用拉乘思路。想用初等方法的可略去。

首先兩個限製條件使得每個數介於4和5.5之間。

擴展式 f=1/a+1/b+1/c+1/d+L(a+b+c+d-19)+ G(a^2+b^2+c^2+d^2-91)

各種求導：

f_a=-1/a^2+L+2Ga=0....

a, b, c, d 都是一個三次方程的解，所以必有兩個相同。有沒有可能a, b, c 兩兩不同呢？那麽依據韋達定理，ab+bc+ca=0, 與各數為正矛盾。

所以頂多兩種數，但很客易驗證至少有兩種數

排除對稱情形，隻有下麵兩種情況

1）a=b=c
2) a=b, c=d

把這代人兩個方程，可解。注意我們不需要詳解，比如第二種情況，很容易推出a+c, ac 的值，代入可得1/a+…=0.849..。 最大值為0.85，當a=b=c=5，d=4時取得。

所有跟帖： 

• 三次方程四個解，推出有解相同。好 -魁北克人- ♂ (58 bytes) () 05/01/2015 postreply 07:47:56

• 非常巧妙！ -亂彈- ♂ (0 bytes) () 05/02/2015 postreply 06:11:22

• 怎麽才能想到構造那個不等式呢？ -calligraphy- ♂ (0 bytes) () 05/03/2015 postreply 08:51:18

• 是這樣的 -魁北克人- ♂ (59 bytes) () 05/04/2015 postreply 07:43:18

• 謝謝魁老大的公開課。作業(41題)交在下麵了。 -wxcfan123- ♂ (6 bytes) () 05/05/2015 postreply 10:10:51