這個可用數學不等式21來證。

來源: wxcfan123 於 2015-06-01 10:25:26 [] [舊帖] [給我悄悄話] 閱讀數 : (953 bytes)
本帖於 2015-06-02 10:06:27 時間, 由普通用戶 wxcfan123 編輯
回答: 數學不等式 64 由 魁北克人 於 2015-05-31 09:45:34

引理。數學不等式21
x_1,x_2,...,x_n > 0, n>=4, 恒有：

(x_1+x_2+x_3)^2*(x_2+x_3+x_4)^2...(x_(n-1)+x_n+x_1)^2*(x_n+x_1+x_2)^2
>=(2^n)*(x_1+x_2)^2*(x_2+x_3)^2...(x_(n-1)+x_n)^2*(x_n+x_1)^2。

本壇還沒有人給出解。

證本題。

n=3 可由數學不等式8，LHS >= 3/2 > (sqrt(2)-1)*3.

n>=4, 將右邊的-n移到左邊。不等式變形為：

(x_1/(x_2+x_3) + 1) + (x_2/(x_3+x_4) + 1) + ... + (x_n/(x_1+x_2) + 1)
>= sqrt(2)n

(x_1+x_2+x_3)/(x_2+x_3) + (x_2+x_3+x_4)/(x_3+x_4) + ... + (x_n+x_1+x_2)/(x_1+x_2)
>= sqrt(2)n

由AG不等式，
LHS >=
n*NthRoot{[(x_1+x_2+x_3)*...*(x_n+x_1+x_2)]/[(x_2+x_3)*...*(x_n+x_1)*(x_1+x_2)]}

由引理
>= n*sqrt(2).


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