說謊者悖論（Liar’s Paradox）又叫Epimenides paradox，最早出自公元前6世紀，古希臘克裏特島的哲學家埃庇米尼得斯之口：“所有克裏特人都是說謊者。”
稍一思索，我們就不由想問，那麽這位智者他本身是不是在說謊呢？
其實中國也有自己的說謊者悖論：“道可道，非恒道。名可名，非恒名。”這兩句話本身，算不算denote 了“恒道”和“恒名”呢？
因為說謊者悖論和羅素悖論本身，名列最難解的悖論之列，下麵我們先從最簡化的版本開始分析起。
Liar’s Paradox 最簡版：
S1: 這句話是錯的。（This sentence is false。)
我們可以看出，以上這句話我們不知是該取真值（True)還是假值（false)。如果取真值，那麽這句話不真（not true)，如果取假值，那麽這句話又不假(not false)。
根據邏輯規則，我們可以推斷出，S1既不真也不假。下麵的推斷不想看也可以略過。
If ~p—>p, then p. （law of clavius: 如果一個命題的negation能推出命題本身，那麽命題本身不為假。)
將~p代入p，我們又可以得出
if p—>~p, then ~p．
於是一句話既不真又不假，so what？怎麽就成悖論了呢？
這裏，我們似乎有一種直覺判斷：所有句子要麽取真值，要麽取假值(bivalence)。
但當然我們很容易能找出反例，比如疑問句/反問句和祈使句就不能被賦真假值。比如我上麵說：so what? （那又咋樣呢？）我們就沒法給這句子賦真假值。或者我們說：就這樣吧！這個句子我們也不知該是真值還是假值。
那麽排除了帶問號和帶感歎號的句子，所有帶句號的句子，也就是陳述句（declarative sentence)應該能符合要麽取真值，要麽取假值的標準吧？然而，我們也可以舉出關於陳述句的反例：
S2: 美國國王是禿頭。
那麽上麵這句話是真是假呢？如果說是真，但美國不存在國王，如果是假，我們也無從判斷。所以這句話雖不“矛盾”，但我們也實在不知該賦予它什麽值。
我們於是又退一步問，為啥我們覺得陳述句要麽是對的，要麽是不對的呢？
原因在於，陳述句是我們用來描繪和反映外部世界的。當然我們可以判斷錯了（比如雞有三條腿），但外部世界在同一時間，同一方麵，不能又是真又是不真的。也就是無矛盾律，不止是我們對語言係統的要求，同時也是我們覺得真實世界（本體論：ontology)應該遵循的原則。（所以如果語言/邏輯係統不止取兩值，又會怎樣呢？大家如果有興趣，下次再來寫寫這個。）
所以當有些句子的主語不代表(representive)外界的存在時，它們的語義有缺陷（semantic defective），我們認為它們是“錯句”。
在進一步分析前，我們作一個區分：“雞有三條腿”是錯的，但它不是錯句，它的主語“雞”存在，這句話可以被清晰的賦予false一值。
這時候我們又有了兩個問題：句子是“錯句”怎麽辦？第二，為什麽“錯句”存在？我們要如何找到哪些句子是“錯句”？
對第一個問題，我們的答案是不怎麽辦，我們接受簡單版liars paradox不真也不假（注意不是既真又假），無法賦值。通常作法是我們把所有能賦真假值的陳述句單分出來，給它們起名叫命題（statement，propsition)。這也是一談邏輯，大家開口就是這個命題是真的，那個命題是假的，而不是這個句子是真還是假。
第二個問題，為什麽有“錯”句和怎樣找到它們。
對於這個問題，有一派的說法可以解釋最簡版的說謊者悖論（S1)。他們認為，判斷一個句子的對錯，不在於句子本身，而在於句子之外。
當我們說一個句子是“對”（true)的時，我們是在肯定(assert)它。
比如我們說：雪是白的。我們回應說：對噠！或者有人說“綠樹是紅色的”，我們說：這不對！
然而當我們還不理解“對”是什麽意思時，不能一上來就判斷：“雪是白的”是對的，這句話是對是錯。
也就是學會判斷句子對錯前，我們先要有一些base sentence，本身不涉及“對”“錯”的概念。如果沒有這些“基本句”，我們就會陷入不知是對是錯的困境。
比如我們如果造一些句子來判斷對錯：
句子2: 句子1是對的。
句子3: 句子2是對的。
句子4: 句子3是對的
……
句子1:句子2是對的。
像這樣循環沒有ground（不指向外界）的句子我們是無法判斷對錯的。就像：這個句子是錯的，因為它沒有ground，我們隻能說它不對也不錯。同樣，“這個句子是對的”，雖然不涉及“矛盾”，但同時，它也沒有被判斷為是對是錯的基礎。
但是，以上理論隻解決了最簡版的Liar’s paradox，如果我們加強一下說謊者悖論：
S3: 這個句子不是真的。(This sentence is not true．)
那麽根據邏輯規則，S3是同時真又不真，這是一個真正的矛盾。我們如何解決S3呢？且聽下回分解。
結束前聊一些題外話。上次寫了白馬非馬後，有些網友對邏輯等價（logical equivalence)提出了疑問。簡單來說，我們在數學證明裏學過，原命題（P—>Q)和其逆否命題(~Q—>~P)等價，但和其否命題~（P—>Q)，以及逆命題（Q—>P)不等價。
這裏我們要理解，第一個等價是必然等價，也就是說隻要是逆否命題則一定和原命題邏輯等價。但第二個不等價不能理解為必然不等價，而應該是“不是必然等價”。
例如，如果P: “雪是白的”推出Q: “雪是白的這句話是真的”，同時Q: “雪是白的這句話是真的”也可以推出P: “雪是白的”，那麽我們說P與Q邏輯等值。這裏不代表我們是從P推出Q，推出了Q可以推出P，而是我們可以以其它原因推出Q可以推出P。P推Q和Q推P兩者不是矛盾的。
同樣，我也曾經問過，如果“我在撒謊”這句話是悖論的原因在於自指，那麽“我沒在撒謊”這句話為什麽我們不認為是悖論呢？在這裏，我沒有認為“我在撒謊”和“我沒在撒謊”邏輯等值，而是同一個原因，應該推出同樣的結果，如果推出的結果不一樣，那麽這個原因最起碼不是最本質或唯一的原因。
