依次任取7個小於等於10的正整數，求其和為20的概率？
解：
I. 依次任取7個小於等於10的正整數，共有10^7組數組。令其和為20的數組的組數為Z組。其和為20的概率就是Z/10^7。現在來求Z。
II. 多項式冪的展開過程
首先，看一個二項式的平方(x+ x^2)^2的展開：
(x+ x^2)^2
= (x+ x^2)*(x+ x^2)
二項式依次相乘
= x*x + x* x^2 + x^2* x + x^2*x ^2
一個二項式中的每一項與另一個二項式中的每一項依次相乘，共得2^2=4項；
= x^(1+1) + x^(1+2) + x^(2+1) + x^(2+2)
每一項都是2個同底數x的冪相乘，其指數相加。而相加的指數恰對應了一組2個小於等於2的正整數；
= x^2 + x^3 + x^3 + x^4
每一項都是x的冪，其指數是上式指數相加的和；
= x^2 + 2x^3 + x^4
合並同類項，x的次數從2到4。每一項的係數恰等於2個小於等於2的，其和為該項指數的正整數組的組數。具體來講，
2個小於等於2的，其和為2的正整數組的組數是1；
2個小於等於2的，其和為3的正整數組的組數是2；
2個小於等於2的，其和為4的正整數組的組數是1。
同樣，當把一個十項式的七次方 (x + x^2 + x^3+ … + x^10)^7展開，也經曆同樣的過程：
1．十項式依次相乘；
2．一個十項式中的每一項與其它六個十項式中的每一項依次相乘，共得10^7項；
3．每一項都是7個同底數x的冪相乘，其指數相加。而相加的指數恰對應了一組7個小於等於10的正整數；
4．指數相加後，所得每一項仍是x的冪，其指數是上一步指數相加的和；
5．合並同類項，x的次數從1*7=7到10*7=70。每一項的係數恰等於7個小於等於10的，其和為該項指數的正整數組的組數。
因此，7個小於等於10的，其和為20的正整數組的組數Z恰是x^20這一項的係數。
Z = (x + x^2 + x^3+ … + x^10)^7展開後，x^20這一項的係數
所以，問題轉換成求(x + x^2 + x^3+ … + x^10)^7展開後，x^20這一項的係數。
III. 但是，(x + x^2 + x^3+ … + x^10)^7 = x^7*(1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7。所以，
(x + x^2 + x^3+ … + x^10)^7展開後，x^20這一項的係數 = (1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7展開後，x^13這一項的係數。
Z = (1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7展開後，x^13這一項的係數。
IV. 求x^13這一項的係數
真要展開 (1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7是一項沉重的工作，所幸我們隻需它的x^13這一項的係數。
等比數列前十項和: 1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9 = (1 - x^10) / (1 - x) 。
(1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7 = ((1 - x^10) / (1 - x))^7 = (1 - x^10) ^7 * (1 - x)^(-7)。這樣，(1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7可看成(1 - x^10) ^7 和 (1 - x)^(-7)的乘積。而它們又分別可展開成冪級數的和。
展開二項式(1 - x^10) ^7:
(1 - x^10) ^7 = 1 – 7x^10 + 21x^20 - … ---------------------------------------------------------(1)
隻有前兩項的次數不大於13。其餘項次數大於13不會影響 (1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7 的項x^13係數的構成。
分式 (1 - x)^(-7) 可按麥克勞林級數展開。
f(x) = (1 - x)^(-7) = SUM|(0 <= n < 00) (d^n f(x) / dx^n (x = 0)) * x^n / n! ----------------------(2)
(1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7展開式就是(1)，(2) 兩式相乘後合並同類項。
因為我們隻感興趣於(1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7 的展開式項x^13的係數，相應於(1 - x^10) ^7展開式中隻有1 和-7x^10兩項會對此作出貢獻， (1 - x)^(-7) 的麥克勞林級數展開式中隻有x^13 和x^3兩項會對此作出貢獻。
項x^3的係數為: (d^3 f(x) / dx^3 (x = 0)) / 3! = (d^3 ((1 - x)^(-7)) / dx^3 (x = 0)) / 3! = 7*8*9/6 = 84。
項x^13的係數為: (d^13 f(x) / dx^13 (x = 0)) / 13! = (d^13 ((1 - x)^(-7)) / dx^13 (x = 0)) / 13! = 7*8*9*… *19/13! = 27132。
結果，(1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7 展開式的項x^13 = 1* 27132x^13 - 7x^10 * 84x^3 = (27132-588) x^13 = 26544 x^13。
Z = (1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7展開後，x^13這一項的係數 = 26544。
概率: Z / 10^7 = 26544 / 10^7 = 0.0026544。
***********************************************************************
討論：
1．直取 ((1 - x^10) / (1 - x))^7在x = 0處的第13次導數，然後除以13!
Z = (d^13 ((1 - x^10) / (1 - x))^7 / dx^13 (x = 0)) * x^13 / 13!
= (d^13 (1 - x^10)^7 * (1 - x)^(-7) / dx^13 (x = 0)) * x^13 / 13!
