體壇imayazifan出了一道趣味題，如下：(http://bbs.wenxuecity.com/sports/1013578.html)
話說一日賭棍逃課路過了麻子開的賭莊。嗜賭如命的逃課哪有過賭莊不入的道理。施施然踱入院中。隻見麻子手指三個盒子在那裏大呼小叫＂我這裏有三個盒子，其中一個裏麵有個香蕉盒子。交上5塊錢你就可以猜一猜。猜中了香蕉盒子歸你＂。逃課眼珠一轉，心想天下竟有這等好事。這賭莊的老板大概是錢多的沒地方花，才設了個這麽個弱智的局。二話沒說5塊大洋拍在了桌上。上下左右打亮了一下這三個盒子，挑了一個最鍾意的。還沒等逃課打開手中的盒子，麻子大喊一聲＂且慢＂，隨即打開了自己手中的一個盒子，裏麵空空如也。麻子笑眯眯地問逃課＂你想不想換剩下的另一個盒子？＂ 逃課吃了一驚，心想這是什麽門道。難道他做弊挖了個坑等我跳？還沒等逃課回過神，看熱鬧的人群中山寨高聲嚷道＂這位客人不要上了麻子的當，換不換你得香蕉盒子的機會都是５成。還是守著你的初戀不換的好＂. 話音未落，另一個看客鋼絲笑岔了氣，＂客官你好運氣，趕緊換趕緊換，換了你得香蕉盒子的機會就比你原來的翻了一倍＂。
逃課聰明一世糊塗一時，覺的山寨鋼絲說的好象都有道理。你說呢？
很顯然，這道題本自著名的Monty Hall problem。對於這個問題的正確答案，已經爭論了上百年，爭論之聲至今不絕，以至於這個問題也被冠名為悖論，Bertrand's Box Paradox。
為何大家爭論不休呢？關鍵是大家都在紙上談兵，而都不去親自試一下。當然，像Martin Gardner那樣表達成three prisoners problem，事關生死，就不好試了。但可以玩遊戲。小家庭三四口人，重複玩它一兩百次，答案自明。這種玩法，還有個學名，叫Monte Carlo simulation。
具體到上麵的問題，山寨和鋼絲正好代表了兩種典型的意見，即
山寨：換不換都一樣。理由是打開一個盒子後，剩下兩個盒子的概率同時發生變化，都增加到1/2，還是相等
鋼絲：必須換。理由是打開一個盒子後，逃課選中的那個盒子的概率是不變的，仍是1/3；而剩下那一個盒子的概率增加到2/3，即增加一倍概率。
先說逃課的選擇：換。根本不用去考慮山寨和鋼絲誰說的對，隻要他們倆肯定有一個人說的對的話，那就換，因為這樣做不虧（山寨對，換不換一樣，換也不虧；鋼絲對，換就賺了，當然不虧）。
現在來談原來的問題，即三個盒子問題。
山寨的意見，代表一大部分受過高等教育的有識之士的看法，其中包括現代最偉大的數學家Paul Erdos。他們的主要論點是，一旦打開一個空盒子，那麽就變成了條件概率問題，剩下的兩個盒子哪個裏麵有東西，還是不知。如果現在來一個新人，讓他挑選一個，那兩個盒子的概率肯定是均等的，選哪個都一樣。這個新人，與盒子打開後的山寨麵臨的是同樣的問題，答案自然也一樣。
鋼絲的意見，代表人物是Marilyn vos Savant 和Martin Gardner，也都是響當當的人物，盡管比Paul Erdos要差幾個數量級。他們的主要論點是，原來選中的那個盒子裏麵有沒有東西的概率，已經定了，不受後來打開一個空盒的影響，並且把各種情形羅列了出來，作為證明。
平心而論，鋼絲們的這種“證明”，沒有讓我感到信服。
我現在試用我自己的證明方法，來讓我自己感到信服。
先把原題重新formulate一下：
1. 麻子網友把三個盒子並排擺放在桌麵上，其中一個裏麵有香蕉盒子
2. 逃課網友從中挑選了一個
3. 麻子網友把挑選出來的盒子放在最左邊，我們稱之為A盒
4. 麻子網友從另外兩個盒子裏，打開一個空盒，放在最右邊，我們稱之為C盒。
5. 剩下那一個放在中間，我們稱之為B盒。現在A、B、C三個盒子並排而列。
問題是逃課的A盒，要不要換成B盒呢？前麵已經說了答案，不管誰對誰錯，都換，隻賺不虧。
現在我們需要刨根問底一下：A、B盒裏有東西的概率是多少？是山寨的A（1/2）和B（1/2），還是鋼絲的A（1/3）和B（2/3）？
在未具體證明之前，先說答案：A（1/3）和B（2/3）
我還沒見到有人跟我一樣的解答過程，故下麵說的詳細一些：
但我們現在來做些鋪墊。
大家都有用Excel的經驗。Excel的背景一般是白色的。如果我們在一格裏用白色字體寫上“香蕉盒子”幾個字，你是看不出來的。但如果用鼠標按住左鍵掃過這個格子，這幾個字就顯影了。
另外一個是想象一下並排有幾個格子，其間的格板可以拉起來，把兩個格子合並成一個格子，也可以平移格子，使格子變長變短，還可以把格子提起來（連同裏麵的東西），放到另外的位置。
證明方法是采用並行演示的方法，後兩種顯而易見證明了概率分布是1/3 + 2/3，因此原題的結果也是1/3 + 2/3。
1.
