地上有無數相距為一的線。
隨機在地上扔一棍，求棍壓線的幾率。
解：
一．先考慮一根線的情況。
棍壓此線與否，取決於三因素:
1. 棍的長度。棍愈長，愈容易壓線。令棍長為L。
2. 棍的位置。棍的位置由其中心的位置來代表，令其中心到線的距離為rr，rr >= 0。rr愈小，愈容易壓線。
3. 棍與線的夾角（取銳，直角）。令棍與線的夾角為A。A愈大，愈容易壓線。0 <= A <= 0.5pi。
據此可畫一圖，從而發現：
1. 棍的某一端正好壓在此線上當且僅當rr = 0.5L*sinA;
2. 棍的中部壓在此線上當且僅當rr < 0.5L*sinA;
3. 棍沒壓在此線上當且僅當rr > 0.5L*sinA。
總結起來，
引理1: 棍壓此線當且僅當rr <= 0.5L*sinA。
二．再考慮無數等距線的情況。
第四個影響棍壓線與否的因素是線距。線距愈近，愈容易壓線。線距現已定為一，更一般化，不妨定為d。令棍長仍為L, 棍與任何線(等距線是平行的)的夾角仍為A。
引理2: 地上任何一點離等距線的最近一條線的距離不超過等距線線距的一半，0.5d。
令棍的中心到等距線的最近一條線（簡稱最近線）的距離為r，則根據引理2，得
引理3: 0 <= r <= 0.5d。
引理4: 棍壓到等距線當且僅當棍壓到最近線。
證明：
1）棍壓到等距線中某線，令棍的中心到此線的距離為rr，則r <= rr。此外，根據引理1，rr <= 0.5L*sinA，所以r <= 0.5L*sinA。所以，仍然根據引理1，棍壓到最近線。
2）棍沒壓到等距線中任何線，所以，棍沒壓到最近線。
證明畢。
當線距d和棍長L確定後，壓線與否僅取決於棍的位置r和棍與線的夾角A。以此作一個以A為橫座標，以r為縱座標的直角座標係。
1. 根據引理4，棍壓到或沒壓到等距線的情況也就是棍壓到或沒壓到最近線的情況。根據引理3和A的定義，棍壓到或沒壓到最近線的情況都包括在0 <= r <= 0.5d，和0 <= A <= 0.5pi之中。取對r和A在此區域的二重定積分，就是S1 = 0.5d*0.5pi = 0.25d*pi，即以0.5d和0.5pi為邊長的矩形麵積。
2. 棍壓到等距線的情況也就是棍壓到最近線的情況，而棍壓到最近線的情況，根據引理1，引理3和A的定義，就包括在0 <= r <= 0.5L*sinA，0 <= r <= 0.5d，和0 <= A <= 0.5pi之中。此時，r要不大於0.5L*sinA和0.5d中的小者。因此，分兩種情況，對r和A在此區域取二重定積分，就是
1）對所有A, 0 <= A <= 0.5pi, 0.5L*sinA <= 0.5L <= 0.5d （即L <= d，棍不比線距長）
S2 = integral|(0, 0.5pi) integral|(0, 0.5L*sinA) dr dA
= integral|(0, 0.5pi) 0.5L*sinA dA
= - 0.5L*(cosA |0, 0.5pi)
= - 0.5L*(cos0.5pi - cos0)
= 0.5L
2）對有些A, 0 <= A <= 0.5pi, 0.5d <= 0.5L*sinA <= 0.5L（即d <= L，棍不比線距短）
令0 <= B <= 0.5pi，d = L*sinB。則sinB = d/L, B = arc sin(d/L),和cosB = sqrt(1-(d/L)^2)
另一方麵，當0 <= A <= 0.5pi, sinA 是個增函數。所以，當0 <= A <= B, sinA <= sinB, 也就是0.5L*sinA <= 0.5L*sinB = 0.5d ；當B <= A <= 0.5pi, 0.5d <= 0.5L*sinA。因此，二重定積分S2由兩部分構成：
S2 = integral|(0, B) integral|(0, 0.5L*sinA) dr dA + integral|(B, 0.5pi) integral|(0, 0.5d) dr dA
= integral|(0, B) 0.5L*sinA dA + integral|(B, 0.5pi) 0.5d dA
= - 0.5L*(cosA |(0, B))+ 0.5d*(0.5pi - B)
= - 0.5L*(cosB - cos0))+ 0.5d*(0.5pi - B)
= 0.5L*(1 - sqrt(1-(d/L)^2))+ 0.5d*(0.5pi - arc sin(d/L))
3. 壓線的幾率就是兩個二重積分的比: S2/S1。
1）當棍不比線距長，L <= d。
S2/S1 = 0.5L / 0.25d*pi = 2L /d*pi。
因為 0 < L <= d，0 < 壓線的幾率 <= 2/pi。棍越短，壓線幾率越小；壓線幾率的上限為2/pi。
當線距d = 1，壓線的幾率就是2L /pi。
2）當棍不比線距短，d <= L。
S2/S1 = (0.5L*(1 - sqrt(1-(d/L)^2))+ 0.5d*(0.5pi - arc sin(d/L)))/0.25d*pi
= 2L(1 - sqrt(1-(d/L)^2)/d*pi + 1 - 2arc sin(d/L)/pi。
因為d <= L < 無窮大，2/pi <= 壓線的幾率 < 1。壓線幾率的下限為2/pi；隨棍加長，壓線幾率趨於100%。
當線距d = 1，壓線的幾率就是2L(1 - sqrt(1-(1/L)^2)/pi + 1 - 2arc sin(1/L)/pi。
隨機在地上扔一棍，求棍壓線的幾率。
解：
