我讀書少,歐拉大師你別騙我!全體自然數的和到底是多少?

來源: 2019-05-18 19:36:50 [] [博客] [舊帖] [給我悄悄話] 本文已被閱讀: 次 (24913 bytes)
“歐拉計算時毫不費力,就像人呼吸、或者鷹在風中保持平衡一樣。”——法國物理學家阿拉果

01

巴塞爾(Basel)城是瑞士的第三大城市,它也是歐拉和伯努利家族的故鄉。

歐拉的出生地被用來命名了一個著名的數論問題--巴塞爾問題,這個問題首先由皮耶特羅·門戈利在1644年提出,由於這個問題難倒了以前許多的數學家包括約翰.伯努利,牛頓和萊布尼茨等等,歐拉出馬,一解成名,當時他年僅二十八歲。

巴塞爾級數題目看起來簡單,就是精確計算所有平方數的倒數的和,也就是以下級數的和:

這個級數的和大約等於1.644934。巴塞爾問題就是是找到這個數的準確值,並證明它是正確的。

這道題對於那些想讓孩子爬藤去名校的家長很有價值,因為它經常出現在名校如劍橋的本科數學入學考試題中。(所以下麵重要的知識點務必要多看兩遍。)

歐拉解題的方法巧妙和新穎得讓人窒息,天才用了不到2頁紙:

歐拉得到的結果很神奇,很不可思議,答案是π^2/6。所有平方數的倒數的和居然無端出現了圓周率π這個神奇的數字。這個世界冥冥之中不知道還蘊藏著多少這樣的神奇。

我們以前在馮.諾依曼係列中已經很熟悉的物理學家尤金.維格納,他在其著名文章“數學在自然科學中不合理的有效性”中講了個笑話:

兩位曾經的同班同學開始介紹各自的工作。 一位是統計學家,研究人口趨勢。他給朋友看了最近的文章,文章開篇即是高斯分布。朋友很不解,指著高斯分布中的π 問道,

“這是什麽?”

“這是圓周長與其直徑之比。”

你太會開玩笑了,人口怎麽會和圓的周長有關係呢?

“…”

當然,今天的我們對π出現在任何地方都很淡定了。

其實這樣證明還不是很嚴密(歐拉後來還給出了一個嚴謹但複雜的證明),還需要進一步完善(牛爸牛媽看出來了嗎?),但歐拉之前老老實實地計算了級數的部分和,並一口氣算到了小數點後20位!他發現,級數真的趨於π^2/6,不多不少。這給了他足夠的自信心,把這個結果公諸於眾。

歐拉對這個結果很滿意,但他沒有玩夠,傳奇還在繼續,1737年,歐拉在這個基礎上接著發現了歐拉乘積公式:

等式左邊就是大名鼎鼎的黎曼ζ函數。

當S=2 時候的特例,就是讓歐拉一戰成名的巴塞爾級數。

而當S=1 時候的特例,就是著名的調和級數,歐拉研究調和級數時順便貢獻了非常有用的歐拉常數,約為0.57721566490153286060651209。 目前無人知曉歐拉常數是否為有理數。

而當S=-1 時候的特例,就是全體自然數的和, 1+2+3+4+…是多少?歐拉通過冪級數展開得出一個驚人的結論,全體自然數的和是-1/12。

然後歐拉繼續玩,而且是花式玩法,他繼續算出所有自然數的平方和是0、所有自然數的立方和是1/120,答案都是匪夷所思。一年級的小學生都能一眼看出這些答案肯定“不對”。

 

但事實上,不論用什麽方法計算1+2+3+4+…之和,隻要不是無窮大,就是-1/12。

後來黎曼做了個巧妙的解析延拓,他在1859年找到了ζ函數的解析延拓,求出了ζ(-1)的值,輕易得出1+2+3+4+…和是-1/12這個結論,和歐拉的答案殊途同歸。

但是直到今天,我們都不知道這意味著什麽,隻知道在量子力學中如果遇到全體自然數和,-1/12代替無窮就總能得到最符合實驗結果的數值。

比如在弦論中,用歐拉的-1/12代替無窮大,難題立馬解決,輕鬆得出空間維數E=10,加上一維時間,那麽時空就是11維的,歐拉200多年前的怪異結論居然讓弦理論重獲新生。

“在數軸的無窮遠處,蘊藏著嶄新的數學體係等待我們建立。”……

簡直世界觀都要崩潰了有木有? 常識都靠不住了有木有?

