試證

順者兩位的思路作一下。
作S到BC的垂線交園1於Q, 則SQ是直徑。 連接AQ交BS於G，則AG是∠BAC的平分線（因為弧BQ=弧QC）。 連接PG，則原題等價於證明PG是園2的切線

要證PG是切線，隻需證∠GPD = ∠PBD
注意 ∠APB=180-∠ACB
        = 180 - ∠AEB
        = 180 - (90-∠EBC)
        = 90 + ∠EBC
        = 90 + ∠ELD
        = 90 + ∠BPD
 故 ∠DPA = ∠APB - ∠BPD = 90
也就是AP垂直PD
     
因此 ∠GPD = 90 - ∠APG
又 ∠PBD = ∠PBS = ∠PQS = 90 - ∠PSQ
        = 90 - ∠PAQ
        = 90 - ∠PAG
問題歸結為證明 ∠APG = ∠PAG

連接A 與圓心O,交園1於M, 即AM為直徑,連接MD， 由∠DPA=90知PDM共線
連接OG，交AE於H. 設AQ與PM交於N
因為AE平行SQ,知 △AGD∽△QGS, △AGH∽△QGO,因為SO=OQ, 知AH=HD, 因此OH為△AMD中位線
故OG平行MD, 因此又有AG=GN
因此，PG是直角三角形AP斜邊上的中線， 故GP=GA, ∠APG = ∠PAG

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• Elegant! 太漂亮了！ 非常流暢自如，行雲流水，賞心悅目。感謝，讚！！！ -大醬風度- ♂ (0 bytes) () 11/19/2023 postreply 18:47:11