯然太過冒險了。
在點數為0或負數時，玩家應當下最小賭注。當然，最好是幹脆不玩，坐等點數變正。早期的那些算牌手就是這麽做的，但現在的賭場裏，從遊弋在各桌間的桌麵經理，到高懸在天花板上的監視器，都虎視耽耽地監視著每個賭徒的行為。如果總是點壞不壓、點好猛壓，還不如直接在臉上寫五個大字：“我是算牌手”，說不定還暴露得晚些。
算牌本身並不難練，難的是和賭場的鬥智鬥勇。在《打敗莊家》剛出版時，它轟動一時，很快成為暢銷書，激勵了無數賭徒湧向賭場，一試身手。賭場對此大為恐慌，有些賭場甚至關閉了二十一點賭桌。但是，很快他們就又恢複了鎮定，因為他們發現，湧來的大批賭徒中，隻有極少數人真正掌握了算牌法，其他大多數人隻不過是一知半解、道聽途說的蘿卜。索普這本書為極少數人提供了打敗莊家的方法，但對大多數人來說，實際效果卻是個二十一點的廣告，讓他們自以為也能夠在二十一點上贏錢。這是個賭場夢寐以求的廣告，是他們自己無論花多少錢都做不來的廣告。
在剛開始時，算牌還是個新鮮事物，沒有這方麵的法律規定，開賭場的又多是黑社會，一旦發現算牌手，一律當老千處理，痛打一頓後扔到臭水溝裏。後來大家總算對算牌達成了共識：這是樣技術活兒，是在遵守賭場規則的情況下，靠自己的聰明才智來賭博的一種方式；同時各大賭場也多被華爾街的金融巨頭接管，開始西裝領帶的管理方式，擺開堂堂之陣來賺錢，於是算牌手總算不再有人身危險，但賭場既然是人家的私有財產，就有權把某些他們不歡迎的人拒之門外。因此，對一個算牌手來說，難的不是算牌，而是如何不被賭場發現。
1，遊戲由玩家和莊家（即賭場的發牌員）對玩，看誰的牌麵點數更靠近21點。但如果超過了21點，則稱為“爆掉”，算輸。其中花牌（J，Q，K）都算10點，A可以算1點，也可以算11點，看哪種情況更有利。玩家之間不做比較。
2，遊戲開始時，所有玩家和莊家各拿兩張牌，一般來說，是玩家兩張牌牌麵朝上，莊家一張牌麵朝上，一張牌麵朝下。
3，兩張牌的點數，肯定介於2到21點之間。21點隻可能是一張10（包括J，Q，K，下同）和一張A，這叫“天成（BlackJack，以下簡稱BJ）”，除非莊家也拿到了BJ，不然贏一倍半的賭注。
4，玩家在遊戲中有如下選擇：
（1）要牌，直到他（或她，下同）認為自己的牌麵離21點足夠近了。比如手頭的牌是4和5，加起來才9點，那麽無論再加張什麽牌，都不會爆掉，當然應該要牌。
（2）停牌，即不再要牌，比如手頭是張10和9，已經很接近21點了，就不用再要牌了。
（3）加倍，即加一倍賭注，再要且僅要一張牌。比如手頭是張4和7，這時要牌是肯定安全的，而且很可能拿到10或者其他點數較大的牌，一張就夠了，值得加倍。這隻能在剛拿到兩張牌時使用，要過牌後就不能加倍。
（4）分牌，即拿到兩張點數相同的牌時，可以加一份賭注，把牌分為兩份，比如手頭是兩張8，加起來是16，非常糟糕的點數，這時就應該把牌分為兩個8，再要兩張牌來，很可能拿到10形成18點，就把壞牌變成好牌了。
（5）保險，即在莊家亮著的牌是A時，由於他拿到BJ的幾率很大，玩家可以下賭注一半的保險。如果莊家沒有拿到BJ，保險金就輸掉了，如果莊家拿到了BJ，付給玩家兩倍保險金。很多玩家在自己拿到BJ的情況下，會下賭注一半的保險，以保證自己能贏回一倍賭注，因為如果莊家沒有BJ，那他能贏賭注的一倍半，去掉輸掉的半倍保險，還贏一倍賭注；如果莊家有BJ，那他們牌麵打平，但保險能賺回一倍賭注。
（6）投降，這時隻輸一半賭注。如果自己的牌是10和6，莊家亮著的牌是A，那還是趁早投降好。
