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1、幾何之父
歐幾裏得
（約前330～前275）
[傳略]歐幾裏得，古希臘數學家，古代最有名望的學者之一，幾何學的鼻祖。以其所著的《幾何原本》（簡稱《原本》）聞名於世。關於他的生平，現在知道得很少。據說生於公元前330年，死於公元前275年。早年大概就學於雅典，深知柏拉圖的學說。公元前300年左右，在托勒密王（前364～前283年）的邀請下，來到亞曆山大，長期在那裏工作。歐幾裏得將公元前7世紀以來希臘幾何積累起來的豐富成果整理在嚴密的邏輯係統之中，使幾何學成為一門獨立的、演繹的科學。除了《原本》之外，他還有不少著作，可惜大都失傳。《已知數》是除《原本》之外他的唯一保存下來的希臘文純粹幾何著作，體例和《原本》前6卷相近，包括94個命題，指出若圖形中某些元素已知，則另外一些元素也可以確定。《圖形的分割》現存拉丁文本與阿拉伯文本，論述用直線將已知圖形分為相等的部分或成比例的部分。《光學》是早期幾何光學著作之一，研究透視問題，敘述光的入射角等於反射角，認為視覺是眼睛發出光線到達物體的結果。還有一些著作未能確定是否屬於歐幾裏得，而且已經散失。
[影響]歐幾裏得是一位溫良敦厚的教育家，對有誌數學之士，總是循循善誘。但反對不肯刻苦鑽研、投機取巧的作風，也反對狹隘實用觀點。據記載，托勒密王曾經問歐幾裏得，除了他的《幾何原本》之外，還有沒有其他學習幾何的捷徑。歐幾裏得回答說：“在幾何裏，沒有專為國王鋪設的大道。”這句話後來成為傳誦千古的學習箴言。據說，歐幾裏得的一位學生曾經這樣問老師“我學這些東西能得到什麽呢？”歐幾裏得吩咐他的仆人說：“既然他一定要從所學的裏麵得到些東西，你就給他3個錢幣讓他走吧。”
公元前7世紀左右，埃及的幾何知識由希臘的自然哲學者泰勒斯傳入希臘。希臘學者不僅發現了許多新的幾何問題，而且開始把邏輯學的思想方法引進幾何學，對幾何問題進行了邏輯推理和證明，促進了幾何學的發展。畢達哥拉斯學派研究了許多問題。例如，三角形的內角和、五種正多麵體、黃金分割等，發現了比例中項定理、畢達哥拉斯定理。雅典學派的希波克拉底、柏拉圖、歐多克索斯等人，對幾何學的發展有很大的貢獻，他們曾提出有名的希臘幾何三大問題：任意角三等分問題、立方倍積問題、化圓為方問題，希波克拉底曾對一些幾何定理做出證明，為幾何的邏輯結構打下了初步基礎。柏拉圖把邏輯思想引進幾何學，使幾何係統逐漸嚴格化。歐多克索斯的比例論和窮盡法是近代微積分思想的淵源。
希臘人積累的幾何知識同邏輯思想結合起來，為幾何的係統化、公理化以及歐幾裏得的《幾何原本》的出現奠定了基礎。歐幾裏得是希臘亞曆山大學派的創始人，他按照邏輯係統把幾何命題整理起來，完成了數學史上的光輝著作《幾何原本》。這本書問世以後的兩千年中，一直被用做教科書。它被認為是學習幾何知識和培養邏輯思維能力的典範教材，世界上大多數國家都有《幾何原本》的譯本。中國最古的譯本是明代徐光啟譯出的，“幾何”一詞就是他第一個使用的。《幾何原本》除了有它的數學教育意義外，還有它的數學方法論的意義。歐幾裏得從一些定義、公理和公設出發，運用演繹推理的方法，從已得的命題推出後麵的命題，從而展開《幾何原本》的全部幾何內容。從當時的人類文化水平來看，這是一種很嚴謹的幾何邏輯結構，歐幾裏得的這種邏輯地建立幾何的嚐試，成為現代公理法的淵源。
