華人家長熱點議題之九——美國人的數學很差嗎？（續）

那麽美國或加拿大人是怎麽訓練孩子的數學思維的呢？

數學不是一個脫離生活的枯燥學科。我兒子9年級了還在學代數（分式運算），不過我注意到他的許多習題都和生活中的實際問題有關，每解答一題，就明白了一個道理，真正學到了知識，甚至了解了常人無從知曉的科學理論。

某日他問我一道習題，我仔細一看，嚇一跳。這不是牛頓的萬有引力和愛因斯坦的相對論公式嗎？原來老師隻是把這個公式介紹給學生，同時講解了萬有引力和相對論的原理，再把和公式上相對應的參數告訴學生讓他們對號入座，求出兩個星球之間的引力和飛船的速度罷了。

同樣是套公式計算，中國學校是枯燥的題海，這裏是計算結合科普，學習知識和計算聯係相輔相成，學生能很好的領會數學在現實生活中的作用。

另外，學習數學的意義不在於告訴學生已知的所有條件和公式，讓學生做‘計算員’，更重要的是培養學生獨立解決問題的能力和創造性。比如這樣一道典型的應用題：已知遊泳池的長、寬、深。另知一台抽水的抽水速度，求抽完遊泳池的水需要多長時間。

國內的孩子會根據公式迅速計算出各種不同遊泳池的抽水速度，或是其它由同類原理演變的試題，但是必須要有現成的數據。不過這樣一來，學生的作用也就是一台計算器了。國外的學校，老師往往拿一個小小的問題來讓學生做個長篇project。比如這個遊泳池問題吧，老師會提問：怎樣知道一台抽水機用多長時間抽完遊泳池的水？哪些是最基本的必備條件？如何得到這些數據？做一個報告上來，這麽一個“簡單”的問題，可能會花費一個星期的時間。

但是，讓學生獨立找到解決問題的必備條件和方法，才是正真培養數學能力。遊泳池的水、池子的長、寬、深、容積以及抽水機的抽水速度等，這些變量之間的聯係和邏輯關係應該讓學生自己去整理出來。池子的深度用尺量？潛水下去？用竹竿？用細繩吊重物？遊泳池的形狀如果不是長方體而是擬柱體，或是圓柱體怎麽辦？如何知道抽水機抽水的速度？說明書上找？做個試驗？根據機器的功率換算？所有這

些問題在課堂上討論，甚至到實地勘察，對學生創造性思維的啟迪和解決問題的能力都是極大的促進。花一個星期的時間，寫出一個像模像樣的研究報告，從實驗問題到方案設計和數據收集、計算方法和結論，就是一篇像樣的專業論文了。哪怕是最後計算錯誤，也比在課堂上做一百道計算題的意義不知大多少倍。

下麵是另一個更具有典型意義的例子：

國內好像是初二就教三角函數、相似三角形了。老師大概花半節課講解正弦、餘弦、正切、餘切定理，然後就讓學生大量的做習題，求邊，求角，直到公式背得滾瓜爛熟、應用題解得爐火純青，到高中就可以向微積分邁進了。

有一道比較經典的應用題是這樣的： 學校的旗杆在地上的投影長x米，投影末端與旗杆頂端的仰角為xx度，求旗杆的高度。利用正切原理，不用一分鍾，這道題就有解了。可是，這道應用題是否真正有應用價值呢？沒有，應為那個至關重要的仰角是很難測到的，而學生要等老師把這些必備條件逐一告訴他，才能動手解題。那麽，在實際生活中求旗杆的高度是不是有更好的辦法呢？別人把解決問題的方法和必要的條件都告訴了你，你才能解決，你最多隻能算是個工匠；自己去發現問題，解決問題，才是真正的有用之才。

加拿大的學校要到十年級（高一）才教三角函數。同樣的問題，有一個老師是這麽教的。

老師把全班學生帶到操場上，指著旗杆說：今天我們要精確地測量出這個旗杆的高度。大家分成三組討論，我們選出最好的解決辦法！

於是，學生們開始Brainstorming (不知道用中文怎麽表達這個詞)。

有人說，我爬上去！帶一根繩子……。“很勇敢！但是有危險，暫不采納。”

