yam16的三圓覆蓋問題的一個完整證明(15少證明的細節補充）

三個單位圓至少能覆蓋一個單位圓，最大直徑不小於2.
最大直徑大於2的一些必要條件。

三個圓的圓心必成三角形。如果是一條直線，則被覆蓋的麵積在兩條矩離為2的平行線之間。不可能有直徑大於2的被覆蓋圓。

此時，三圓形成一個三瓣花形，如圖。

2）A，B，C三點不能是被覆蓋圓的內點。因為其每一個鄰域中都有不被覆蓋的點。

考慮圓o3和它上麵的弦AB。參見上圖。
3）圓o3中AB的外側(上方)中的任一點，作半徑大於1的圓，其中必有不被覆蓋的點在外側。事實上，以點為中心作一長度大於2的平行於AB的線段，至少有一端的端點是不被覆蓋的點。
4）圓o3中AB的內側(下方)的點，以其為中心作圓，且不含有外側的外點。半徑最大值在AB的中垂線上得到。
任取一點，作AB的平行線，得一弦。考慮弦上所有的點，可以看出最大半徑在其中點處得到。
5）不考慮其它圓，這個最大半徑就是AB弧的中點與A，或B之間的距離。進一步，如果這個最大半徑大於1，則AB所對的圓心角在120與180之間。從而AB的長度在根3與2之間。
這個可以直接計算而得到。

回歸本題。最大被覆蓋圓的直徑如果大於2，由3）其圓心必在三角形ABC中。由4）圓心就是ABC的外接圓圓心。
由5）ABC三邊之間，總有a^2 + b^2 - c^2 >=3 + 3 - 2 > 0.由餘弦定理，三個角都是銳角。

由下麵題的結果，最大被覆蓋圓的直徑就是周長等於2的正三角形外接圓的直徑。

題外的話

四圓問題，邊長為2的正方形的外接圓的直徑是2sqrt（2）這個是不是答案？

五圓以上就不可能有這樣的可能了。五個圓心在正五邊形的中點，要覆蓋其內部，邊長不可能等於2.

所有跟帖： 

• 發現多個BUG。比如，當三圓圓心成三角形，可能形成的圖形不是三瓣花形。 -wxcfan123- ♂ (247 bytes) () 03/03/2023 postreply 10:22:52

• 2)的表述就是要保證C點在O3的外部 -15少- ♂ (27 bytes) () 03/05/2023 postreply 03:16:19

• 需要證明。否則就是附加的己知條件。 -wxcfan123- ♂ (0 bytes) () 03/05/2023 postreply 09:48:40

• 四邊形就要四點共圓。 -15少- ♂ (74 bytes) () 03/06/2023 postreply 14:41:16

• 另一個BUG是三角形ABC是銳角三角形。我的證明隻在圓心在弦的上方有效，15少的證明隻在下方有效。 -wxcfan123- ♂ (143 bytes) () 03/05/2023 postreply 19:43:12

• 四園的 -yma16- ♂ (81 bytes) () 03/03/2023 postreply 20:53:42

• d=2*2^.5 -yma16- ♂ (0 bytes) () 03/03/2023 postreply 20:55:04

• 取兩個單位圓O1與O2，使之相切。以切點為中心，旋轉90度，得到O3O4。 -15少- ♂ (67 bytes) () 03/06/2023 postreply 15:14:42