炒炒剩飯。用K大俠的解推廣萬大俠的三等分麵積題(改正了一個計算錯誤）

題。如上圖。E，F，D分別是三邊上的n（n>2）等分點。即AE:EA=AF:FB=BD:DC=(n-1):1.已知三角形ABC的麵積。求三角形LMN的麵積。

解：S_LMN = (n-2)^2/(n^2-n+1)*S_ABC

下麵的推理全盤照搬K大俠的解。請大家檢驗。原題有多種解。其它的解法能不能推廣？

利用梅涅勞斯(Menelaus)定理
設 BM:ML:LE = a:b:c
則對三角形ABE和直線FC用梅氏定理,有
 BM/ME * EC/CA * AF/FB = 1
即  a/(b+c) * (n-1)/n * (n-1)/1 = 1
  a/(b+c) = n/((n-1)^2 )   ---- (1)

再對三角形BCE和直線DA用梅氏定理，有
  BD/DC * CA/AE * EL/LB= 1
  (n-1)/1 * n/1 * c/(a+b) = 1
  c/(a+b) = 1/(n(n-1))          --- (2)
 
由（1),(2)可解出 a:b:c = n:n(n-2):1
同理可得
  AL:LN:ND = CN:NM:MF = BM:ML:LE = a:b:c = n:n(n-2):1
 
於是 S_LMN = LM/BL * S_BNL
          = LM/BL * NL/OL * S_BDL
          = LM/BL * NL/OL * DL/AD * S_ABD
          = LM/BL * NL/OL * DL/AD * BD/BC * S_ABC
          = b/(a+b) * b/(b+c) * (b+c)/(a+b+c) * (n-1)/n * S_ABC
          = b^2/((a+b)(a+b+c)) * (n-1)/n * S_ABC
          = (n(n-2))^2/（n+n(n-2))(a+b+c) * (n-1)/n* S_ABC
          = (n-2)^2/(a+b+c) * S_ABC
          = (n-2)^2/(n^2-n+1)*S_ABC

所有跟帖： 

• 很好！你的結論也順帶證明了三角形三中線共點：因為當n=2時三角形LMN麵積為0 -kde235- ♂ (0 bytes) () 04/01/2024 postreply 11:04:07