《幾何原本》全書共十三卷，除其中第五、第七、第八、第九和第十卷是講述比例和算術理論外，其餘各卷都是講述幾何內容的。第一卷內容有平行線、三角形、平行四邊形的定理；第二卷主要是畢達哥拉斯定理及其應用；第三卷講述關於圓的定理；第四卷討論圓的內接與外切多邊形定理；第六卷內容是相似理論；最後三卷是立體幾何。這些幾乎包含了現在中學所學的平麵幾何、立體幾何的全部內容。
正如歐幾裏得所闡述的，《幾何原本》是一個數學知識的邏輯體係，結構是由定義、公設、公理、定理組成的演繹推理係統。在第一卷開始，他首先提出23個定義，前6個定義是：①點沒有大小；②線有長度沒有寬度；③線的界是點；④直線上的點是同樣放置的；⑤麵隻有長度和寬度；⑥麵的界是線。在定義之後有5個公設：①從任意點到另一點可以引直線；②有限直線可以無限延長；③以任意點為圓心，可用任意半徑作圓；④所有直角都相等；⑤如果兩條直線與另一條直線相交，所成的同側內角的和小於兩直角，那麽這兩條直線在這一側必相交。其次，有5個公理：①等於同量的量相等；②等量加等量其和相等；③等量減等量其差相等；④可重合的圖形全等；⑤全體大於部分。在公理後麵，歐幾裏得便證明各個命題，每個命題都要以公設、公理或它前麵的命題作為證明的根據，按邏輯的相關性把它排列成命題1、2、3……這些命題實際上就是人們所說的“定理”。
歐幾裏得的《幾何原本》，雖然在教育和科學意義上，在曆史上受到很高的評價，但用現在的科學水平衡量，它的幾何邏輯結構在嚴謹性上還存在很多缺點。首先，歐幾裏得的定義並不能成為一種數學定義，有的不過是幾何對象點、線、麵的一種直觀描述，有的含混不清，這些定義在後麵的論證中，實際上是無用的。其次，歐幾裏得的公設和公理，是遠不夠用的，因而在《幾何原本》的許多命題的論證中，不得不借助直觀，或者或明或暗地引用了用他的公設和公理無法證明的事實。特別要指出的是研究《幾何原本》的許多學者都注意到歐幾裏得的第五公設比較複雜，看來很像定理。歐幾裏得之後的兩千年很多學者都試圖用其他公設和公理加以證明，但都失敗。直到19世紀，高斯、羅巴切夫斯基、J。波爾約、B。黎曼等發現了非歐幾何，才了解到歐幾裏得第五公設不是其餘公設和公理的推論，不能用那些公設和公理來證明，而是一個獨立的命題。
19世紀末期，德國數學家D。希爾伯特於1899年發表了著名的著作《幾何基礎》，書中成功地建立了歐幾裏得幾何的完整的公理體係，這就是所謂希爾伯特公理體係，希爾伯特首先抽象地把幾何基本對象叫做點、直線、平麵。作為不定義元素，分別用A、B、C……a、b、c……α、β、γ……表示，然後用5組公理：結合公理、順序公理、合同公理、平行公理、連續公理來確定基本幾何對象的性質，用這5組公理作為推理的基礎，可以邏輯地推出歐幾裏得幾何的所有定理，因而使歐幾裏得幾何成為一個邏輯結構非常完善而嚴謹的幾何體係。希爾伯特公理體係的完成，不僅使歐幾裏得《幾何原本》的完善工作告一段落，且使數學公理法基本形成，促使20世紀整個數學有了較大的發展，甚至這種影響也擴大到其他科學領域，如物理、力學等。
《幾何原本》這部著作先後被翻譯成阿拉伯文、拉丁文等各種文本。1607年，中國科學家徐光啟與意大利的傳教士利瑪竇將此書的前六卷譯成中文，後九卷則於1856年由偉烈西力和李善蘭譯出。
[餘論]歐幾裏得力圖依照嚴格的邏輯演繹方法整理當時積累起來的幾何知識。他在《幾何原本》中先給出定義、公理和公設，然後一步步推出有關定理。該書構造了數學史上第一個重要的初等幾何公理係統，標誌著數學知識係統化的開端。兩千多年來，人們都把它作為一部優秀的研究幾何的入門著作和教科書，其中的演繹係統化思想，一直影響著數學的發展，並滲透到自然科學，甚至哲學中。在如此長久的時間中對世界數學的發展有如此大的影響，恐怕連他自己都沒有想到。