一．先考慮一根線的情況。
棍壓此線與否，取決於三因素:
1. 棍的長度。棍愈長，愈容易壓線。令棍長為L。
2. 棍的位置。棍的位置由其中心的位置來代表，令其中心到線的距離為rr，rr >= 0。rr愈小，愈容易壓線。
3. 棍與線的夾角（取銳，直角）。令棍與線的夾角為A。A愈大，愈容易壓線。0 <= A <= 0.5pi。
據此可畫一圖，從而發現：
1. 棍的某一端正好壓在此線上當且僅當rr = 0.5L*sinA;
2. 棍的中部壓在此線上當且僅當rr < 0.5L*sinA;
3. 棍沒壓在此線上當且僅當rr > 0.5L*sinA。
總結起來，
引理1: 棍壓此線當且僅當rr <= 0.5L*sinA。
二．再考慮無數等距線的情況。
第四個影響棍壓線與否的因素是線距。線距愈近，愈容易壓線。線距現已定為一，更一般化，不妨定為d。令棍長仍為L, 棍與任何線(等距線是平行的)的夾角仍為A。
引理2: 地上任何一點離等距線的最近一條線的距離不超過等距線線距的一半，0.5d。
令棍的中心到等距線的最近一條線（簡稱最近線）的距離為r，則根據引理2，得
引理3: 0 <= r <= 0.5d。
引理4: 棍壓到等距線當且僅當棍壓到最近線。
證明：
1）棍壓到等距線中某線，令棍的中心到此線的距離為rr，則r <= rr。此外，根據引理1，rr <= 0.5L*sinA，所以r <= 0.5L*sinA。所以，仍然根據引理1，棍壓到最近線。
2）棍沒壓到等距線中任何線，所以，棍沒壓到最近線。
證明畢。
當線距d和棍長L確定後，壓線與否僅取決於棍的位置r和棍與線的夾角A。以此作一個以A為橫座標，以r為縱座標的直角座標係。
1. 根據引理4，棍壓到或沒壓到等距線的情況也就是棍壓到或沒壓到最近線的情況。根據引理3和A的定義，棍壓到或沒壓到最近線的情況都包括在0 <= r <= 0.5d，和0 <= A <= 0.5pi之中。取對r和A在此區域的二重定積分，就是S1 = 0.5d*0.5pi = 0.25d*pi，即以0.5d和0.5pi為邊長的矩形麵積。
2. 棍壓到等距線的情況也就是棍壓到最近線的情況，而棍壓到最近線的情況，根據引理1，引理3和A的定義，就包括在0 <= r <= 0.5L*sinA，0 <= r <= 0.5d，和0 <= A <= 0.5pi之中。此時，r要不大於0.5L*sinA和0.5d中的小者。因此，分兩種情況，對r和A在此區域取二重定積分，就是
1）對所有A, 0 <= A <= 0.5pi, 0.5L*sinA <= 0.5L <= 0.5d （即L <= d，棍不比線距長）
S2 = integral|(0, 0.5pi) integral|(0, 0.5L*sinA) dr dA
= integral|(0, 0.5pi) 0.5L*sinA dA
= - 0.5L*(cosA |0, 0.5pi)
= - 0.5L*(cos0.5pi - cos0)
= 0.5L
2）對有些A, 0 <= A <= 0.5pi, 0.5d <= 0.5L*sinA <= 0.5L（即d <= L，棍不比線距短）
令0 <= B <= 0.5pi，d = L*sinB。則sinB = d/L, B = arc sin(d/L),和cosB = sqrt(1-(d/L)^2)
另一方麵，當0 <= A <= 0.5pi, sinA 是個增函數。所以，當0 <= A <= B, sinA <= sinB, 也就是0.5L*sinA <= 0.5L*sinB = 0.5d ；當B <= A <= 0.5pi, 0.5d <= 0.5L*sinA。因此，二重定積分S2由兩部分構成：
S2 = integral|(0, B) integral|(0, 0.5L*sinA) dr dA + integral|(B, 0.5pi) integral|(0, 0.5d) dr dA
= integral|(0, B) 0.5L*sinA dA + integral|(B, 0.5pi) 0.5d dA
= - 0.5L*(cosA |(0, B))+ 0.5d*(0.5pi - B)
= - 0.5L*(cosB - cos0))+ 0.5d*(0.5pi - B)
= 0.5L*(1 - sqrt(1-(d/L)^2))+ 0.5d*(0.5pi - arc sin(d/L))
3. 壓線的幾率就是兩個二重積分的比: S2/S1。
1）當棍不比線距長，L <= d。
S2/S1 = 0.5L / 0.25d*pi = 2L /d*pi。
因為 0 < L <= d，0 < 壓線的幾率 <= 2/pi。棍越短，壓線幾率越小；壓線幾率的上限為2/pi。
當線距d = 1，壓線的幾率就是2L /pi。
2）當棍不比線距短，d <= L。
S2/S1 = (0.5L*(1 - sqrt(1-(d/L)^2))+ 0.5d*(0.5pi - arc sin(d/L)))/0.25d*pi
= 2L(1 - sqrt(1-(d/L)^2)/d*pi + 1 - 2arc sin(d/L)/pi。
因為d <= L < 無窮大，2/pi <= 壓線的幾率 < 1。壓線幾率的下限為2/pi；隨棍加長，壓線幾率趨於100%。
當線距d = 1，壓線的幾率就是2L(1 - sqrt(1-(1/L)^2)/pi + 1 - 2arc sin(1/L)/pi。
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