如何抵達四維空間?你知道它存在,但全世界都造不出來

來源: 2019-05-17 12:00:54 [] [博客] [舊帖] [給我悄悄話] 本文已被閱讀: 次 (53154 bytes)
“研究歐拉的著作永遠是了解數學的最好方法。” ——高斯

01

 

 

 

這道聞名遐邇的哥尼斯堡七橋問題是18世紀著名古典數學問題之一。

這七橋如果放在今天絕對是網紅,當時每天散步過橋已經成為當地市民非常熱門且有趣的一項消遣活動。但在相當長的時間裏,沒有人能解出來。

這些每天散步過橋的市民當中,很可能有哥德巴赫和康德。

喜歡純粹理性批判,和歐拉一樣是獨眼(歐拉為什麽變成獨眼參見本章末尾)的康德一生都在哥尼斯堡度過,對他而言,學術乃是生活中第一大事,餘皆庸常。他一生都風雨無阻的堅持散步。

歐拉的空間觀(空間是“非經驗的”與“真實的”心靈湧現)讓康德深受啟發,他的著名哲學概念“直觀空間”就此生根發芽。康德的處女作要先恭敬地寄給歐拉過目,希望能從這位權威那裏得到些自信,並附言:“隻有歐拉做出了評價,康德才會對自己的作品‘有幾分敬重’。”

哥德巴赫也是哥尼斯堡的兒子,在還沒有微信和QQ的日子裏,他喜歡和歐拉遠程聊天(寫信),聊著聊著就聊出了著名的哥德巴赫猜想。

這麽經典的哥尼斯堡七橋難題就是被當年僅僅29歲的歐拉圓滿解決了,他的論文《哥尼斯堡七橋》順手就開創了數學新一分支---圖論。

歐拉巧妙的將過橋難題轉化等同為上麵圖中的一筆畫問題,很快他就判斷出要一次不重複走遍哥尼斯堡的7座橋是不可能的。也就是說,多少年來,讓無數人燒腦、試圖發現的不重複的路線,根本就不存在。

一個號稱最燒腦且困擾無數人的難題,居然就是這樣的無解答案。

在論文中,歐拉將七橋問題抽象出來,得到歐拉回路關係:

要使得一個圖形可以一筆畫,必須滿足如下兩個條件:1. 圖形必須是連通的。2. 圖中的“奇點”個數是0或2。(連到一點的數目如是奇數條,就稱為奇點)

記住這兩點,一筆畫對你而言就是小兒科了。比如說“田”字不能一筆畫,而“口”字和“串”字就可以一筆畫:

 

 

 

大道至簡,歐拉硬是天才地把一道著名古典數學難題簡化成一道小學生習題,並寫進了小學課本,叫做“七橋問題”。

七橋問題是圖論的第一個問題,但是圖論中最著名、出成果最多的問題是四色問題:“是否能做到 隻用四種顏色就能為所有地圖染色,使得任意兩個相鄰的區域不同色?”

 

 

 

四色問題出人意料地異常困難。到目前為止,100多年過去了,還隻能靠計算機驗證證明。

四色定理是第一個主要由計算機驗證成立的著名數學定理。

從小學生習題入門,到非常困難的四色問題,圖論發展迅速,應用廣泛,甚至成為計算機科學中最重要、最有趣的領域之一。圖論廣泛地應用於物理學控製論,信息論,工程技術,交通運輸,經濟管理,電子計算機等各項領域。

普遍認為歐拉是圖論的創始人,他也因而被廣泛譽為“圖論之父”。

特別難得的是,在解決七橋問題的前一年,1735年,歐拉得過一次幾乎致命的發燒,隨後三年,他的右眼近乎失明,弗雷德裏克把他譽為“獨眼巨人”。

變身“獨眼巨人”後的歐拉依然是最勤奮的天才。

02

多麵體歐拉定理,你是在初中時就認識它了。它是指對於簡單多麵體,其頂點數V、棱數E及麵數F間的關係可以用著名的歐拉公式來表述: F – E + V = 2(又一個歐拉公式,這個可以稱作歐拉第二公式)。

 

 

 

