趣味數學(二) 囚徒的困惑

一個監獄裏有甲，乙，丙三個囚徒。有一天，他們聽到了一個既期待又恐慌的消息：監獄管理層已經在他們三人中，隨機選一人執行極刑，而剩下的兩人將無罪釋放。囚徒甲悄悄地問看守，因為乙和丙肯定有一個會被釋放，能否告訴他，哪一個會被釋放？

看守認真的想了想，然後很誠懇地說：我不能告訴你，因為這對你不公平。你現在有極刑的概率是1/3。假如我告訴你乙或者丙被釋放，你有極刑的概率就變成了1/2了。

囚徒甲有點困惑。各囚徒的命運早已決定了，豈能因為看守偷偷說了什麽而改變？看守的解釋似是而非，到底錯在哪裏？

聰明的讀者能幫忙解惑嗎？

首先，看守的解釋肯定有問題。設想一下，如果他偷偷地告訴甲，乙將被釋放，甲被執行極刑的概率變成了1/2，那麽，他完全可以如法炮製，偷偷地告訴乙，再偷偷地告訴丙，這樣，三人被執行極刑的概率豈不都變成了1/2？於是三人中有一人被執行極刑的概率就變成了3/2，這怎麽可能？

這個問題和前麵的跑車與驢有點類似。

我們用（X，Y，Z，T）表示：甲有結果X，乙有結果Y和丙有結果Z並且看守告之T將被釋放。比如，（刑，放，放，乙）是指：乙和丙被釋放，看守告訴甲乙將被釋放。當然，看守也可告之丙將被釋放，這就是（刑，放，放，丙）了。這樣，所有可能的結果是：

1：（刑，放，放，乙）
2：（刑，放，放，丙）
3：（放，刑，放，丙）
4：（放，放，刑，乙）

雖然總共有四種結果，1和2合起來的概率是1/3。看守的錯誤在於他把四種結果當成等可能了。

概率論中有不少有悖於直觀的例子。比如說，著名的卡片悖論：口袋裏有三張卡片，一張兩麵皆黑，一張兩麵皆白，還有一張一麵白一麵黑。現在從中取出一張卡片平放在桌上，發現是黑的，問另一麵也是黑的概率幾何？

這個問題，很多人會得出1/2的答案。為什麽呢？因為總共有兩張有黑麵的卡，現在知道抽取的卡是兩張中的一張，所以是兩麵全黑的卡的概率是1/2.  想想看，這裏犯了什麽錯誤？

正確的解法如下：用（XY，Z）表示卡片一麵是X，一麵是Y，並且向上的一麵是Z。這樣，所有可能的結果就是：

1：（BB，B）
2：（WW，W）
3：（BW，B）
4：（BW，W）

其中，1和2出現的概率均是1/3而3和4出現的概率分別是1/6。用條件概率計算公式，P(1|向上一麵是黑)=P(BB)/{P(1)+P(3)}=(1/3)/{1/3+1/6}=2/3.

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