有全裸數學公式，18歲以下免進！
在《回報率的不確定性對長期持有投資的影響》一文中，我們看到有些正平均年回報率的投資，長期持有捂著不動也可能慢慢把錢輸光，因為買了捂著不動的投資方法最終好壞是由年化回報率決定的。即使（算術）平均年回報率是正值，幾何平均的年化回報率也有可能是負值。隻要幾何平均年化回報率是負值，買了捂著不動錢就慢慢輸光了。
今天我們進一步分析這個悖論。假定每年的回報率是獨立同分布的隨機變量 \(R_i\)，假定每年總回報率的期望值是 \[E(1+R_i)=\overline{\text{tr}}\] 如同前一文，\(n\) 年的總回報是 \[\text{TR}_n=\prod_{i=1}^n(1+R_i)\] （也就是平時大家說的漲到多少倍的意思）。 \(n\) 年總回報年化一下就是 \[\text{TR}_{\text{ann},n}=\text{TR}_n^{1/n} \] 把年化總回報率改寫一下： \[\text{TR}_{\text{ann},n}=\exp\left\{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \log(1+R_i)\right\}\] 如果 \(\log(1+R_i)\) 的期望值存在（\(-\infty\) 也算），根據大數定律（law of large numbers）可以推斷： \[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \log(1+R_i) \to E\log(1+R_i) \text{ (almost surely) as } n\to\infty\] 也就是 \[ \text{TR}_{\text{ann},n} \to \overline{tr}_g \text{ (almost surely) as } n\to\infty \] 其中 \[ \overline{tr}_g = \exp\left\{E\log(1+R_i)\right\} \] 就是 \(1+R_i\) 的幾何期望值。根據數學裏的 Jensen 不等式，\(\overline{tr}_g \leq \overline{\text{tr}}\)，等式僅當 \(R_i\) 是常數時成立。如果 \(\overline{tr}_g < 1\)，買後捂著不動的投資價值 \(\text{TR}_n=(\text{TR}_{\text{ann},n})^n\) 就會非常確定地趨向零。
當 \(\overline{tr}_g < 1 < \overline{\text{tr}}\) 時我們遇到了一個悖論 \[\text{TR}_n \to 0 \text{ almost surely as } n \to \infty\] \[E(\text{TR}_n) = (\overline{\text{tr}})^n \to \infty \text{ as } n \to \infty\] 我這樣解釋這個悖論：隨機過程 \( \text{TR}_n \) 存在於許多平行宇宙。在大多數平行宇宙裏 \(\text{TR}_n \to 0\)。在極少的平行宇宙裏 \(\text{TR}_n\) 增長得非常快。把所有平行宇宙平均一下就是 \(E(\text{TR}_n) = (\overline{\text{tr}})^n \)，還是增長得很快。舉個簡單的例子：改進的 double or nothing game，\(R_i\) 或者是120%或者是-100%，機會一半對一半。把 \((1+R_i)\) 算術平均一下是110%，幾何平均一下是 0。學過計算機課程或金融數學的都知道二杈樹（binomial tree）。在這個例子裏，二叉樹上隻有最上麵的那個杈每次生存下來，其他的都死掉了。分杈 \(n\) 次後生存下來的概率隻剩下 \(1/2^n \to 0\)。可是你算一下期望值 \(E\text{TR}_n\)，它還是 \(1.1^n \to \infty\) 。
古詩說：春種一粒粟，秋收萬顆子。四海無閑田，農夫猶餓死。 我的歪批理解是：有些農夫就真的春天隻種了一粒粟，被隔壁老王家的小鬆鼠挖出來吃掉了，家裏一點餘糧也沒有。如果有兩萬粒粟的話，我覺得春天要種萬粒粟，這樣秋天平均也許就能收個百萬顆子（去掉小鬆鼠吃掉的），這個算法隻涉及算術平均而不涉及幾何平均，雖然還是有可能顆粒無收但概率很小很小。還有個辦法也不涉及幾何平均：每年春天就種一粒粟，無論秋天收多少，下一年春天還是種一粒，這樣就打破了年化平均的魔咒（當然了，家裏要有餘糧不至於成為餓死的農夫）。