a. 麻子網友把三個盒子並排擺放在桌麵上，其中一個裏麵有香蕉盒子
b. 在Excel的第一列頭3個格子裏，其中一個麻子網友用白色字體寫上“香蕉盒子”4個字
c. 麻子網友在並排三個可移動的格子裏，任選一個放進一個香蕉盒子
2.
a. 逃課網友從中挑選了一個
b. 逃課網友從中指定了一個Excel格子
c. 逃課網友在並排三個可移動格子裏，指定一個
3.
a. 麻子網友把挑選出來的盒子放在最左邊，我們稱之為A盒
b. 麻子網友把逃課網友指定的Excel那列，cut+insert到第一列，A列
c. 麻子網友把逃課網友指定的那個格子，移到第一個位置，A格
4.
a. 麻子網友從另外兩個盒子裏，打開一個空盒，放在最右邊，我們稱之為C盒
b. 麻子網友把Excel第一行的第2、3兩個格子，點merge，再點unmerge，則最右邊為空格。如果這兩個格子裏，不管哪個格子裏有“香蕉盒子”字樣，現在肯定在中間那個。第3列為C列。
c. 把移動格子裏麵第2、3格子中間的擋板拉開，2、3個變成一個格子。再把擋板在格子的外邊插下去，形成一個空格，C格。
5.
a. 剩下那一個放在中間，我們稱之為B盒。現在A、B、C三個盒子並排而列。
b. Excel第一行第2格，B格。現在A、B、C三個格子並排而列。
c. 可移動格子的A格和C格之間是拉開擋板而形成的格子，B格。
對於步驟b.和c.，沒有爭議的，可以看出是A(1/3) + B(2/3)。由此，原題的a.步驟，給出的也是A(1/3) + B(2/3)
證畢。
話說一日賭棍逃課路過了麻子開的賭莊。嗜賭如命的逃課哪有過賭莊不入的道理。施施然踱入院中。隻見麻子手指三個盒子在那裏大呼小叫＂我這裏有三個盒子，其中一個裏麵有個香蕉盒子。交上5塊錢你就可以猜一猜。猜中了香蕉盒子歸你＂。逃課眼珠一轉，心想天下竟有這等好事。這賭莊的老板大概是錢多的沒地方花，才設了個這麽個弱智的局。二話沒說5塊大洋拍在了桌上。上下左右打亮了一下這三個盒子，挑了一個最鍾意的。還沒等逃課打開手中的盒子，麻子大喊一聲＂且慢＂，隨即打開了自己手中的一個盒子，裏麵空空如也。麻子笑眯眯地問逃課＂你想不想換剩下的另一個盒子？＂ 逃課吃了一驚，心想這是什麽門道。難道他做弊挖了個坑等我跳？還沒等逃課回過神，看熱鬧的人群中山寨高聲嚷道＂這位客人不要上了麻子的當，換不換你得香蕉盒子的機會都是５成。還是守著你的初戀不換的好＂. 話音未落，另一個看客鋼絲笑岔了氣，＂客官你好運氣，趕緊換趕緊換，換了你得香蕉盒子的機會就比你原來的翻了一倍＂。
逃課聰明一世糊塗一時，覺的山寨鋼絲說的好象都有道理。你說呢？
很顯然，這道題本自著名的Monty Hall problem。對於這個問題的正確答案，已經爭論了上百年，爭論之聲至今不絕，以至於這個問題也被冠名為悖論，Bertrand's Box Paradox。
為何大家爭論不休呢？關鍵是大家都在紙上談兵，而都不去親自試一下。當然，像Martin Gardner那樣表達成three prisoners problem，事關生死，就不好試了。但可以玩遊戲。小家庭三四口人，重複玩它一兩百次，答案自明。這種玩法，還有個學名，叫Monte Carlo simulation。
具體到上麵的問題，山寨和鋼絲正好代表了兩種典型的意見，即
山寨：換不換都一樣。理由是打開一個盒子後，剩下兩個盒子的概率同時發生變化，都增加到1/2，還是相等
鋼絲：必須換。理由是打開一個盒子後，逃課選中的那個盒子的概率是不變的，仍是1/3；而剩下那一個盒子的概率增加到2/3，即增加一倍概率。
先說逃課的選擇：換。根本不用去考慮山寨和鋼絲誰說的對，隻要他們倆肯定有一個人說的對的話，那就換，因為這樣做不虧（山寨對，換不換一樣，換也不虧；鋼絲對，換就賺了，當然不虧）。
現在來談原來的問題，即三個盒子問題。
