解題之前，先來兩個根函數定理

定義: 如果存在函數f(x) 使得ff(x)=g(x) ，則稱f(x)是g(x)的根函數。

設 F 為 g(x) 不動點的集合。

對於任意一個 a € F, 如果g(b)=a, 則稱b為相對於a的臨界點。定義B(a)為所有相對於a的臨界點的集合(包括a)。

定理1： 如果 a € F, 則f(a) € F
證明： 設 f(a)=b, 有 f(b)=ff(a)=a, 
       ff(b)=f(a)=b, 即 g(b)=b, 也就是說b=f(a) 是 g(x) 的不動點
推論1：若a為g的不動點，f(a)隻能在g的不動點集合中取值。

定理2：如果a € F, b € B(a), 則f(b) € B(f(a))
證明： g(f(b))=f(g(b))=f(a)
       由定理1知 f(a)€ F, 所以B(f(a)) 存在，且f(b) € B(f(a)) 
推論2：若b為相對於不動點a的臨界點, f(b)隻能在相對於不動點f(a)的臨界點集合中取值。

 

猜想：如果沒有其他附加條件，能求出f(x)值的點都包括在臨界點集合（包括不動點）中。

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• 深刻！揭示了平方根函數與原函數的一種內在規律 -大醬風度- ♂ (76 bytes) () 09/24/2024 postreply 17:17:02