例如,長方體頂點為8個,邊為12個,麵為6個,它的歐拉公式為 8 - 12 + 6 = 2

(據說這個公式本來最早由法國數學家笛卡爾在1635年左右就證明了,隻是,除了笛卡爾自己,根本沒人知道,一直到1860年,笛卡爾的工作才被發現。)

而歐拉於1750年獨立證明了這個公式,此後該公式也被稱為歐拉-笛卡爾公式。

在歐拉公式中,令 f(p)=V+F-E,f(p)叫做歐拉示性數。定理告訴我們,簡單多麵體的歐拉示性數f (p)=2。20世紀最偉大的幾何學家之一陳省身曾指出歐拉示性數是很多問題和解決辦法的來源,對幾何學的影響是根源性的。

根據多麵體的歐拉定理,可以得出這樣一個有趣的事實:隻存在五種正多麵體。它們是正四麵體、正六麵體、正八麵體、正十二麵體、正二十麵體。

 

 

 

多麵體歐拉定理同時也是另一個重要的數學分支—-拓撲學的基礎,而歐拉的柯尼斯堡七橋問題與歐拉示性數被認為是該領域最初的成果。

拓撲學(topology)是研究幾何圖形或空間在連續改變形狀後(但不包括撕裂或黏合)還能保持不變的一些性質的學科。

哥尼斯堡七橋問題、多麵體的歐拉定理、四色問題等都是拓撲學發展史上的重要問題。

在歐拉之後,許多數學家加入到拓撲學的研究領域,19世紀下半葉,德國數學家黎曼和法國數學家龐加萊開始了現代拓撲學的係統研究,並奠定了這門數學分支的根基。

拓撲學中的奇妙曲麵有莫比烏斯帶和克萊因瓶,是科幻的喜愛題材,莫比烏斯帶是隻有一麵的魔環,它可以嵌入到三維空間,克萊因瓶則能嵌入到於四維或更高維空間。

 

 

 

如果你搞明白了莫比烏斯帶,那麽恭喜你,你至少擁有了對抗一些毒雞湯的能力,比如你至少會讀懂這則冷笑話:

青年向禪師討教,希望可以讓他的女朋友沒有缺點,隻有優點。禪師微笑著,請青年為他找一張隻有正麵沒有背麵的紙。然後青年掏出了一個莫比烏斯環……

關於魔瓶克萊因瓶,可以這樣設想,在我們的三維空間中,我們不可能不打破蛋殼的而取出蛋黃,但在四維空間裏卻可以做到。

克萊因瓶是一個不可定向的拓撲空間,它沒有內外之分,一隻蒼蠅可以從瓶子的內部直接飛到外部而不用穿過表麵。

 

 

 

克萊因瓶在三維空間中是不可能被製造出來,就像潘洛斯階梯一樣。是一個在四維空間中才可能真正表現出來的曲麵。如果你在現實生活中能找到完美克萊因瓶,那恭喜你,你找到了蟲洞,它穿過自己的那段就是一個“蟲洞”。

所以你在某寶上拍到的克萊因瓶,都是降維打擊後的產物,是四維物體的投影,表現得似乎是自己和自己相交一樣。

如果你還是很難理解克萊因瓶,那也不要緊,隻要能看懂下麵這個笑話就好:

青年再問禪師:“我的頭腦總是被繁雜的世俗所裝滿,要如何是好?”禪師說:“你畫一個沒有瓶口的瓶子。它總有一個盡頭。你不把它裏麵的東西倒出來,怎麽裝新的進去?”青年若有所思,畫了一個克萊因瓶。

 

 

 

在現代科學裏,拓撲學可以用來研究 DNA 的功能,研究社交媒體以及因特網,正日益成長為20世紀最豐富多彩的一門數學分支。

2016年諾貝爾物理學獎頒給三位英美科學家,獲獎理由是“理論發現拓撲相變和拓撲相物質”。 三位物理學家采用拓撲學作為研究工具,這一舉動在當時讓同行很吃驚,但成果卻也同樣驚人。