有人說，我在升旗的繩子上做一個記號，拉上去，再拉下來，就可以量出高度了。

“好主意！可是繩子並不到旗杆的頂端，還不能達到精確的目的。”

有人說，對了，用剛學過的三角函數，隻要量出仰角，就能得出旗杆高度了！

“很好！我們看到探尋真理的目標了，可是怎樣才能測得這個仰角呢？”

Brainstorming 又開始了……

又有人說，我去找一根棍子，垂直插在地上，用一根繩子把棍子的頂端和它投影的末端連起來，不就可以量出仰角了嗎？

“太好了！我們向真理邁出了一大步！動手吧！”

三組學生都分別動手找工具，測仰角……

最後，三組學生得出了三組不同的數據，畢竟用這種簡單的工具得不到精確的數據。怎麽辦？

再開動腦筋！可不可以把三組數據平均一下？或者……？

突然，有一位同學看著地上插著的棍子，來了靈感！

讓我們先量出棍子的高度，再量出它投影的長度，用相似三角形的原理，不就能得到旗杆的高度了嗎？（旗杆與棍子投影的比值等於旗杆與棍子的高度之比）

“Bingo!”所有的同學歡呼起來，老師更是興奮，看著他的學生，他好像看見了一顆顆智慧之星，看見了他的學生們都成了偉大的科學家……

這一堂課，學生們恐怕是終生難忘的。解決了旗杆的高度，還有必要反反複複地做一大堆練習嗎？以後隻要有一根棍子，一卷尺，要測量電視塔的高度也不是什麽難題了。

一道題用了一堂課去解，值嗎？值！這一堂課，或許抵得上一輩子的感悟。我敢說，那些得了奧林匹克數學競賽金牌的學生也未必會用一根棍子測出旗杆的高度，他/她也許會等著你告訴他/她那個重要的仰角。

同樣的問題也表現在考試上。中國的學校，尤其是小學的數學考試看起來很難，但都是複雜的計算，教師往往脫離現實，把本來簡單的問題故意弄複雜了，試題難倒了學生，學生即使會做，但不會解決現實中的問題。學生對數字的敏感、對數字和空間概念的研究和觀察在這些考試裏也反映不出來 請看一下幾個國內小學四年級的真實試題：

1. 小紅看一本126頁的故事書, 已看了一些還剩38頁, 小紅看了多少頁? （評：此題意義何在？看了多少頁一目了然，怎麽會先知道剩下的頁數而要求看了多少頁呢？不就是把簡單的問題弄複雜了，讓學生在數字遊戲裏轉悠？）

2. 家具店運來45把木椅, 運來的折椅比木椅的3倍還多10把, 家具店共運來多少把椅子? （評：怎麽會不知道共運來多少椅子？挨個數一下不比先知道折椅比木椅多多少倍更容易？）

3. 王莊鄉有水田507公頃, 比旱田的3倍還少3公頃, 王莊鄉有旱田多少公頃？（評：同樣是一個脫離實際編造的問題，學生隻是套公式擺弄數字，對解決現實問題幾乎沒有幫助）

這些試題的共同點是，把簡單的問題複雜化，明明都是一目了然的問題，偏要轉一個圈子，讓學生拐彎抹角地找答案，嚴重脫離了現實生活，還有這農田、家具店和眼下孩子的生活有多大關係？

 

 

請看加拿大BC省四年級Numeracy部分試題：

學校要舉辦一次遊園會，學生們四處張貼廣告。星期一他們貼了25張，第二天比前一天多貼7張，按照這個規律，星期五學生們需要貼多少張廣告？
• 32
• 53
• 149
• 195