5，莊家在手頭的牌是A時，會問大家是否要保險，然後檢查自己的牌是否BJ。如果手頭的牌是10，也會檢查是否BJ，但這時玩家就不能買保險了。
6，如果玩家要牌爆掉，算輸，莊家當場收掉他的賭注。
7，當所有的玩家都做出選擇後，莊家的玩法是固定的：亮出底牌，如果點數不到17點，則必須要牌，直到超過了16點或爆掉為止。
6，如果雙方都還沒有爆掉，則更接近21點的那個勝，如果雙方點數相同，則算打平。
在這些基本規則之上，各地的賭場還會有些變動，比如有的賭場在軟17點（A算11點時的點數稱為“軟”，比如A和6，就是軟17點）時停下，有的則必須繼續要；有的賭場連續分牌最多隻能有四次，有的可以無限分下去；有的A分牌隻能一次；有的賭場分牌後不許加倍；有的賭場不許投降；等等等等。
還有些變種的二十一點遊戲，比如“雙亮（Double Exposure）二十一點”，就是莊家的兩張底牌都亮著，但如果雙方點數相同，算莊家贏。又如帶大小鬼（Joker）的二十一點，莊家拿到鬼牌得扔掉，玩家拿到鬼牌卻可以指定它的點數，比如湊成11點，或者當A用等等。
二十一點基本策略
規則為：莊家在軟17點時停止、無限分牌加倍、允許投降。
為了方便分析，我們先假設52張牌出現的概率始終相同，也就是說每張牌都是從一個無窮多副牌組成的牌盒裏抽出來的，或者說前麵出過的牌不影響後麵的牌，換句話說，每張牌相互之間都是獨立的。
首先，一個明顯的結論是，每個點數出現的概率都是1/13，除了10出現的概率是4/13。這樣，如果莊家的亮牌是A，他實際拿到BJ的可能性是4/13，拿不到的可能性是9/13。玩家投保險，保中了的回報是雙倍保險金，沒中的話輸掉保險金，因此總預期收益是：
4/13 * 2 + 9 * 1/13 * (-1) = －1/13
也就是說，從概率上講，投保險是得不償失的，平均13次保險中，贏4次，輸9次，莊家占7.7％的優勢。所以，永遠不要買保險。
在二十一點中，玩家最大的劣勢來自於，如果玩家的牌爆掉的話，賭注當場輸掉，哪怕莊家隨後也爆掉。因此，如果玩家模仿莊家的玩法：16點或以下要牌，17點或以上停住，必輸無疑。
為此賭場在遊戲裏加入了各種功能：分牌、加倍、投降、玩家拿了BJ後贏一倍半，以吸引賭客。如果用正確的玩法，可以把莊家的優勢縮小到0.5％。這就是所謂“基本策略”。
在上述規則下，基本策略為：
莊家：2 3 4 5 6 7 8 9 10 A
玩家點數
<8>=17 S S S S S S S S S S
其中H表示“要牌（Hit）”，S表示“停牌（Stand）”，D表示“加倍（Double down）”，R表示“投降（suRrender）”。
以上的點數都是所謂“硬點數”，即不包括A或A算1點，以後如果不特別指明，各點都指“硬點數”。手中有A，而且A算11也不會爆掉，就是所謂“軟點數”，應該運用下麵這個表格：
莊家：2 3 4 5 6 7 8 9 10 A
玩家
13 H H H D D H H H H H
14 H H H D D H H H H H
15 H H D D D H H H H H
16 H H D D D H H H H H
17 H D D D D H H H H H
18 S DS DS DS DS S S H H H
>=19 S S S S S S S S S S
“D”和“DS”都表示加倍，在不可以加倍的情況下，“D”表示要牌，“DS”表示停牌。
最後是分牌策略：
莊家：2 3 4 5 6 7 8 9 10 A
玩家