圖論和拓撲學隻是歐拉開創性貢獻中的一小部分,那些認為歐拉沒能在數學開宗立派的,據說文科生占多數。

數學不但很有趣,而且也是如此有用。

03

歐拉不僅僅是曆史上最有成就的數學家;而且也是曆史上最博學的人士之一。------ 埃米爾·費爾曼

在聖彼得堡,歐拉用他最青春寶貴的十五年歲月證明了蘇格拉底的人生命題-“未經審視的人生,是不值得度過的”,帶來的副產品是:他的數學名聲傳遍了歐州大陸。

1741,普魯士國王腓特烈大帝特聘他為柏林科學院的數理學院院長,宮廷數學家,並兼任公主安哈特·蒂蘇的老師。

歐拉終於逃離了告密者遍布的聖彼得堡,也逃離了可能被遣送到西伯利亞的命運。(數學部有位同事因為傳抄一首無名作者的無題詩,被遣送到西伯利亞)

歐拉在俄國幾乎與世隔絕地沉默了十五年,後來在普魯士腓特烈大帝的皇宮,麵對接見他的國王和王後,他依然沉默寡言。

“您為什麽不願意和我說話呢?”王後不解地問歐拉。

歐拉回答說 :“我是從那樣的一個國家來的,在那裏,要是誰愛多講話,誰就會被吊死。”

風雨如晦,雞鳴不已,但有時候沉默也是一種力量。

歐拉在柏林生活了25年,並寫下了不止380篇文章。在柏林,他出版了他最有名的兩部關於分析學的裏程碑式的經典著作:關於函數方麵的文章《無窮小分析引論》和關於微分的《微積分概論》,在微積分、微分方程、幾何、數論、變分學等領域作出了巨大貢獻,從而確定了他18世紀數學巨星和權威的地位。

作為當時數學界的武林至尊,歐拉吸粉無數,許多學者粉絲紛紛給他寫信求教,而歐拉在信中總是毫無保留地把自己的數學發現甚至證明細節都告訴對方。

最膾炙人口的一個軼事是這樣的:一個19歲的大學生(他在17歲才開始學習數學。在今天看來就是個業餘數學愛好者)給48歲的歐拉教授寫了一封信,說自己解決了半個世紀來沒人能解決的等周問題。(這個故事可千萬別成了今天許多民科的雞湯)

等周問題是歐拉已經潛心探討多年的問題,它的研究與解決產生了一個新的數學分支“變分法”,這個名詞就是歐拉定的,對於等周問題,歐拉其實已經有了完美的答案,隻是還沒來得及發表(歐拉的全集從1911年開始係統出版,到今天都還沒出完)。當年,歐拉的伯樂約翰·伯努利提出的那個著名的“最速降線問題”,挑戰其他數學家,可看作是“變分法”的起源。

歐拉認真讀了下,發現這位大學生沒有吹牛,而且解法新穎,便故意壓下自己在這方麵的作品,回信鼓勵他繼續完成整個工作。

一個非常勵誌的結局是:這位大學生由於這篇文章和歐拉的推薦,成為“變分法”的開創者,從此一戰成名。

這位大學生就是後來被腓特烈大帝稱做「歐洲最偉大的數學家」的 約瑟夫·拉格朗日伯爵(Joseph Lagrange),後來歐拉又把 23歲的拉格朗日推薦到柏林科學院,隨後又推薦給德國國王。可以說,是歐拉親手一路捧紅了拉格朗日。

雖然歐拉沒有子承父業,實現父親一直以來的願望---希望歐拉成為一位牧師,但他一生虔誠、篤信基督。那浸潤在靈魂深處的信仰,賜予歐拉一顆仁愛寬厚之心。

到他晚年的時候,學術界的所有人都知道了歐拉是個虔誠的基督徒,有求必應,不嫉妒、更不會占有他人的工作,歐洲所有的數學家都把他當作老師,著名數學家拉普拉斯更是苦口婆心地勸著所有人:"讀讀歐拉、讀讀歐拉,他是我們大家的老師!"

 

 

 

 

讀讀歐拉,學學歐拉,然後閉上雙眼,讓耳邊回蕩茨威格的聲音:“一個民族,千百萬人中才能出現一個天才。人世間數百萬個閑暇的小時流逝過去,方能出現一個璀璨的時辰。”

 

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