山姆用一卷4.2米長的紙做了一個2.5米長的橫幅，
他還有多少紙剩下來？
• 1.7cm
• 17cm
• 170cm
• 1700cm



遊園會的門票連續出售了8天，按照圖中規律，
第八天結束時會售出多少門票？ 
• 875
• 1000
• 1100
• 1175


莎莉為丟沙包的遊戲堆積木，如圖所示，她堆到第六組時需要多少塊積木？
• 21
• 28
• 36
• 45




莉薩做了一個問卷調查，並製作了一張圖表。
按圖所示，她的問題是什麽？
• 遊園會共盈利了多少錢？
• 男孩更喜歡釣魚遊戲（fish pond）嗎？
• 每項活動參加的人數是多少？
• 為什麽有近60人去了書展（book stand）？

 

吉米買了一本關於養貓的書，此書共有223頁，
他第一天就看了76頁，第二天又看了48頁，
還有多少頁吉米就把書看完了？
• 199
• 124
• 101
• 99

遊園會結束的時候，一共義買出38塊小蛋糕，每塊蛋糕售價$1.95。以下哪項計算能最精確估計所籌得的款數？
• 30 X $1.00
• 30 X $2.00
• 40 X $1.00
• 40 X $2.00

這些題目的特點是，圍繞同一個主題，學生用所學的技能解決實際生活中碰到的問題，大多數題目都不需要生硬的套公式，也不必機械的計算，而是通過對數字間的規律和邏輯關係的推理找到答案，同時，對於圖表的運用和空間物體的想象能力的考察也十分到位。對於計算，最後一道關於蛋糕的問題並沒有讓學生計算出準確的數字，而是考察學生解決問題的方法以及對各個數字大小之間的關聯和邏輯推理。這種方法在生活中具有更大的實際意義。

順便提一下，加拿大的中學數學分三個不同層次，學生可以根據自己的能力和興趣愛好選擇不同的課程，教師也可“因材施教”。當然，這不是說要學習中國的文理分科。文理知識、邏輯思維和藝術想像同樣重要，教師可以給“文科生”講解“雞兔同籠”的計算原理，訓練他們解決諸如巧拿火柴棒、幻方、商人過河等問題，甚至可以講解哥德巴赫猜想的命題，讓形象思維強的學生也插上邏輯思辨的翅膀。

數學好，就必須具備起碼的邏輯思維。可是國內許多所謂作家、名記者的文章，通篇是主觀臆斷，缺乏嚴謹的考證推理。這些人可能算術不錯，也能寫詩吟詞，可是往往連一個簡單的觀點也表達不清，要麽就是繞一大圈，故弄玄虛，要麽引用一大堆科技術語和專業名詞，讀者糊塗，作者自己也未必明白。（國外類似的報道，都是從最基本的原理談起，一步步地用邏輯論述讓讀者明白）。至今，不少國內“數學好”的學者還認為哥德巴赫猜想就是要證明1+1=2。

數學，不僅僅是1+1=2那麽簡單啊。

[nancy30]

“其本質是在爭論衡量數學教育質量的標準問題”非常同意這個觀點，也許在中國現有的教學基礎上加強基礎科學在實踐中的應用，提高學生的科學思維能力。畢竟天才是少數，教育的本質不因該是培養天才而是讓大多數普通人有基本謀生的技能。

[真麻煩啊]

我個人認為爭論中國的數學教育好還是美國（北美）的數學教育好，其本質是在爭論衡量數學教育質量的標準問題。就是說，什麽是衡量數學教育質量的標準？是數學思維能力？還是數學解題能力？

講兩個小事吧。

一個是關於我本科畢業學校物理係的一個的老師的評價。此老師是物理係出名的教高等數學的好老師。不但物理係有名，在全校也有名。校級的教學優秀獎都得了幾次。後來上碩士的時候，碰上母校數學係的一個年輕教師。聊起數學教育的問題。這位數學係的年輕教師就說物理係的那個優秀教師隻是會教解題方法而已，不會教數學思維。