A,A P P P P P P P P P P
2,2 H H P P P P H H H H
3,3 H H P P P P H H H H
4,4 H H H P P H H H H H
5,5 D D D D D D D D H H
6,6 H P P P P H H H H H
7,7 P P P P P P H H H H
8,8 P P P P P P P P P P
9,9 P P P P P S P P S S
10,10 S S S S S S S S S S
其中P表示“分牌（sPlit）”。
這三張表並不難背，因為裏麵有許多規律，最顯著的就是有個分界線，橫亙於莊家亮牌是6點和7點之間。6點以下是莊家的壞牌，比較容易爆掉，對玩家有利，7點以上則對玩家不太利。我寫了個小程序，算了下莊家的各個亮牌所可能導致的最終結果的百分比：
亮牌 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A
17: 13.9 13.5 13.0 12.5 16.8 37.0 12.9 12.0 11.1 13.0
18: 13.4 12.9 12.5 12.1 10.9 13.9 35.9 12.0 11.1 13.1
19: 12.8 12.4 12.0 11.6 10.3 8.0 12.9 35.1 11.1 13.1
20: 12.1 11.8 11.4 11.0 9.9 7.6 7.0 12.0 34.3 13.1
21: 11.4 11.2 10.8 10.5 9.4 7.0 6.6 6.1 11.2 36.2
爆掉: 36.4 38.3 40.3 42.2 42.8 26.4 24.6 22.8 21.2 11.5
由此再來看基本策略，就很好理解，也很好背了：
1，11點或更小時，總可以要牌，如果9點時莊家亮牌是3到6，10或11點時莊家亮牌比自己差，還可以加倍。
2，17點或更多時，總該停住。
3，12點到16點間，如果莊家亮牌是6或更小，就該停住，不然就該要牌。唯一的例外是12點對莊家亮牌2和3點時也該要牌。另外在自己拿到16點而莊家是9、10、A，或自己拿到15點，而莊家是10點時，應該投降。
對於嫌麻煩的人，記住以上三點，就已經夠了，因為這張表涵蓋了大多數情況，拿到A和兩張同樣點數的牌的可能性不是那麽大。但是如果想少輸點錢，還是必須把後兩張表也背下來。好在它們也很有規律，比如軟13到18點對莊家6點或更小的亮牌時，可以考慮加倍，其判斷梯形為：不太有把握的軟13、14點隻對莊家的5、6點加倍，軟15、16擴展到莊家的4點，軟17、18則擴展到3點。
二十一點算牌法
二十一點能夠算牌，是因為我們在討論“基本策略”時提出的一個假設不成立：
假設52張牌出現的概率始終相同，也就是說每張牌都是從一個無窮多副牌組成的牌盒裏抽出來的，或者說前麵出過的牌不影響後麵的牌，換句話說，每張牌相互之間都是獨立的。
顯然，不可能有這樣的由無窮多副牌組成的牌盒，前麵出過的牌總會影響後麵的牌。在算牌法剛出現的時代，賭場仍然使用一副牌來玩二十一點，那麽這個影響就更明顯。比如，發牌員發出牌來，你拿到兩個10（包括J、Q、K），莊家亮牌也是10，翻出底牌來還是10，那麽下一輪裏10出現的概率已不再是4/13，而是12/48，即1/4，略低於4/13。同樣的，其他點數出現的概率也已不再是1/13，而是1/12。
