問題: 盒中有3球，1黑2白. 取第1球顏色未知，取第2球是白球，問盒中第3球是黑球的概率？
事件A: 第一次取出的是黑球
事件B: 第二次取出的是白球 , 這包括第一次取的是黑球和白球2種情況
事件C: 盒中所剩第三球是黑球
第一步, 求第二球是白球的概率, 即P(B):
可用全概率公式分成2種情況:
- 第一次取的是黑球A, 其概率為P(A)
- 第一次取的不是黑球(~A), 其概率為P(~A)
P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|~A) * P(~A)
= 1 * (1/3) + (1/2) * (2/3)
= 1/3 + 1/3
= 2/3
ChatGPT的計算不對, 結果碰巧也是2/3.
實際上, 不用算也能知道, 當你不知道第一個球時, 第二個球是白的概率就是原來的2/3.
第2步: 計算A, B同時發生的概率(A ∩ B), 即第一次取出黑球, 第二次取出白球.
如果第一次取出黑球, 那麽第2次取出的隻能是白球, 所以概率就是第一次取出黑球的概率1/3.
Chatgpt用的是乘法公式(鏈式法則, 其實就是把條件概率的定義挪一下), P(A ∩ B) =P(B|A)P(A), 但P(B|A)表示的是第一次黑球, 第2次取白球, 所以應該是1. Chatgpt把AB與黑球白球混為一談了, 用的是黑球白球原來的分布.
而且, 這一步本身就是第1步的情況(i), 上麵算的也是1*1/3=1/3.
第3步:
P(C|A ∩ B) = P(A ∩ B|C) / P(B)哪來的? 貝葉斯公式 還是 鏈式法則?
