數學小學生的解答

設W,M,N，S, T分別表示事件
   W: 摸出的球為白球
   M: A猜對
   N: B猜對
   S: A猜的是白球
   T: B猜的是白球
則本題已知 P(M)=Pa, P(N)=Pb, 求條件概率P(W|S∩T)

由條件概率公式
 P(W|S∩T) = P(W∩S∩T)/P(S∩T)

用X'表示X的否事件
則有  S∩T = (W∩M∩N) ∪ (W'∩M'∩N')    
      W∩S∩T = W∩M∩N
故P(S∩T) = P(W∩M∩N) + P(W'∩M'∩N')
         = P(W)*P(M)*P(N) + (1-P(W))*(1-P(M))(1-P(N))
  W∩S∩T = W∩M∩N = P(W)*P(M)*P(N)

於是得到結果
P(W|S∩T) = P(W∩S∩T)/P(S∩T)
      = P(W)*P(M)*P(N) / (P(W)*P(M)*P(N) + (1-P(W))*(1-P(M))(1-P(N)))
      = P(W)*Pa*Pb / (P(W)*Pa*Pb + (1-P(W))*(1-Pa)*(1-Pb))
      
注意我們需要知道P(W)的值（例如，需要知道口袋中白球黑球各占多少）,我認為這是此題缺少的一個信息

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• 謝謝KDE235的解答。 -大醬風度- ♂ (721 bytes) () 07/17/2024 postreply 15:49:09