象輪盤賭這類遊戲，每次輪盤轉出什麽結果，和上一次完全沒有關係。還有牌九這類遊戲，每玩過一輪，就重新洗牌。這些遊戲裏，每把賭博之間都是互相獨立的。而二十一點的各把之間，在重新洗牌之前，不是獨立的。前一把出現了什麽牌，會影響到下一把。因此，如果我們能記住前麵出過什麽牌，就能大致預測以後的賭局走勢，從而調整自己的賭注，在對自己有利時下大注，在對莊家有利時下小注或不下注，就能在這個遊戲裏占到優勢。
UCLA的數學教授愛德華·索普（Edward Thorp）在六十年代初發明了二十一點算牌法。他注意到，如果二十一點裏10出現的概率增高，對莊家是不利的，因為莊家在十六點及更低時必須要牌，10越多，就越容易爆掉，而對玩家來說，則更容易拿到BJ，贏一倍半的錢。所以他用一種“算10法（10-Count）”，計算剩下的牌中10的比例。正常情況下，這個比例應該是4/13，莊家占優勢。但當前麵出掉很多小牌，10的比例達到1/3時，優勢就轉移到玩家這邊來了。
索普的運氣不錯，那時計算機也發明出來了，他找到IBM公司裏的朋友，寫了個程序來驗證自己的算牌方法。那時的計算機跟今天比起來，還是速度低下、體積龐大的蠢物，足足運轉了七天七夜，終於證明了這個方法是可行的。索普又自己到賭場裏親自實踐，結果果然大贏特贏。
1962年他出版了《打敗莊家（Beat the Dealer）》一書，向公眾介紹了自己的算牌法。這不再是我們慣見的蘿卜賭經，而是有數學基礎的方法，因為它在不同的贏牌概率P（i）時下不同的賭注B(i），雖然總的勝利概率之和ΣP（i）仍然小於1/2，但隻要在P（i)大時下大的B(i)，P(i)小時下小的B（i），就能使總回報ΣR（i）P（i）大於ΣB（i）。
“算10法”比較難操作，需要極高的心智和注意力。好在群眾的智慧是無窮的，算牌手們沿著索普指定的方向走下去，已經把算牌方法演進得越來越簡單實用（索普本人在60年代後期就淡出了賭博界，帶著他在賭場贏來的大筆資金，進入股票市場，運用他的數學知識，現在已成為超級巨富）。
我使用的是一種叫“高低法（High-Low）”的算牌法。在遊戲過程中，我們把每一張出現的2，3，4，5，6都算＋1點，7，8，9算0點，10，J，Q，K，A算－1點，將各點相加，結果越大，就表示前麵出現過的小牌越多，對玩家越有利。反過來，如果結果是個負數，就表示前麵出過的大牌比小牌多，對莊家有利。
比如前麵出現的牌是：
4，9，10，5，J，A，8，10，Q，2，6，K，J，7
那麽點數就是4張小牌減7張大牌，是－3。當然，在遊戲過程中，你不可能叫莊家把牌局暫停，讓你從容加減。你必須在每張牌出來時，就在心裏默算點數。比如在上麵的例子裏，從第一張牌出現開始，你就應該在心裏默算出：
1，1，0，1，0，－1，0，－2，－3，－2，－1，－2，－3，－3
在實際運用中，還可以采取兩張牌一計的技巧，因為莊家發牌時一般速度較快，這樣可以方便地把很多同時出現的大牌和小牌抵消不計，提高了算牌速度，減少了可能的計算錯誤。比如在上麵的例子裏，如果兩張牌一計，那就是：
1，1，－1，－2，－2，－2，－3
如果是一副牌，－3已經是很糟糕的點數了，這時應該下最小注，或者停止不玩。不過一般來說，現在的賭場都使用六到八副牌，那麽在六副牌312張牌內，發出14張牌，還剩298張牌，平均每副牌的點數是（－3）×52/298＝－0.5，還算可以忍受。
