令 g(x) = f(f(x))= x^2 - x + 1
則 f(g(x)) = f(f(f(x))) = g(f(x))
即 f(x^2 - x + 1) = f(x)^2 - f(x) + 1 ------ (1)
利用(1)可以求f(0)和f(1)
當n=1時， x^2-x+1 = x = 1, 由(1)可得出f(1)=1
又把x=0代入(1), 得 1=f(1)=f(0)^2 - f(0) + 1
因此 f(0)=0 或 1. 但因f(f(0))=0^2-0+1=1, f(0)不可能為0
故f(0)=f(1)=1
以上其實是與萬大俠相同的思路。
當試圖想用(1)來求其它數的值(例如2)時卻遇到困難: 把x=0或x=1,x^2-x+1=0或x^2-x+1=1代入
(1)時，還是隻能得到f(0)和f(1)的值，我們遇到一個"封閉"的情況。
唯一的例外是當x^2-x+1=0, 得到 x=1/2(1+sqrt(3)i), 可由(1)求出f(1/2(1+sqrt(3)i))
的值，可它不是實數
不過以上的分析也不是全無用處，我們至少可斷言f(x)不可能在複數範圍內都有定義
如若不然， 令 ω=1/2(1+sqrt(3)i), 設 u=f(ω)
則 f(u) = f(f(ω)) = ω^2 - ω + 1 = 0 --- (2)
因此 u^2-u+1 = f(f(u)) = f(0) = 1
故u=0 或 1, 而這兩種情況下都有f(u)=1， 與(2)矛盾
我感覺這樣的f(x)即使在實數範圍內也不存在，但還想不到確切的方法證明。