=？
2．用類似方法求其和為17，18，19，20，21，22，23，… 的概率？
解：
I. 依次任取7個小於等於10的正整數，共有10^7組數組。令其和為20的數組的組數為Z組。其和為20的概率就是Z/10^7。現在來求Z。
II. 多項式冪的展開過程
首先，看一個二項式的平方(x+ x^2)^2的展開：
(x+ x^2)^2
= (x+ x^2)*(x+ x^2)
二項式依次相乘
= x*x + x* x^2 + x^2* x + x^2*x ^2
一個二項式中的每一項與另一個二項式中的每一項依次相乘，共得2^2=4項；
= x^(1+1) + x^(1+2) + x^(2+1) + x^(2+2)
每一項都是2個同底數x的冪相乘，其指數相加。而相加的指數恰對應了一組2個小於等於2的正整數；
= x^2 + x^3 + x^3 + x^4
每一項都是x的冪，其指數是上式指數相加的和；
= x^2 + 2x^3 + x^4
合並同類項，x的次數從2到4。每一項的係數恰等於2個小於等於2的，其和為該項指數的正整數組的組數。具體來講，
2個小於等於2的，其和為2的正整數組的組數是1；
2個小於等於2的，其和為3的正整數組的組數是2；
2個小於等於2的，其和為4的正整數組的組數是1。
同樣，當把一個十項式的七次方 (x + x^2 + x^3+ … + x^10)^7展開，也經曆同樣的過程：
1．十項式依次相乘；
2．一個十項式中的每一項與其它六個十項式中的每一項依次相乘，共得10^7項；
3．每一項都是7個同底數x的冪相乘，其指數相加。而相加的指數恰對應了一組7個小於等於10的正整數；
4．指數相加後，所得每一項仍是x的冪，其指數是上一步指數相加的和；
5．合並同類項，x的次數從1*7=7到10*7=70。每一項的係數恰等於7個小於等於10的，其和為該項指數的正整數組的組數。
因此，7個小於等於10的，其和為20的正整數組的組數Z恰是x^20這一項的係數。
Z = (x + x^2 + x^3+ … + x^10)^7展開後，x^20這一項的係數
所以，問題轉換成求(x + x^2 + x^3+ … + x^10)^7展開後，x^20這一項的係數。
III. 但是，(x + x^2 + x^3+ … + x^10)^7 = x^7*(1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7。所以，
(x + x^2 + x^3+ … + x^10)^7展開後，x^20這一項的係數 = (1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7展開後，x^13這一項的係數。
Z = (1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7展開後，x^13這一項的係數。
IV. 求x^13這一項的係數
真要展開 (1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7是一項沉重的工作，所幸我們隻需它的x^13這一項的係數。
等比數列前十項和: 1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9 = (1 - x^10) / (1 - x) 。
(1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7 = ((1 - x^10) / (1 - x))^7 = (1 - x^10) ^7 * (1 - x)^(-7)。這樣，(1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7可看成(1 - x^10) ^7 和 (1 - x)^(-7)的乘積。而它們又分別可展開成冪級數的和。
展開二項式(1 - x^10) ^7:
(1 - x^10) ^7 = 1 – 7x^10 + 21x^20 - … ---------------------------------------------------------(1)
隻有前兩項的次數不大於13。其餘項次數大於13不會影響 (1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7 的項x^13係數的構成。
分式 (1 - x)^(-7) 可按麥克勞林級數展開。
f(x) = (1 - x)^(-7) = SUM|(0 <= n < 00) (d^n f(x) / dx^n (x = 0)) * x^n / n! ----------------------(2)
(1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7展開式就是(1)，(2) 兩式相乘後合並同類項。
因為我們隻感興趣於(1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7 的展開式項x^13的係數，相應於(1 - x^10) ^7展開式中隻有1 和-7x^10兩項會對此作出貢獻， (1 - x)^(-7) 的麥克勞林級數展開式中隻有x^13 和x^3兩項會對此作出貢獻。
項x^3的係數為: (d^3 f(x) / dx^3 (x = 0)) / 3! = (d^3 ((1 - x)^(-7)) / dx^3 (x = 0)) / 3! = 7*8*9/6 = 84。
項x^13的係數為: (d^13 f(x) / dx^13 (x = 0)) / 13! = (d^13 ((1 - x)^(-7)) / dx^13 (x = 0)) / 13! = 7*8*9*… *19/13! = 27132。
結果，(1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7 展開式的項x^13 = 1* 27132x^13 - 7x^10 * 84x^3 = (27132-588) x^13 = 26544 x^13。
Z = (1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7展開後，x^13這一項的係數 = 26544。
概率: Z / 10^7 = 26544 / 10^7 = 0.0026544。
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討論：
1．直取 ((1 - x^10) / (1 - x))^7在x = 0處的第13次導數，然後除以13!
Z = (d^13 ((1 - x^10) / (1 - x))^7 / dx^13 (x = 0)) * x^13 / 13!
= (d^13 (1 - x^10)^7 * (1 - x)^(-7) / dx^13 (x = 0)) * x^13 / 13!
=？
2．用類似方法求其和為17，18，19，20，21，22，23，… 的概率？
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