顯然，在每一盒牌（“盒（shoe）”是指一盒牌從開始發牌到洗牌的過程，這一盒牌裏可能有六副、四副、八副或其他副數的牌）的開始，由於大部分牌還未發出，因此平均點數總是在0左右。要到牌盒裏剩下的牌不多時，平均點數才可能比較顯著地偏離0。所以算牌手在算牌時都會尋找合適的賭桌，一方麵要找人少的桌子，因為人越少，你在單位時間內玩的次數越多，實際收益才會更逼近期望值；另一方麵要找切牌少的發牌員，因為該切多少牌，賭場隻有個大概的規定，具體執行還是要靠發牌員的覺悟，所以同一家賭場裏，不同的發牌員切出的牌來常會差很多。
在點數變大時，該怎麽提高賭注，每個算牌手都有自己的習慣和算度。貝爾實驗室的J.L.Kelly推導出，在理論上，如果你占A的優勢，本錢總數為R，那麽最優賭注是B = A * R。
比如你有一萬塊錢的本錢，現在你占1%的優勢，那麽就應該在這把壓下一百塊錢。這種下注法稱為Kelly法，是在理論上可以獲得最大回報的方法。但在實踐中，Kelly法過於冒險，隻可視為下注時的上限。
斯坦福·王（Stanford Wong）在《二十一點的秘密(Blackjack Secrets）》裏說，平均點數每高一點，可增加約0.5％的優勢。他是二十一點算牌界裏最有名的祖師爺級人物之一，甚至排在愛德華·索普之前，第一個進入了“二十一點名人堂（Blackjack Hall of Fame）”。我第一次看到他的名字時，還以為他是個華裔，後來在電視上看到他，才發現他是個白人老頭。斯坦福·王其實是他的藝名：他畢業於斯坦福大學，再加上“王”這個很有氣勢的東方姓氏。他對中國文化好像很感興趣，自己創辦了一家出版社，就叫“Pi Yee”——念念看吧：什麽？辟易？便宜？別數典忘祖了，人家這叫“牌藝出版社”！
按照他的說法，在0點時，莊家占0.5％的優勢。到了1點，雙方差不多扯平。平均點數升到2時，玩家就已經占0.5％的優勢，可以提高賭注了。如果按照Kelly法，平均點數為7時，玩家占3％的優勢，就得將自己全部本錢的3％投進去，顯然太過冒險了。
在點數為0或負數時，玩家應當下最小賭注。當然，最好是幹脆不玩，坐等點數變正。早期的那些算牌手就是這麽做的，但現在的賭場裏，從遊弋在各桌間的桌麵經理，到高懸在天花板上的監視器，都虎視耽耽地監視著每個賭徒的行為。如果總是點壞不壓、點好猛壓，還不如直接在臉上寫五個大字：“我是算牌手”，說不定還暴露得晚些。
算牌本身並不難練，難的是和賭場的鬥智鬥勇。在《打敗莊家》剛出版時，它轟動一時，很快成為暢銷書，激勵了無數賭徒湧向賭場，一試身手。賭場對此大為恐慌，有些賭場甚至關閉了二十一點賭桌。但是，很快他們就又恢複了鎮定，因為他們發現，湧來的大批賭徒中，隻有極少數人真正掌握了算牌法，其他大多數人隻不過是一知半解、道聽途說的蘿卜。索普這本書為極少數人提供了打敗莊家的方法，但對大多數人來說，實際效果卻是個二十一點的廣告，讓他們自以為也能夠在二十一點上贏錢。這是個賭場夢寐以求的廣告，是他們自己無論花多少錢都做不來的廣告。
在剛開始時，算牌還是個新鮮事物，沒有這方麵的法律規定，開賭場的又多是黑社會，一旦發現算牌手，一律當老千處理，痛打一頓後扔到臭水溝裏。後來大家總算對算牌達成了共識：這是樣技術活兒，是在遵守賭場規則的情況下，靠自己的聰明才智來賭博的一種方式；同時各大賭場也多被華爾街的金融巨頭接管，開始西裝領帶的管理方式，擺開堂堂之陣來賺錢，於是算牌手總算不再有人身危險，但賭場既然是人家的私有財產，就有權把某些他們不歡迎的人拒之門外。因此，對一個算牌手來說，難的不是算牌，而是如何不被賭場發現。
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