如果你一定要維持你的世界觀不倒的話,就拚命記住這一點:這個求和,已經不再是你小學時學過的求和了,而這裏麵的“等於”也不是一般的等號,而是表示某種未知的等價關係。

再囉嗦一點,這個求和是基於函數的解析延拓求和(拉馬努金求和),而非一般的收斂的無限數列求和(柯西和)。

02

歐拉乘積公式發現了素數分布問題與上麵這個黎曼ζ函數(ζ讀音Zeta)的聯係,使得黎曼ζ函數成為研究素數分布問題的經典方法。

另一個奇才,德國數學家伯爾尼哈德·黎曼大神繼續歐拉的工作,並將歐拉所做的一切牢牢地置於堅石之上。他定義了黎曼ζ(Zeta)函數並在1859年提出了最著名的黎曼猜想。

更通俗的數學表達式是這樣的:

令 黎曼ζ函數 =0 的所有非平凡解都在直線 x=1/2上。

這裏的平凡零點是某個三角 sin 函數的周期零點;非平凡零點是ζ函數自身的零點。

也許你表示完全看不懂黎曼猜想,那太正常不過了,如果你一上來就完全明白,那隻有一種可能,就是你已經花了許多時間研究過黎曼猜想是什麽了。

不管怎樣,黎曼猜想是數學中一個重要而又懸而未決的難題,是璀璨數學皇冠上最難采擷的明珠。

馮.諾依曼的老師,數學武林盟主希爾伯特曾說,如果他在沉睡1000年後醒來,他將問的第一個問題便是:黎曼猜想得到證明了嗎?

在他著名的23問中,其中第八問黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素數問題依然是數學界一大懸案。

(朱八八注:當年陳景潤證明“1+2”難題的文章在《人民文學》上發表後,哥德巴赫猜想成為中國民間科學愛好者的最愛,中國科學院每年都收到“幾麻袋”的討論或聲明,號稱證明了“1+1”。但是,幾乎沒有多少民間科學家去碰黎曼猜想,盡管其意義更加重大,而且在長期高達一百萬美元的重獎之下也無勇夫。原因很簡單,除了羊群效應,像黎曼猜想這種絕頂難題,民科估計連看題目都兩眼一抹黑。)

2018年9 月 24 日,現年 89 歲的英國著名數學家、阿貝爾獎和菲爾茲獎得主邁克爾·阿蒂亞爵士,宣稱自己已經證明了黎曼猜想。雖然目前學界普遍認為,阿蒂亞壓根沒有證明黎曼猜想。但英國老爺子至少又把黎曼猜想炒得火熱。

有新聞說如果黎曼猜想被證實的話,將危及RSA公鑰密碼學的安全。“互聯網都要裸奔”,還有“黎曼猜想被證明,基於 RSA 的區塊鏈項目都將湮滅!”

目前加密貨幣市場上的加密貨幣幾乎都是由哈希運算函數和數字加密證書兩方麵構成的。

哈希算法和素數無關。加密算法,如果是橢圓曲線數字簽名,和素數分解沒有特別大的關係;如果是非對稱加密,實際上是在做素數分解,和黎曼猜想的找素數關係也不大。

這些媒體就喜歡蹭熱點,還喜歡危言聳聽,不過大家可以安心過年,黎曼猜想就算被證明,也亡不了RSA公鑰密碼,亡不了區塊鏈,更亡不了互聯網!

2019年1月11日邁克爾·阿蒂亞爵士去世,享年89歲,在他生命的最後一年,他還在勇戰風車,挑戰世界性難題,“阿蒂亞是非常單純的人,他願意不計較個人得失,為熱愛的數學事業付出,這是很多數學家、科學家做不到的。”一位數學研究人員說,能夠引起社會對數學如此的關注度,正是阿蒂亞所希望看到的。

在邁克爾·阿蒂亞爵士證明黎曼猜想的演講中,約翰·馮·諾依曼的名字一再出現,英國老爺子說他的證明正是建立在馮·諾依曼的工作之上。

伽利略說:“自然界這部偉大的書是用數學語言寫成的.”

著名物理學家詹姆斯·金斯爵士(SirJames Jeans,瑞利-金斯公式的提出者)說:“上帝是個純粹數學家!”

無論是歐拉、黎曼還是馮·諾依曼、邁克爾·阿蒂亞,他們的一生其實隻不過:做一個數學家、數學家、數學家。

03

我們可以在幾乎所有數學的分支中見到歐拉: 從初等幾何的歐拉線,多麵體的歐拉定理,立體解析幾何的歐拉變換公式,四次方程的歐拉解法到數論中的歐拉函數,微分方程的歐拉方程,級數論的歐拉常數,變分學的歐拉方程,複變函數的歐拉公式......

