完全題解: 2005全國高中數學聯賽 -- 正方形剖分

因為分割的方法可以為三邊形,四邊形,五邊形......顯然,在正方形中做五邊形分割是不完全的,不是解.因此,最多邊數為四.也就是做正方形的分割.

具體方法是:
1)將一個正方形分割為四個正方形.產生12條邊.
2)則下一分割,可得7個正方形,20條邊.
由此得遞推公式:
在第N次分割時的,正方形數是:4*N-(N-1)
對應的總邊數是:
12*N-4
而2005=668*4-(668-1)
也就是:N=668時,正方形數可有,2005個,
則對應的總邊數是:12*668-4=8012

最大值應該是:8012

所有跟帖： 

• 2005全國高中數學聯賽 -- 正方形剖分 (原題見置頂貼) -^V^- ♂ (109 bytes) () 04/12/2009 postreply 00:38:25

• 剖分圖見內: -^V^- ♂ (198 bytes) () 04/12/2009 postreply 06:00:58

• 答案不一樣嗎？ 用歐拉定理是直覺。 -亂彈- ♂ (0 bytes) () 04/12/2009 postreply 14:08:20

• 個人認為是題目出的不嚴格。 -^V^- ♂ (48 bytes) () 04/12/2009 postreply 14:13:58

• 錯，按照你的剖分，邊數應為8*N+4， 而不是12*N-4 -gguyy- ♂ (38 bytes) () 04/13/2009 postreply 10:26:23

• 是錯的。謝謝。這就是所謂的唬人把戲。 -^V^- ♂ (0 bytes) () 04/13/2009 postreply 15:57:36

• 你剖分不符合定義。頂點不能在邊內部的。 -亂彈- ♂ (0 bytes) () 04/13/2009 postreply 15:47:52

• 總算是引起你們的注意了。請看原題敘述。不做錯，就不容易被注意。 -^V^- ♂ (139 bytes) () 04/13/2009 postreply 15:56:25

• 剖分好像有約定形成的定義。但是中學生也許不明白，所以應該先解釋。 -亂彈- ♂ (0 bytes) () 04/13/2009 postreply 16:00:44

• 同意。象這樣的題，是不應該出現在競賽裏的。有些兒戲了。 -^V^- ♂ (0 bytes) () 04/13/2009 postreply 16:04:48

• 我不認為他的剖分不符合定義，但得不到最大值。 -gguyy- ♂ (0 bytes) () 04/13/2009 postreply 17:06:57

• 原題中至少有兩點不嚴謹：1）邊數最大值。2）剖分。 -^V^- ♂ (0 bytes) () 04/13/2009 postreply 17:46:24