2010年江蘇高考數學試題一、填空題 1、設集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B=，則實數a=______▲________ 2、設複數z滿足z(2-3i)=6+4i（其中i為虛數單位），則z的模為______▲________ 3、盒子中有大小相同的3隻小球，1隻黑球，若從中隨機地摸出兩隻球，兩隻球顏色不同的概率是_▲__ 4、某棉紡廠為了了解一批棉花的質量，從中隨機抽取了100根棉花纖維的長度（棉花纖維的長度是棉花質量的重要指標），所得數據都在區間 [5,40]中，其頻率分布直方圖如圖所示，則其抽樣的100根中，有_▲___根在棉花纖維的長度小於20mm。 5、設函數f(x)=x(ex+ae-x),x∈R，是偶函數，則實數a=_______▲_________ 6、在平麵直角坐標係xOy中，雙曲線上一點M，點M的橫坐標是3，則M到雙曲線右焦點的距離是___▲_______ 7、右圖是一個算法的流程圖，則輸出S的值是______▲_______
8、函數y=x2(x>0)的圖像在點(ak,ak2) 處的切線與x軸交點的橫坐標為ak+1,k為正整數，a1=16，則a1+a3+a5=____▲_____ 9、在平麵直角坐標係xOy中，已知圓上有且僅有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為 1，則實數c的取值範圍是______▲_____ 10、定義在區間上的函數y=6cosx的圖像與y=5tanx的圖像的交點為P，過點P作PP1⊥x軸於點P1,直線PP1與y=sinx的圖像交於點P2, 則線段P1P2的長為_______▲_____ 11、已知函數,則滿足不等式的x的範圍是____▲____ 12、設實數x,y滿足3≤≤8，4≤≤9，則的最大值是_____▲____ 13、在銳角三角形ABC，A、B、C的對邊分別為a、b、c，，則__▲ 14、將邊長為1的正三角形薄片，沿一條平行於底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S=,則S的最小值是_______▲_______ 二、解答題 15、（14分）在平麵直角坐標係xOy中，點A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1) (1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長 (2)設實數t滿足()·=0，求t的值 16、（14分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥平麵ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=900 (1)求證：PC⊥BC (2)求點A到平麵PBC的距離 17、（14分）某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位m），如示意圖，垂直放置的標杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β (1)該小組已經測得一組α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,請據此算出H的值 (2)該小組分析若幹測得的數據後，發現適當調整標杆到電視塔的距離d（單位m），使α與β之差較大，可以提高測量精確度，若電視塔實際高度為 125m，問d為多少時，α-β最大 18.（16分）在平麵直角坐標係中，如圖，已知橢圓的左右頂點為A,B，右頂點為F，設過點T（）的直線TA,TB與橢圓分別交於點M，，其中m>0, ①設動點P滿足,求點P的軌跡 ②設，求點T的坐標 ③設,求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關） 19．（16分）設各項均為正數的數列的前n項和為，已知，數列是公差為的等差數列. ①求數列的通項公式（用表示） ②設為實數，對滿足的任意正整數，不等式都成立。求證：的最大值為 20.（16分）設使定義在區間上的函數，其導函數為.如果存在實數和函數，其中對任意的都有>0，使得，則稱函數具有性質. (1)設函數，其中為實數 ①求證：函數具有性質 ②求函數的單調區間 (2)已知函數具有性質，給定，，且，若||<||,求的取值範圍
8、函數y=x2(x>0)的圖像在點(ak,ak2) 處的切線與x軸交點的橫坐標為ak+1,k為正整數，a1=16，則a1+a3+a5=____▲_____ 9、在平麵直角坐標係xOy中，已知圓上有且僅有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為 1，則實數c的取值範圍是______▲_____ 10、定義在區間上的函數y=6cosx的圖像與y=5tanx的圖像的交點為P，過點P作PP1⊥x軸於點P1,直線PP1與y=sinx的圖像交於點P2, 則線段P1P2的長為_______▲_____ 11、已知函數,則滿足不等式的x的範圍是____▲____ 12、設實數x,y滿足3≤≤8，4≤≤9，則的最大值是_____▲____ 13、在銳角三角形ABC，A、B、C的對邊分別為a、b、c，，則__▲ 14、將邊長為1的正三角形薄片，沿一條平行於底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S=,則S的最小值是_______▲_______ 二、解答題 15、（14分）在平麵直角坐標係xOy中，點A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1) (1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長 (2)設實數t滿足()·=0，求t的值 16、（14分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥平麵ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=900 (1)求證：PC⊥BC (2)求點A到平麵PBC的距離 17、（14分）某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位m），如示意圖，垂直放置的標杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β (1)該小組已經測得一組α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,請據此算出H的值 (2)該小組分析若幹測得的數據後，發現適當調整標杆到電視塔的距離d（單位m），使α與β之差較大，可以提高測量精確度，若電視塔實際高度為 125m，問d為多少時，α-β最大 18.（16分）在平麵直角坐標係中，如圖，已知橢圓的左右頂點為A,B，右頂點為F，設過點T（）的直線TA,TB與橢圓分別交於點M，，其中m>0, ①設動點P滿足,求點P的軌跡 ②設，求點T的坐標 ③設,求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關） 19．（16分）設各項均為正數的數列的前n項和為，已知，數列是公差為的等差數列. ①求數列的通項公式（用表示） ②設為實數，對滿足的任意正整數，不等式都成立。求證：的最大值為 20.（16分）設使定義在區間上的函數，其導函數為.如果存在實數和函數，其中對任意的都有>0，使得，則稱函數具有性質. (1)設函數，其中為實數 ①求證：函數具有性質 ②求函數的單調區間 (2)已知函數具有性質，給定，，且，若||<||,求的取值範圍
【理科附加題】 21（從以下四個題中任選兩個作答，每題10分） (1)幾何證明選講 AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點，過點D作⊙O的切線交AB延長線於C，若DA=DC，求證AB=2BC (2)矩陣與變換在平麵直角坐標係xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),設k≠0，k∈R，M=,N=,點A、B、C在矩陣MN對應的變換下得到點A1,B1,C1,△A1B1C1的麵積是△ABC麵積的2倍，求實數k的值 (3)參數方程與極坐標在極坐標係中，圓ρ=2cosθ與直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求實數a的值 (4)不等式證明選講已知實數a,b≥0，求證： 22、（10分）某廠生產甲、乙兩種產品，生產甲產品一等品80%，二等品20%；生產乙產品，一等品90%，二等品10%。生產一件甲產品，如果是一等品可獲利4萬元，若是二等品則要虧損1萬元；生產一件乙產品，如果是一等品可獲利6萬元，若是二等品則要虧損2萬元。設生產各種產品相互獨立（1）記x（單位：萬元）為生產1件甲產品和件乙產品可獲得的總利潤，求x的分布列（2）求生產4件甲產品所獲得的利潤不少於10萬元的概率 23、（10分）已知△ABC的三邊長為有理數（1）求證cosA是有理數（2）對任意正整數n，求證cosnA也是有理數
