完整答案

將這2009個人，看作平麵上的點。如果兩人是朋友，就用線段連起來。因為其中任意兩個人都有而且僅有一個共同朋友，所以不可能存在四邊形。合理的圖案是，初始圖案為一個三角形，然後將已有圖案上的同一個頂點（設為0）和其他還沒有連入圖案的兩點連成三角形。如此即可得這2009人之間的關係。即以0為頂點但無公共邊的一組三角形。顯然，這些人中朋友最多的必須有2008個朋友。朋友最少的也必須有2個朋友。

易證3個人是三角形，4個人時不存在任意兩人都有且隻有一個朋友（我假定朋友關係是互反的）這種狀態。五人(n=5)時是共用一個頂點兩個三角形，設為0，即{0，1，2}， {0，3，4} （{a,b,c}表示a,b,c兩兩之間是朋友。）

假定n=2k+1人時成立，即關係為以0為頂點但無公共邊的一組三角形：{0，1，2}，...，{0, 2k-1, 2k}.

n=2k+2時，將2k+1加入圖案（原來的2k+1人之間任意兩人都有且隻有一個朋友），設0和2k+1的公共朋友為a,這樣我們有了一個三角形{0, a, 2k+1}, 但是a在原來的某個三角形上，設為{0,a,b}.
於是0和a有了兩個公共朋友，矛盾。因此n為偶數時，不存在任意兩人都有且隻有一個朋友（我假定朋友關係是互反的）這種狀態

n=2k+3時，將2k+1和2k+2加入圖案（原來的2k+1人之間任意兩人都有且隻有一個朋友），我們證明2k+1和2k+2的公共朋友隻能為0。不然，設其公共朋友為a。另取點b, 使得a和b不在一個三角形上(n>=5時總存在這樣的點b)。2k+1和b的公共朋友隻能是0,2k+2以及和b在同一三角形的c中的一個。首先不能是2k+2,因為這樣2k+1,2k+2有兩個公共朋友，a和b。不能是c,這樣b和c有兩個公共朋友0和2k+1。也不能是0，否則0和a有兩個公共朋友2k+1和0,a原來的公共朋友。綜上，2k+1和2k+2的公共朋友隻能為0。接著易證0和2k+1的公共朋友隻能2k+2。