第二件事是關於一本書－－《女士品茶》（The Lady Tasting Tea ）。這是美國的著名統計學家David Salsburg寫的一本書統計科學方麵的通俗讀物。作者在書的前言中說讀這本書的讀者隻需要具備高中畢業的數學知識就可以了。本書被翻譯成中文版後，中譯者說這本書的對象是統計學專業的學生、研究生等。不知道這樣的天壤之別從何而來？
http://www.pinggu.org/bbs/dispbbs.asp?boardid=54&id=264608

我在教育行當也算混了快20年了。我絕對不認同中國的教育質量高於美國的說法。盡管我對中國現行的教育體製並不像很多人那樣持批評的態度。

[狗肉]

I have a boy who is a 3rd grader and I saw algebra questions in his book the other day, many of them were similar to the "bad examples" raised in here, not much difference. E.g. Sue said that her family had 1.5 litter milk before breakfast, after breakfast, only 0.5 litter left. Is that possible?" Comparing to your book page problem, which one is worse? When I was in graduate school, I graded pre-calculus for Math department, the content was just about Chinese junior high level. The funny thing is that I got the answer sheet from the instructor and the answer sheet was wrong! In some colleges here, there is this class called "calculus using calculator" by the math department, you tell me.

[kebob]

文章的題目和內容很不匹配，題目說的是美國，文章的例子是加拿大的，不懂。

[smallking]

People who made comments shall first go through the Chinese math education and the American way of education before making comments.

To understand math is to understand the fundamentals behind the math. It is to understand the logic, reasoning, step by step behind these elegant formula or questions.

At a higher level, to understand the universe and the laws of nature, you need really good at grasping math, not just remembering how to solve the questions.

The American way of math education to high school/undergraduate is totally superficial. Don't you see the 30 years of rapid economic growth in China; isn't that not related to great number of the students graduated in China that are well educated in math and sciences!

[locke]

遊泳池和旗杆的題國內也作。用一節課來講解旗杆的題，效率太低，可想而知，一學期能學到多少東西。看來加國的數學教學水平還真是差不少。

[ubcdavid]

In study and research, the most important thing is to find the question, not the answer. How can you find the question, that is the goal and target of education in North America. Even you can get 100 in exam, that just means you can repeat others' works very well. That's the reason so many "stupid" professors leading so many clever students.

[SHIWANG]

數學是人們對量化邏輯的抽象認識，是建立在大量重複訓練和天分上的，美國人在這方麵的訓練水平的確是較中國低。使用數學來解決問題的能力受到數學素養的限製，所以常見的模式是“無知”的美國教授有很多的瘋狂的“猜想”帶了一大幫中國的，印度的，歐洲的數學天才博士後！

[smallking]

math is the crown of the science. the current Chinese math education is much better, in my opinion, which teach the students, the fundamentals, not just something seems interesting in real life.

American/Canadian only learn the surface, or half-full. It will be very difficult for a country to grow without a large amount of graduates really understand math.

[靜聽風吟]

這種論點國內也有，不單單是海外華人有權指手畫腳。隻不過中國的人口是14億。人口眾多，資源相對貧乏，所以人們的思維當然是如何得到高分考取好的中學，大學為目標，因為這樣今後才能有出路，才能掙更多的錢。不要說國內的人有關係就能如何，因為有關係的人是少數，大多數人是普通人。不誰都想活的更好，而目前，在人們腦中似乎隻有金錢是可靠的，所以國內的大多數人（老師，學生，家長）才會選擇應試的思維方式。這種方式並不妨礙有些數學好的人繼續數學好。而美國的方式也不能保證大多數人成為數學尖子。（有些科學家不是說數學天分是遺傳的）嗎？另外不要總認為美國加拿大人就不是為了錢而學習，都是人，都有缺點，隻不過表現形式不同罷了。說這些，隻是想表明，堅實的經濟基礎是決定人如何思維的，國家也一樣。當然林子大了，什麽鳥都有，但是美國人總體的數學差，又不是某個中國人說的。同樣，對於有些數學問題，一定的重複訓練是不可少的。

[tomamy2007]

Nice!