有趣的概率問題 三

 Monty Hall 問題

 

1

 

Monty Hall是一個電視節目的主持人,他在美國的電視上主持一個名叫 Let’s Make a Deal 的電視節目,就是讓我們做個交易吧。

主席台上有三扇門,主持人事先在每扇門後各放了一個禮品。其中一扇門後是一輛名貴跑車,而另外兩扇後麵各有一頭漂亮的驢。主持人告訴大家:現在隨機抽取一位幸運觀眾,由他隨意選一扇門,門後的禮品就是他的獎品。很顯然,名貴跑車是大家心中的期盼。

幸運觀眾甲選好一扇門牌,門尚未打開。主持人在剩下的兩扇門中有意打開了一扇有驢的門,然後問幸運兒,願不願與剩下的門交換。這位觀眾撓撓腦袋,拿不定主意。

聰明的讀者,假如您是那個幸運兒,是換,還是不換?

 

2

 

這的確是一個有意思的問題。有人給當時IQ最高的Marilyn vos Savant寫信請教。Marilyn vos SavantIQ在吉尼斯的記錄保持者,其IQ高達228分。Marilyn vos Savant信中說,應該換,並且解釋說:如不換,他得到跑車的概率是1/3,換以後得到跑車的概率將升至2/3。這封信發表在1991Parade雜誌的“Ask Marilyn”欄目中。

不料想,這樣一封信,就象一陣風,吹皺了一池春水。或者更準確地說,是掀起了軒然大波。

當時有不少數學家和統計學家加入了聲討Marilyn vos Savant的行列。他們認為Marilyn vos Savant犯了很低級的錯誤,有人甚至要求Marilyn vos Savant為所犯的錯誤向公眾道歉。而事實上,犯錯的不是Marilyn vos Savant,而是他們自己。

為什麽會這樣呢?因為這有悖於大家的直覺。

直覺是什麽呢?一般人的直覺是,既然跑車在剩下的門中,換與不換沒有差別,每個門後有車的概率就都是1/2

 

3

 

為什麽直覺是1/2呢?很可能是大家忽略了主持人是有意打開了一扇有驢的門。如果主持不是有意,而是隨意也就是隨機打開一扇門,碰巧發現是頭驢,這時換與不換沒有差別,答案都是1/2

我們用(XYZT)表示:一號門後有X,二號門後有Y,三號門後有Z,主持人打開的是T號門。為敘述方便,我們不妨假設觀眾選中了一號門,於是我們的樣本空間就是下麵的六種情形,每一種情形的概率都是1/6

1:(車,驢,驢,二)

2:(車,驢,驢,三)

3:(驢,車,驢,二)

4:(驢,車,驢,三)

5:(驢,驢,車,二)

6:(驢,驢,車,三)

假如主持人隨機選了一扇門,比如二號,碰巧發現是頭驢,這就意味著情形1或者情形5發生了,這時車在一號門與在三號門是機會均等的,換不換沒差別。

 

4

 

假如主持人有意打開一扇有驢的門,就不可能出現前麵的情形3和情形6,隻有下麵的四種情形了,其中情形12發生的概率分別是1/6,情形34發生的概率分別是1/3
1:(車,驢,驢,二)
2:(車,驢,驢,三)
3:(驢,車,驢,三)
4:(驢,驢,車,二)
這時如主持人打開了二號門,就成了情形1或情形4了,這時由條件概率公式,可以得出車在三號門後的概率是2/3,在一號門後的概率是1/3

 

5

 

還有一個比較明顯的理由:車在一號門後的概率是1/3,而在另外兩扇門後的概率是2/3。由於主持人有意把有驢的門打開了,另一扇門後有車的概率就是2/3了。  

這和Bertrand的盒子悖論是不是非常類似?算得上是異曲同工了。




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