一 Bertrand的盒子悖論
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有三個外表一模一樣的盒子，裏麵分別裝有兩枚硬幣：其中一個兩枚都是金幣，一個兩枚都是銀幣，剩下的則一金一銀。現在隨機選定一個盒子，並從裏麵隨機抽取一個硬幣，發現是金幣，請問剩下的那枚也是金幣的概率是多少？
這就是著名的Bertrand 盒子悖論(Bertrand's box paradox)，最先由法國數學家Joseph Louis François Bertrand (11 March 1822 – 5 April 1900) 提出來的。
嚴格說來，這個不能算真正的悖論，它和說謊者悖論與理發師悖論不同：那兩個悖論都叫你左右為難，不知所措，而這個卻不同，隻能算是一個難題。
它真是一個難題嗎？難在什麽地方呢？它的神秘之處在於：如果你匆忙作答，很容易給出錯誤的答案，讀者不妨先試試看。
這個悖論也有一個變種，叫卡片悖論：有三張卡片，一張兩麵皆黑，一張兩麵皆白，剩下的則一麵白一麵黑。你隨機抽取一張卡片平放在桌麵上，發現是黑的，請問另一麵也是黑色的概率是多少？
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你的答案是什麽呢？是1/2嗎？如果是，恭喜你，你錯了。
你的1/2絕對不是空穴來風，也許下麵就是你的推理。
1. 每個盒子被選中的機會是平等的。
2.既然有一個是金幣，所以不可能是兩個銀幣的那個盒子。
3.這樣隻能是剩下的兩個盒子之一：要麽兩個都是金幣，要麽一金一銀。
4.兩個盒子被選中的機會是一樣的，答案自然是1/2。
這個推理沒問題呀，1/2隻對不錯。
但它確確實實是錯誤的！
到底哪裏出了紕漏？正確的答案又是什麽？
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前三步的斷言是正確的，紕漏就在第四步，那兩個盒子被選中的概率是不一樣的，這就涉及到了條件概率。
什麽是條件概率？條件概率是指在已知某事件E發生後某事件X發生的概率。
用A，B，C分別表示兩個都是金幣的盒子，兩個都是銀幣的盒子和一金一銀的盒子。用E表示抽出的硬幣是金色的，用F表示另一枚硬幣也是金色的。用P(X)表示事件X發生的概率，用P(X|Y)表示已知事件Y已經發生的情況下X發生的條件概率。一開始，我們的確有P(A)=P(B)=P(C)=1/3，也即三個盒子被選中的概率各占三分之一。但是在已知E發生後，情況起了變化。比如，P(B｜E)=0，換句話說，在已知一個是金幣的情況下，兩個都是銀幣就不可能了。
我們先回顧一下條件概率公式：P(X|Y)=P(XY)/P(Y)。不難發現P(E)=1/2。P(EF)=P(A)=1/3。於是有P(F|E)=P(EF)/P(E)=2/3。這才是正確的答案。
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不用條件概率公式，能不能算出答案呢？
能！我們們用(X,Y)表示抽中的盒子是X，選出的硬幣是Y。於是所有的可能結果即樣本空間是：（A，金1）（A，金2），（Ｂ，銀1），（Ｂ，銀2），（C，金）和（C，銀）。現在已知（A，金1）（A，金2）和 （C，金）之一已經發生，因此兩個都是金幣的概率就是2/3了。
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還有一個辦法可以幫助我們找到正確答案。
我們隨機選取一個盒子，裏麵的兩個硬幣相同（指同為金或同為銀）的概率是多少？答案很顯然是2/3。所以當我們已知一個硬幣是金幣的時候，另一個也是金幣的概率就是2/3了。
另外還可以通過全概率公式導出答案：
P(A)=P(E)P(A|E)+P(~E)P(A|~E)=1/2 • P(A|E)=1/3，從而P(A|E)=2/3。
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