（劉偉）
（約前330～前275）
[傳略]歐幾裏得，古希臘數學家，古代最有名望的學者之一，幾何學的鼻祖。以其所著的《幾何原本》（簡稱《原本》）聞名於世。關於他的生平，現在知道得很少。據說生於公元前330年，死於公元前275年。早年大概就學於雅典，深知柏拉圖的學說。公元前300年左右，在托勒密王（前364～前283年）的邀請下，來到亞曆山大，長期在那裏工作。歐幾裏得將公元前7世紀以來希臘幾何積累起來的豐富成果整理在嚴密的邏輯係統之中，使幾何學成為一門獨立的、演繹的科學。除了《原本》之外，他還有不少著作，可惜大都失傳。《已知數》是除《原本》之外他的唯一保存下來的希臘文純粹幾何著作，體例和《原本》前6卷相近，包括94個命題，指出若圖形中某些元素已知，則另外一些元素也可以確定。《圖形的分割》現存拉丁文本與阿拉伯文本，論述用直線將已知圖形分為相等的部分或成比例的部分。《光學》是早期幾何光學著作之一，研究透視問題，敘述光的入射角等於反射角，認為視覺是眼睛發出光線到達物體的結果。還有一些著作未能確定是否屬於歐幾裏得，而且已經散失。
[影響]歐幾裏得是一位溫良敦厚的教育家，對有誌數學之士，總是循循善誘。但反對不肯刻苦鑽研、投機取巧的作風，也反對狹隘實用觀點。據記載，托勒密王曾經問歐幾裏得，除了他的《幾何原本》之外，還有沒有其他學習幾何的捷徑。歐幾裏得回答說：“在幾何裏，沒有專為國王鋪設的大道。”這句話後來成為傳誦千古的學習箴言。據說，歐幾裏得的一位學生曾經這樣問老師“我學這些東西能得到什麽呢？”歐幾裏得吩咐他的仆人說：“既然他一定要從所學的裏麵得到些東西，你就給他3個錢幣讓他走吧。”
公元前7世紀左右，埃及的幾何知識由希臘的自然哲學者泰勒斯傳入希臘。希臘學者不僅發現了許多新的幾何問題，而且開始把邏輯學的思想方法引進幾何學，對幾何問題進行了邏輯推理和證明，促進了幾何學的發展。畢達哥拉斯學派研究了許多問題。例如，三角形的內角和、五種正多麵體、黃金分割等，發現了比例中項定理、畢達哥拉斯定理。雅典學派的希波克拉底、柏拉圖、歐多克索斯等人，對幾何學的發展有很大的貢獻，他們曾提出有名的希臘幾何三大問題：任意角三等分問題、立方倍積問題、化圓為方問題，希波克拉底曾對一些幾何定理做出證明，為幾何的邏輯結構打下了初步基礎。柏拉圖把邏輯思想引進幾何學，使幾何係統逐漸嚴格化。歐多克索斯的比例論和窮盡法是近代微積分思想的淵源。
希臘人積累的幾何知識同邏輯思想結合起來，為幾何的係統化、公理化以及歐幾裏得的《幾何原本》的出現奠定了基礎。歐幾裏得是希臘亞曆山大學派的創始人，他按照邏輯係統把幾何命題整理起來，完成了數學史上的光輝著作《幾何原本》。這本書問世以後的兩千年中，一直被用做教科書。它被認為是學習幾何知識和培養邏輯思維能力的典範教材，世界上大多數國家都有《幾何原本》的譯本。中國最古的譯本是明代徐光啟譯出的，“幾何”一詞就是他第一個使用的。《幾何原本》除了有它的數學教育意義外，還有它的數學方法論的意義。歐幾裏得從一些定義、公理和公設出發，運用演繹推理的方法，從已得的命題推出後麵的命題，從而展開《幾何原本》的全部幾何內容。從當時的人類文化水平來看，這是一種很嚴謹的幾何邏輯結構，歐幾裏得的這種邏輯地建立幾何的嚐試，成為現代公理法的淵源。
《幾何原本》全書共十三卷，除其中第五、第七、第八、第九和第十卷是講述比例和算術理論外，其餘各卷都是講述幾何內容的。第一卷內容有平行線、三角形、平行四邊形的定理；第二卷主要是畢達哥拉斯定理及其應用；第三卷講述關於圓的定理；第四卷討論圓的內接與外切多邊形定理；第六卷內容是相似理論；最後三卷是立體幾何。這些幾乎包含了現在中學所學的平麵幾何、立體幾何的全部內容。