山寨的意見，代表一大部分受過高等教育的有識之士的看法，其中包括現代最偉大的數學家Paul Erdos。他們的主要論點是，一旦打開一個空盒子，那麽就變成了條件概率問題，剩下的兩個盒子哪個裏麵有東西，還是不知。如果現在來一個新人，讓他挑選一個，那兩個盒子的概率肯定是均等的，選哪個都一樣。這個新人，與盒子打開後的山寨麵臨的是同樣的問題，答案自然也一樣。
鋼絲的意見，代表人物是Marilyn vos Savant 和Martin Gardner，也都是響當當的人物，盡管比Paul Erdos要差幾個數量級。他們的主要論點是，原來選中的那個盒子裏麵有沒有東西的概率，已經定了，不受後來打開一個空盒的影響，並且把各種情形羅列了出來，作為證明。
平心而論，鋼絲們的這種“證明”，沒有讓我感到信服。
我現在試用我自己的證明方法，來讓我自己感到信服。
先把原題重新formulate一下：
1. 麻子網友把三個盒子並排擺放在桌麵上，其中一個裏麵有香蕉盒子
2. 逃課網友從中挑選了一個
3. 麻子網友把挑選出來的盒子放在最左邊，我們稱之為A盒
4. 麻子網友從另外兩個盒子裏，打開一個空盒，放在最右邊，我們稱之為C盒。
5. 剩下那一個放在中間，我們稱之為B盒。現在A、B、C三個盒子並排而列。
問題是逃課的A盒，要不要換成B盒呢？前麵已經說了答案，不管誰對誰錯，都換，隻賺不虧。
現在我們需要刨根問底一下：A、B盒裏有東西的概率是多少？是山寨的A（1/2）和B（1/2），還是鋼絲的A（1/3）和B（2/3）？
在未具體證明之前，先說答案：A（1/3）和B（2/3）
我還沒見到有人跟我一樣的解答過程，故下麵說的詳細一些：
但我們現在來做些鋪墊。
大家都有用Excel的經驗。Excel的背景一般是白色的。如果我們在一格裏用白色字體寫上“香蕉盒子”幾個字，你是看不出來的。但如果用鼠標按住左鍵掃過這個格子，這幾個字就顯影了。
另外一個是想象一下並排有幾個格子，其間的格板可以拉起來，把兩個格子合並成一個格子，也可以平移格子，使格子變長變短，還可以把格子提起來（連同裏麵的東西），放到另外的位置。
證明方法是采用並行演示的方法，後兩種顯而易見證明了概率分布是1/3 + 2/3，因此原題的結果也是1/3 + 2/3。
1.
a. 麻子網友把三個盒子並排擺放在桌麵上，其中一個裏麵有香蕉盒子
b. 在Excel的第一列頭3個格子裏，其中一個麻子網友用白色字體寫上“香蕉盒子”4個字
c. 麻子網友在並排三個可移動的格子裏，任選一個放進一個香蕉盒子
2.
a. 逃課網友從中挑選了一個
b. 逃課網友從中指定了一個Excel格子
c. 逃課網友在並排三個可移動格子裏，指定一個
3.
a. 麻子網友把挑選出來的盒子放在最左邊，我們稱之為A盒
b. 麻子網友把逃課網友指定的Excel那列，cut+insert到第一列，A列
c. 麻子網友把逃課網友指定的那個格子，移到第一個位置，A格
4.
a. 麻子網友從另外兩個盒子裏，打開一個空盒，放在最右邊，我們稱之為C盒
b. 麻子網友把Excel第一行的第2、3兩個格子，點merge，再點unmerge，則最右邊為空格。如果這兩個格子裏，不管哪個格子裏有“香蕉盒子”字樣，現在肯定在中間那個。第3列為C列。
c. 把移動格子裏麵第2、3格子中間的擋板拉開，2、3個變成一個格子。再把擋板在格子的外邊插下去，形成一個空格，C格。
5.
a. 剩下那一個放在中間，我們稱之為B盒。現在A、B、C三個盒子並排而列。
b. Excel第一行第2格，B格。現在A、B、C三個格子並排而列。
c. 可移動格子的A格和C格之間是拉開擋板而形成的格子，B格。
對於步驟b.和c.，沒有爭議的，可以看出是A(1/3) + B(2/3)。由此，原題的a.步驟，給出的也是A(1/3) + B(2/3)
證畢。
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