頂風作案,我從西史辯論中第一次知道,
老除的幾何原本和我知道Euclid不太一樣:)
笑抎一向杠精的聖地,希望能笑談一下這個歐式幾何的演化:
為什麽第四求和相對應的公論從原來的版本中取消了。
這老徐的幾何原本共有六卷。
每卷由 界,求作,公論,題 四個部分組成。
界對應於定義(definitions),
求作和公論對應於公設和公理(postulates and axioms), [注 求作僅限第一卷]
題對應於 由定義,公設,公理推出的定理(propositions).
一提幾何,相信大部分人跟我一樣
首先想到的就是邊邊角角,知道有五大公理
和平行公理的演化。
Euclid 列出了五公設五公理
但這徐版第一卷有四求十九論。
我們熟悉的五大公理隻對應於第一二三求和第十,十一論。
不知道有多少朋友聽說過這個漏掉的第四求。(附在最後)
在這第四求中,為了說明無窮小,
莊子的一尺之棰日取其半都岀來了:)
我理解這應該是老徐的注或編者按。
但令人稱奇的是,結合這第四求,"幾何"在第五卷第一界中就有了明確的意義。
不但有幾何還有互補的幾分。
這幾何幾分為有理數無理數在測量中應用提供了理論基礎。
我理解加不加第四求,對幾何原本的定位就大不相同。
不加,看起來歐氏幾何在討論純邏輯公理體係,
加了,這個幾何原本就像是一個測量學的手冊。
徐版第五卷第一界:“分者,幾何之幾何也。小能度大,以小為大之分。以小幾何度大幾何謂之分。
法曰,幾何之幾,何者謂非?此小幾何不能為此大幾何之分也。如一點無分亦非幾何,即不能為線之分也。一線無廣狹之分,非廣狹之幾何,即不能為麵之分也。一麵無厚薄之分,非厚薄之幾何,即不能為體之分也。曰,能度大者謂小幾何,大幾何能盡大之分者也。如甲為乙、為丙之分,則甲為乙三分之一,為丙六分之一,無贏不足也。若戊為丁之一即贏,為二即不足,己為丁之三即贏,為四即不足,是小不盡大,則丁不能為戊己之分也。以數明之:若四於八、於十二、於十六、於二十諸數皆能盡分,無贏不足也。若四於六、於七、於九、於十、於十八、於三十八諸數,或贏或不足,皆不能盡分者也。本書所論皆指能盡分者。故稱為分。若不盡分者,當稱幾分。幾何之幾如四於六,為三分六之二(即三分之二),不得正名為分,不稱小度大也,不為大幾何內小幾何也”。