正如歐幾裏得所闡述的，《幾何原本》是一個數學知識的邏輯體係，結構是由定義、公設、公理、定理組成的演繹推理係統。在第一卷開始，他首先提出23個定義，前6個定義是：①點沒有大小；②線有長度沒有寬度；③線的界是點；④直線上的點是同樣放置的；⑤麵隻有長度和寬度；⑥麵的界是線。在定義之後有5個公設：①從任意點到另一點可以引直線；②有限直線可以無限延長；③以任意點為圓心，可用任意半徑作圓；④所有直角都相等；⑤如果兩條直線與另一條直線相交，所成的同側內角的和小於兩直角，那麽這兩條直線在這一側必相交。其次，有5個公理：①等於同量的量相等；②等量加等量其和相等；③等量減等量其差相等；④可重合的圖形全等；⑤全體大於部分。在公理後麵，歐幾裏得便證明各個命題，每個命題都要以公設、公理或它前麵的命題作為證明的根據，按邏輯的相關性把它排列成命題1、2、3……這些命題實際上就是人們所說的“定理”。
歐幾裏得的《幾何原本》，雖然在教育和科學意義上，在曆史上受到很高的評價，但用現在的科學水平衡量，它的幾何邏輯結構在嚴謹性上還存在很多缺點。首先，歐幾裏得的定義並不能成為一種數學定義，有的不過是幾何對象點、線、麵的一種直觀描述，有的含混不清，這些定義在後麵的論證中，實際上是無用的。其次，歐幾裏得的公設和公理，是遠不夠用的，因而在《幾何原本》的許多命題的論證中，不得不借助直觀，或者或明或暗地引用了用他的公設和公理無法證明的事實。特別要指出的是研究《幾何原本》的許多學者都注意到歐幾裏得的第五公設比較複雜，看來很像定理。歐幾裏得之後的兩千年很多學者都試圖用其他公設和公理加以證明，但都失敗。直到19世紀，高斯、羅巴切夫斯基、J。波爾約、B。黎曼等發現了非歐幾何，才了解到歐幾裏得第五公設不是其餘公設和公理的推論，不能用那些公設和公理來證明，而是一個獨立的命題。
19世紀末期，德國數學家D。希爾伯特於1899年發表了著名的著作《幾何基礎》，書中成功地建立了歐幾裏得幾何的完整的公理體係，這就是所謂希爾伯特公理體係，希爾伯特首先抽象地把幾何基本對象叫做點、直線、平麵。作為不定義元素，分別用A、B、C……a、b、c……α、β、γ……表示，然後用5組公理：結合公理、順序公理、合同公理、平行公理、連續公理來確定基本幾何對象的性質，用這5組公理作為推理的基礎，可以邏輯地推出歐幾裏得幾何的所有定理，因而使歐幾裏得幾何成為一個邏輯結構非常完善而嚴謹的幾何體係。希爾伯特公理體係的完成，不僅使歐幾裏得《幾何原本》的完善工作告一段落，且使數學公理法基本形成，促使20世紀整個數學有了較大的發展，甚至這種影響也擴大到其他科學領域，如物理、力學等。
《幾何原本》這部著作先後被翻譯成阿拉伯文、拉丁文等各種文本。1607年，中國科學家徐光啟與意大利的傳教士利瑪竇將此書的前六卷譯成中文，後九卷則於1856年由偉烈西力和李善蘭譯出。
[餘論]歐幾裏得力圖依照嚴格的邏輯演繹方法整理當時積累起來的幾何知識。他在《幾何原本》中先給出定義、公理和公設，然後一步步推出有關定理。該書構造了數學史上第一個重要的初等幾何公理係統，標誌著數學知識係統化的開端。兩千多年來，人們都把它作為一部優秀的研究幾何的入門著作和教科書，其中的演繹係統化思想，一直影響著數學的發展，並滲透到自然科學，甚至哲學中。在如此長久的時間中對世界數學的發展有如此大的影響，恐怕連他自己都沒有想到。
（劉偉）