也就是說,從小學到博士,你在數學課上見過最多的名字是歐拉,你最經常寫的符號如f(x)、sin、cos、tg,求和符號∑,自然底數e、圓周率π、虛數i這些符號都是他發明的。

不光是數學領域,歐拉喜歡把數學應用於自然科學,和馮諾依曼一樣,他喜歡讓數學與生活結合,喜歡跨界,從而為許多學科帶來革命性的變革。

他用歐拉方程設計船舶—開啟了流體動力學;

他用數學公式研究人體與聲音--證明了耳膜與聲波的共振,開拓了醫學的領域;

他用數學來測量—發展了大地測量學;

他用方程計算人體血液流動--在生物學上添上重彩一筆;
他用歐拉數計算渠道斷麵--奠基了經典應用流體力學;
他用數學模擬老鷹的飛翔--建立了航空動力學、
他用數學計算年金保險 — 催生了投資的數學理論、
以他的歐拉函數為基礎--計算機學上產生了廣泛使用的RSA公鑰密碼算法;

他還曾涉足過這樣幾個學科:彈道學、分析力學、拓撲學、製圖學,並最早嚐試建立分子運動論。

歐拉作為算法大師,至今無人超越,這種機敏和犀利,如果一定要打個比方,就像最牛的打油詩人,像張打油,唐伯虎能霎時懟到你啞口無言、生無可戀。這種能力可謂 born to be,後天無法練就。

 

在柏林的 25 年中,他為普魯士王國解決了諸如鑄幣、城市水道、運河、保險金和養老金製度等一係列重大的實際問題。他的卓越領導也使得瀕臨絕境的柏林科學院重獲新生,逆襲成為歐洲影響力最大的科學院之一。

如有魔戒在手,歐拉所到之處總能碩果累累,生機勃發。

當時的宮廷裏有許多能言善辯,口若懸河的哲學家,他們中最紅的就是法國偉大的啟蒙思想家伏爾泰,他常常喜歡把溫厚的歐拉誘入哲學的迷宮,然後一幫朝臣們在旁邊擠眉弄眼,在一片嘲笑聲中,歐拉總是低頭認輸。

可是一旦遇上那些大牌哲學家鼓吹無神論,歐拉就不再淡定了,忘記了其實自己口才很一般,無畏地迎上前去。有趣的是,歐拉在辯論中常用的就是數學大招。

1766年英國著名哲學家和經濟學家大衛.休謨來到普魯士,休謨的無神論基本觀點是:因為無人能從物質上或理性上證明上帝的存在,所以上帝根本不存在。休謨每到一處,都不忘宣講他的無神論。

有次在愛丁堡,胖乎乎的休謨想橫跨一片剛幹枯的湖泊時,不小心滑入了泥沼中,胖子的悲哀就是一旦掉坑、必定被困、無法自救。這時一些賣魚婦人剛好路過,但很快便認出他就是那位鼎鼎大名的無神論者,於是不肯救他,直到休謨答應要信教、並在泥沼中朗讀主禱文和信經之後,這些壯碩的賣魚婦才將他拉出泥坑。休謨得救後向朋友戲謔說這些賣魚婦才是“他所遇過最聰明的神學家了”。

當時在宮廷迎戰休謨的,竟然是一貫沉默寡言,低頭認輸的歐拉:“你知道什麽是-1的平方根嗎?它既看不見也摸不著,這個數字既不等於0,也不大於0,也不小於0 。按照你的邏輯,你該說:-1的平方根是不存在的物質,所以數學裏不該有它。但是,如果沒有負數的開平根,就不可能把12分解成兩個數字之和,其乘積等於40。世界上看不見的,卻深深存在於我們意識裏的事物太多了,你知道嗎?即使我們無法用物質去證明-1的平方根之存在,它事實上卻存在著,否則數學都不存在了。因此,你所說‘無法用物質證明其存在的,其實就是不存在的’,這是大錯特錯!讓我告訴你:上帝依然存在,即使無法用物質去證明。”

也許正是因為這場辯論,歐拉失去了工作。1766年,歐拉再次回到聖彼得堡,並在那裏度過了生命中最後的十七年。

很多人說歐拉像一隻鳥,終生揮著數學與信仰的雙翼飛翔。

或許人們更應該驚歎於約翰·伯努利教授在歐拉還是青蔥少年時的先見之明:『數學不會抖落他身上任何的敬虔信仰,而且你們看著吧,有一天他會成為數學界的神學家!』 

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